GUMIŚ 1 SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI

WYBRANE ZAGADNIENIA Z DYNAMIKI

(%-wektor)

SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI (STW).

ZASADA WZGLĘDNOŚCI GALILEUSZA

(ZWG) sform. w 1632 r.: we wszystkich ukł. odniesienia poruszających się względem siebie ruchem jednost. nazwanych układami inercjalnymi zjawiska przyrodnicze przebiegają tak samo. Ponieważ zjawiska fiz. opisuje fizyka za pomocą określonych praw, muszą one mieć taką postać, aby przy przejściu z jednego inerc. ukł. odnies. do drugiego miały taką samą postać. Własność tę nazywamy zasadą niezmienniczości praw fizyki względem dowolnego układu inerc. odniesienia (np. z obserwacji jakichkolwiek zjawisk i dośw. prowadzonych w kajucie nie można wysnuć wniosku co do spoczynku lub ruchu jednost. statku). Przy konkretnym przekształceniu określanego prawa fizycznego z jednego inercjalnego układu odniesienia do drugiego nieodzowne jest posługiwanie się grupą zależności między czasem i współrzędnymi w obu układach, zwanych transformacją. Rozważam dwa inercjalne prostokątne układy odniesienia x,y,z i x',y',z' takie, że układ primowany porusza się w kierunku dodatnich x względem układu nieprimowanego i odpowiednie osie są do siebie równoległe. (*RYSUNEK*) Założenia: czas zaczęto mierzyć w obu układach od momentu, gdy początki układów O i O' mijały się i czasy oraz odległości mierzy się w obu układach identycznymi miarami. Wtedy dowolne zdarzenie zanotowane przez obserwatora w układzie O jako zaistniałe w momencie czasu t i miejscu x,y,z zostanie zanotowane przez obserwatora w układzie O' jako zaistniałe w momencie czasu i we współrzędnych: t'=t; x'=x-vt; y'=y; z'=z. Jest to tzw. transformacja Galileusza (przykład: niezmienniczość względem transformacji Galileusza prawa zachowania pędu 2 zderzających się ciał o masach m1 i m2, poruszających się wzdłuż osi x. W układzie O mamy m1*/x1p+m2*/x2p=m1*/x1k+m2*/x2k, gdzie p i k-stany przed i po zderzeniu, gdzie /x-skrótowy zapis pochodnej współrzędnej x wzgl. czasu, a więc v w kierunku osi x. (/x-z kreską u góry) Ponieważ /x=dx/dt=d(x'+v*t)/dt=d(x'+v*t')/dt'=dx'/dt'+v=/x'+v, więc m1*/x'1p+m2*/x'2p=m1*/x'1k+m2*/x'2k - równoważnośc prawa zachowania pędu w układach O i O'). Niezmiennicze względem transformacji Galileusza są też niektóre wielkości dotyczące zjawisk lub zdarzeń np. siła, temperatura, zmiana energii itp. a także odstęp czasu delta t między dwoma zdarzeniami: delta t=t2-t1=t2'-t1'=delta t' oraz kwadrat odległości przestrzennej: delta R^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2=(x2'-x1')^2+..=delta R^2)2)

TRUDNOŚCI Z ELEKTROMAGNETYZMEM.

W XIX w. pojawiły się trudności w interpretacji ZWG w odniesieniu do zjawisk elektryczności, magnetyzmu. Jednym z zagadnień była kwestia prędkości światła. Ponieważ sądzono, że światło porusza się z ustaloną prędkością względem eteru kosmicznego, więc obserwatorzy poruszający się z różnymi prędkościami względem eteru winni notować różne prędkości światła. Pomiary prowadzone w różnych porach roku, a więc przy różnych prędkościach Ziemi dały tę samą wartość prędkiści światła. Drugim kłopotem był fakt, że równania elektromagnetyzmu sformułowane przez Maxwella nie były niezmiennicze względem transformacji Galileusza. Równania te opisywały zjawiska elektryczności i magnetyzmu i były na pewno prawdziwe. Przykład: dwa jednoimienne ładunki elektryczne Q odległe od siebie or r , obserwowane przez obserwatora nieruchomego względem nich i ruchomego (*RYSUNEK*). W pierwszym przypadku odpychają się one siłą Fc wynikającą z oddziaływań kulombowskich. Wg ruchomego obserwatora każdy z ładunków wytwarza też pole magnetyczne o natężeniu równym w miejscu drugiego ładunku Q*v/(4*PI*r^2), skierowane prostopadle do rysunku, oddziływujące na ładunek siłą elektrodynamiczną skierowaną przeciwnie do siły kulombowskiej. Ostatecznie obserwator ruchomy notuje inną wypadkową siłę oddziaływania między ładunkami, co nie było zgodne z transformacją Galileusza. Dlatego też Lorentz sformułował transformację, względem której prawa elektrodynamiki byłyby niezmiennicze. Zwana jest ona:3)

TRANSFORMACJCĄ LORENTZA-EINSTEINA

(L-E). Przyjmując warunki z rys.1 ma ona postać: t'=(t-v*x/c^2)/sqrt(1-(v/c)^2); x'=(x-v*t)/sqrt(1-(v/c)^2); y'=y; z'=z; lub odwrotną: t=(t'+v*x'/c^2)/sqrt(1-(v/c)^2); x=(x'+v*t')/sqrt(1-(v/c)^2); y=y'; z=z'. Wnioski wynikające z transformacji L-E wykraczały poza pojęcia mechaniki klasycznej. W roku 1905 Albert Einstein sformułował szczególną teorię względności (STW). Głównym jej założeniem zasada względości Galileusza rozciągnięta na zjawisko ruchu promienia świetlnego w próżni: we wszystkich układach inercjalnych prędkość światła w próżni jest ta sama. Jeżeli dwaj obserwatorzy poruszający się względem siebie obserwują ruch tego samego promienia i obaj stwierdzają, że biegnie on z tą samą prędkością, to kinematyka opisująca związki między czasem i przestrzenią w ruchu ciał musi być inna od poznanej w ramach mechaniki klasycznej.

ODLEGŁOŚCI CZASOPRZESTRZENNE ZDARZEŃ.

Przykład: obserwator znajdujący się w środku jadącego wagonu (ukł. O') zapala latarkę i obserwuje bieg promienia w kierunku jazdy i przeciwnym. Stwierdzi on, że promienie równocześnie dotrą do ścian wagonu (*RYSUNEK*). Wg obserwatora w układzie O promienie poruszają się z jednakową prędkością w obie strony, ale przednia ściana ucieka, podczas gdy tylna porusza się naprzciw promieniowi. Dlatego do tylnej ściany promień dotrze wcześniej. Zdarzenia jednoczesne dla jednego obserwatora nie są jednoczesne dla drugiego. Ponieważ pomiar czasy jest ściśle związany z pojęciem jednoczesności, wartości czasu danego zjawiska, mierzone przez dwu poruszających się względem siebie obserwatorów, są różne. A więc czas biegnie inaczej w różnych układach inercjalnych. Fakt ten i dalsze rozważania pozwalają zrozumieć kinematyczne zagadnienia STW. (*RYSUNEK*) Niech obserwatorzy O i O' obserwują bieg promieni latarki zapalonej w momencie czasu t1 w miejscu x1,y1,z1 w O i odpowiednich t1',x1',y1',z1' według O'. W chwili czasu t2 czoło fali jest powierzchnią kulistą, której dowolny punkt o współrzędnych x2,y2,z2 spełnia równanie: (x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2=c^2*(t2-t1)^2. To samo w O': (x2'-x1')^2+..=c^2*(t2'-t1')^2. Tak więc odległość czasoprzestrzenna delta s dwu zdarzeń (wcześniej t1,x1,y1,z1 i później t2,x2,y2,z2) określa równanie: (*) delta s=c^2*(t2-t1)^2-[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2]. Zatem OCZ dotyczących ruchu promienia świetlnego jest we wszystkich układach inercjalnych taka sama, równa 0. Enstein postulował, że odległość czasoprzestrzenna dwu zdarzeń jest pojęciem ważnym dla dowolnych zjawisk i jest ona wielkością niezmienniczą, tzn. delta s^2=delta s'^2. Jest to drugie istotne założenie w podstawach STW. Wg transformacji Galileusza niezmiennicze są osobno odległości czasowe i przestrzenne, a wg STW dopiero ich kombinacja w formie odległości czasoprzestrzennej jest niezmiennicza. 5) WAŻNIEJSZE ZALEŻNOŚCI KINEMATYCZNE I DYNAMICZNE.

1) Kinematyczne: Uwzględniając zasadę niezmienniczości OCZ i prędkości światła można wyprowadzić różne zależności kinematyczne. Można przede wszystkim otrzymać wzory na transformację L-E, a z niej wynikają dwa ważne efekty-relatywistyczne zmiany czasów i odległości. Efekt relatywistycznej zmiany czasów możemy rozważyć korzystając jedynie z zasady niezmienniczości OCZ. Obserwujemy dwa układy: primowany O' i nieprimowany O. (*RYSUNEK*) Obserwator w układzie O'obserwuje zjawisko na obiekcie spoczywającym względem niego w miejscu o współrzędnej x1'. Obserwator w układzie O odnotuje (z zas. niezmienniczości OCZ !) delta s^2=c^2*tau^2-(x2-x1)^2. Współrzędno y,z można pominąć ponieważ nie ulegają one zmianie. Możemy też zauważyć, że (x2-x1)/(t2-t1)=v, gdzie v jest prędkościąobiektu względem ukłaadu O. Ostatecznie otrzymujemy: tau=tau0/sqrt(1-(v/c)^2); tau0=t2'-t1'; tau=t2-t1. Jest to efekt relatywistycznego wydłużenia czasu, tau0 jest czasem własnym zjawiska czyli czasem notowanym w układzie, względem którego obiekt pozostaje w spoczynku. W układzie, względem którego obiekt porusza się, notowany czas jest dłuższy. (*RYSUNEK*) Relatywistyczną zmianę długości przedyskutuję na podstawie transformacji L-E. W układzie O' spoczywa obiekt którego długość jest równa l0=x2'-x1'. obiekt ten porusza się względem nieprimowanego z prędkością v. Aby zmierzyć długość obiektu w tym układzie potrzebujemy dwóch obserwatorów, którzy w tym samym czasie odnotują współrzędne końca i początku obiektu: x1'=(x1-vt1)/sqrt(1-(v/c)^2); x2`=(x2-vt2)/sqrt(1-(v/c)^2)); t1=t1; l0=x2'-x1'; l=x2-x1; l=l0*(1-(v/c)^2). długość obiektu mierzoną w układzie, w którym obiekt spoczywa jest długością własną obiektu. Z innych zależności można otrzymać wzory na dodawanie prędkości: ux=(ux'+v)/(1+ux*v/c^2); uy=(uy'/(1+ux*v/c^2))*sqrt(1-(v/c)^2); uz=(uz'/(1+ux*v/c^2))*sqrt(1-(v/c)^2); x-wzdłużna, y,z-prostopadłe. Przy dodawaniu prędkości nie można otrzymać prędkości większej od c.

WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI.

ODDZIAŁYWANIA POTENCJALNE.

Podstawowe oddziaływania mają własności: 1. Siła oddziaływania F między dwoma ciałami jest funkcją ich wzajemnej odległości %r (%-wektor), co opisuje: %F=%F(%r) i %F(%r)=0 gdy r=nieskończoność; 2. Praca sił po drodze zamkniętej wynosi 0. (*RYSUNEK*) Własność ta wynika z tego, że praca delta L wykonana przy przesuwaniu ciała od dowolnego punktu 1 do dowolnego punktu 2 nie zależy od drogi przesuwania lecz od położenia tych punktów. Praca wykonana przez siłę oddziaływania jest wykonana kosztem energii oddziaływania. Wynika stąd wniosek, że każdemu wzajemnemu położeniu ciał odpowiada jednoznacznie określona energia oddziaływania U. Takiego rodzaju energię nazywa się potencjalną, a samo oddziaływanie potencjalnym lub zachowawczym.

POTENCJALNE POLA SIŁ.

Założenia: jedno z dwóch ciał oddziaływujących jest nieruchome w początku układu współrzędnych, rozpatrujemy ciało drugie. (*RYSUNEK*) Jeżeli przesunie się ono z punktu 1 o mały odcinek delta l do położenia 2, to siła oddziaływania (pole sił) wykona pracę: delta L=%F*%delta l=Fl*delta l=U(1)-U(2)=-delta U, przy czym delta U to różnica energii potencjalnej oddziaływania między położeniami ciała w punktach 2 i 1, a Fl to składowa siła oddziaływania w kierunku przesunięcia %delta l. Więc związek między Fl i energią oddziaływania: Fl=-dU/dl. Jeżeli więc znamy energię potencjalną oddziaływań U(r) w każdym punkcie pola to za pomocą wzorów możemy określić siłę. Jeżeli energia potencjalna oddziaływania zmierza do zera, gdy ciała oddalają się od siebie do nieskończoności, można określić związek między wartością energii w dowolnym punkcie pola i siłą oddziaływania. Przy przesuwaniu ciała od położenia %R do nieskończoności siły pola wykonują pracę równą wartości energii potencjalnej w miejscu %R, czyli: całka od R do nieskończoności z Fr(r)*dr=U(R)-U(nieskończoności)=U(R). Ponieważ wektor siły można zapisać jako sumę składowych w postaci: %F=Fx*%i+Fy*%j+Fz*%k, gdzie %i,%j,%k są wektorami jednostkowymi wzdłuż osi x,y,z, mamy: %F=((dU/dx)*%i+(dU/dy)*%j+(dU/dz)*%k)=-grad U=-%nabla U (nabla-trójkąt z podstawą u góry); %nabla=%i*d/dx+%j*d/dy+%k*d/dz. Operator ten działając na funkcję skalarną daje operację gradient na wielkość wektorową. %A działa w iloczynie skalarnym %nabla*%A=dAx/xd+dAy/dy+dAz/dz=div %A (diwergencja) lub wektorowym %nabla*%A=%i*(dAz/dy-dAy/dz)+%j*(dAx/dz-dAz/dx)+%k*(dAy/dx-dAx/dy)=rot %A (rotacja). (*RYSUNEK*) Gęstość linii sił jest miarą wartości sił w danym miejscu. Użytecznym jest ????????? oddziaływań potencjalnych za pomocą linii sił i powierzchni ekwipotencjalnych. Linie sił są takimi siłami, że wektor siły w każdym punkcie pola jest styczny do linii siły przechodzącej przez dany punkt, natomiast gęstość linii jest proporcjonalna do wartości siły. Powierzchnie prostopadłe do linii sił są powierzchniami ekwipotencjalnymi (tzn. stałego potencjału), ponieważ przy przesuwaniu ciał w kierunku prostopadłym do siły nie jest wykonywana praca przez siły oddziaływań, a więc nie zmienia się energia potencjalna oddziaływania. Wzrost siły jest więc w kierunku malenia energii potencjalnej. Najważniejsze oddziaływania potencjalne to grawitacyjne i kulombowskie oddziaływania od mas (ładunków) punktowych lub kulistych. Siła oddziaływania grawitacyjnego %F=-(G*M*m/2)*%r/r. Jedna z mas, np. M jest w początku układu współrzędnych a druga m, na którą działa siła, jest w miejscu %r wyrażenie %r/r określa kierunek działania siły (radialny). Znak (-) uwzględnia energię oddziaływania grawitacyjnego U(r)=-G*M*m/r. Siła oddziaływania elektrostatycznego %F=Q*q/(4*PI*epsilon 0*r)*%r/r. Energia oddziaływania elektrostatycznego U(r)=Q*q/(4*PI*epsilon 0*r). Oddziaływania między cząsteczkami w gazach i cieczach, zwane siłami Van der Waalsa opisujemy tzw. potencjałem 6-12: U(r)=4*epsilon*[(sigma/r)^12-(sigma/r)^6]. (*RYSUNEK*) Składnik przyciągający -(sigma/r)^6 przeważający wa dużych odległościach. Składnik odpychający (sigma/r)^12 przeważający na małych odległościach. Zderzenie dwu cząsteczek, których całkowita energia = E0: (*RYSUNEK*) Różnica między energią całkowitą i potencjalną jest energią kinetyczną zderzających się cząsteczek. Najmniejsza odległość cząstek przy zderzeniu odpowiada zrównoważeniu się energii całkowitej z potencjalną. Gdy w czasie zderzenia zostanie cząstkom odebrana energia w ilości takiej, że całkowita energia będzie ujemna, cząstki nie mogą oddalić się od siebie-utworzą układ związany. Można więc uzyskać tyle informacji o zachowaniu cząstek za pomocą energii potencjalnej oddziaływania. Widać też, że względny ruch oddziaływujących cząstek jest jakościowo równoważny ruchom kulki w polu siły ciężkości, poruszającej się bez tarcia po profilu o kształcie odpowiadającym wykresowi energii potencjalnej. Oddziaływania między atomami w cząsteczkach i kryształach opisujemy często tzw. potencjałem Morse'a: U(r)=D*[1-exp(-beta*(r-r0))]^2 (*RYSUNEK*). Dla wychyleń wokół r0 niedużych, a ściśle, gdy beta*(r-r0)<<r, potencjał ten można aproksymować zależnością: U(r)=D*beta^2*(r-r0)^2 opisującą oddziaływanie sprężyste, w którym współczynnik sprężystości jest równy 2*D*beta^2. Ruch ciała o masie M pod wpływem działania takiej siły jest drganiem harmonicznym z częstością kątową: omega0^2=2*D*beta^2/M. Parametr beta jest energią dysocjacji lub wiązania.

UJĘCIE POLOWE ZAGADNIENIA:

siła %F działająca na ciało i energia są wprost proporcjonalne do ładunku ciała, który oznaczymy jako C. C=m w przypadku grawitacji; C=q w przypadku siły elektrycznej. Przyjmijmy dalej, że ciało traktowane przez nas jako nieruchome. W początku układu wspólrzędnych wytwarza pole (grawitacyjne, elektryczne) mające tę właściwość, że na inne ciało, znajdzie się w tym polu, działa siła %F=%E*C. Ma ono energię potencjalną U=V*C; V-potencjał. U i V w każdym punkcie pola są wielkościami zależnymi tylko od ciała wytwarzającego pole i położenia interesującego punktu. Na przykład: %Egr=-G*M/r^2*%r/r, Vgr=-G*M/r, %Eel=Q/(4*PI*epsilon 0*r^2)*%r/r, Vel=Q/(4*PI*epsilon 0*r); %E=-grad V. Pojęcie pola oddziaływań jest nie tylko pojęciem modelowym, ale realnością fizyczną. Ładunek elektryczny faktycznie zmienia wokół siebie przestrzeń-istnieje w niej pole elektryczne, podobnie masa jest źródłem pola grawitacyjnego.

OPIS RUCHU DWÓCH ODDZIAŁYWUJĄCYCH CIAŁ.

(*RYSUNEK*) Dwa ciała o masach M i m oddziaływują na siebie siłą zależną od ich względnego położenia %r. Na masę m działa siła -%F(%r). Różniczkowe równania ruchu mają postać: m*d^2%rm/dt^2=%F(%r); M*d^2%rM/dt^2=-%F(%r). Otrzymujemy układ równań wzajemnie uwikłanych, gdyż: %r=%rm-%rM; %r0=(M*%rM+m*%rm)/(M+m). Różniczkojąc równanie otrzymujemy: (M+m)*%v0=M*%vM+m*%vM; %v0-prędkość środka masy, %vM,%vm-prędkości ciał. Masa całego układu razy %v0 jest pędem całego układu. Pęd ten jest stały. Położenia obu mas względem środka masy są określone wzorami: %rm'=%rm-%r0=%r*M*m/(M+m)*1/m; %rM'=%rM-%r0=-%r*M*m/(M+m)*1/M; mi=M*m/(M+m) jest masą zredukowaną układu, czyli: %rm'=mi/m*%r; %rM=mi/M*%r. Suma pędów względem O' jest równa zero. m*d^2%rm'/dt^2=mi*d^2%r/dt^2; M*d^2%rM/dt^2=mi*d^2%r/dt^2. Możemy więc zapisać, że: mi*d^2%r/dt^2=%F(%r), przy czym położenie %r masy mi względem O' odpowiada położeniu masy m względem M. (*RYSUNEK*)

RUCH W POLU SIŁY CENTRALNEJ.

Energia potencjalna oddziaływania jest równa: U(r)=-A/r; A-stała. Jest to siła centralna, ponieważ działa wzdłuż promienia łączącego ciała, więc moment siły jest równy zero. Moment pędu układu jest także stały. Ruch środka masy odbywa się w jednej płaszczyźnie. Położenie masy zredukowanej najwygodniej jest opisywać w układzie biegunowym o współrzędnych: promieniu wodzącym r i kącie azymutalnym fi. Wyróżniamy składową radialną prędkości vr i azymutalną vfi. Moment pędu K jest równy: K=mi*vfi*r=mi*vnieskończoność+p; vnieskończoność-prędkość masy zredukowanej daleko od centrum siły; p-parametr zderzenia. (*RYSUNEK*) Całkowita energia układu jest stała i jest sumą energii kinetycznej ruchu azymutalnego i energii potencjalnej. Ponieważ energia ruchu azymutalnego jest funkcją odległości możemy ją traktować razem z energią U(r) jako energię potencjalną U'(r). (*RYSUNEK*) rz-odległość najmniejszego zbliżenia masy mi do centrum siły. Jeżeli energia jest ujemna, np. E2, to ruch jest po obwodzie zamkniętym (elipsie) wokół centrum siły, r1 i r2 są odległościami najmniejszego i największego oddalenia masy mi od centrum siły. Gdy E3=-A/2*rk to jest to ruch po kole.

ŻYROSKOPOWE MOMENTY SIŁ

(efekt żyroskopowy w ruchu obrotowym). (*RYSUNEK*) Mamy do czynienia z obracającym się ciałem o dostatecznie dużym momencie pędu %K, na które działamy parą sił %F, wytwarzając moment siły M. Zgodnie z II zasadą dynamiki w małym odstępie czasu delta t następuje przyrost delta %K. Ponieważ przyrost delta %K jest mały i prostopadły względem %K, to moment pędu poczasie delta t równy %K+delta %K jest praktycznie co do wielkości taki sam jak %K tylko odwrócony o kąt delta fi=delta K/K. Oznacza to, że oś obrotu ciała wykonała obrót o kąt delta fi w płaszczyźnie xy, chociaż działający moment siły dąży do obrotu osi ciała w płaszczyźnie yz. Prędkość kątowa %OMEGA tego obrotu nazwanego precesją wynosi: OMEGA=delta fi/delta t=delta K/(K*delta t)=M*delta t/(K*delta t)=M/K. Kierunek i zwrot na rysunku. Ostatecznie zależności: %M=%OMEGA x %K. Efekt ten wynika z elementarnych praw dynamiki. Przykład: bąk dziecinny, stabilizacja jazdy na rowerze, stabilizatory na statkach, żyrokompasy itp.

CHRIS 2 BEZWŁADNOŚĆ I GRAWITACJA

BEZWŁADNOŚĆ I GRAWITACJA

SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Rozpatrując ruch ciał w ukł. nieinercjalnych (tzn. poruszających się ruchem zmiennym) dochodzimy do wniosku, że możemy stosować zasady dynamiki Newtona dla ukł. inercjalnych pod warunkiem wprowadzenia pozornych sił tzw. sił bezwładności. <<RYSUNEK>> O\i - ukł. inercjalny O\n - ukł. nieinercjalny Rozpatrując ruch ciała poruszającego się bez tarcia w ukł. O\n, na które nie działają siły zewnętrzne stwierdzamy, że według obserwatora w ukł. O\i ciało nie zmienia swego ruchu i przysp. ciała |a\i=0, według obserwatora w O\n porusza się ono z przysp. |a\n=-|a\n. Ogólnie: w ukł. nieinercjalnym oprócz sił przyłożonych bezpośrednio do ciała o masie m działa na nie dodatkowa siła (siła bezwładności) określona równaniem |F\b=-m*|a\n Ukł. nieinercjalne poruszające się ruchem prostoliniowym nie wymagają głębszych wyjaśnień. <<RYSUNEK>>Rozważmy nieinercjalny ukł. O\n obracający się z prędkością kątową |'om' względem ukł. inercjalnego O\i. Środki obu ukł. pokrywają się, a wektor prędkości kątowej obrotu jest zgodny z osią z\i. Niech będzie dany wektor |r. Jeżeli szybkość zmian tego wektora w ukł. O\i oznaczymy przez (d|r/dt)\i a w O\n (d|r/dt)\n to związek między nimi jest następujący (d|r/dt)\i=(d|r/dt)\n+|'om' x |r (1)Jeżeli |r będzie wektorem położenia ciała to (d|r/dt)\i=|v\i (prędkość ciała w O\i), a (d|r/dt)\n=|v\n (prędkość ciała w O\n) czyli |v\i=|v\n+|'om' x |r Stosując wzór (1) do wektora |v\i mamy (d|v\i/dt)\i=(d|v\i/dt)\n+|'om' x |r=(d|v\n/dt)\n+|'om' x |v\n+|'om' x (|'om' x |r) ale (d|v\i/dt)\i=|a\i i (d|v\n/dt)\n=a\n czyli |a\i=|a\n+2*|'om' x |v\n+|'om' x (|'om' x |r) gdzie a\i i a\n są przyspieszeniami ciała w O\i i O\n. Korzystając z zależności |a\i=|a\n+|a\u możemy wyznaczyć przyspieszenie ukł. O\n |a\u=2*|'om' x |v+|'om' x (|'om' x |r) Stąd wzór na siłę bezwładności w ukł. obracającym się |F\b=-m*|a\u=-2*m*|'om x |v-m*|'om' x (|'om' x |r) Pierwszy składnik nazywany jest siłą Coriolisa, drugi siłą odśrodkową. Masa bezwładna i grawitacyjna. Wprowadzone przez Newtona w zasadach dynamiki pojęcie masy jest miarą bezwładności ciała. Newton odkrył również drugą własność ciał - wzajemne działanie na siebie siłami grawitacyjnymi. Przez analogię do odziaływań elektrycznych należałoby mówić o ładunkach grawitacyjnych ciał. Chociaż doświadczenie wskazuje, że miarą ładunku grawitacyjnego ciała może być jego masa to bezwładność ciała i zjawisko grawitacji są zupełnie różnymi własnościami. W związku z tym wyróżniono pojęcie masy bezwładnej i masy grawitacyjnej oraz zaczęto podejmować próby wyznaczenia ewentualnej różnicy lub tożsamości tych wielkości (poprzez wykrycie różnic w ruchu ciał wykonanych z różnych substancji pod działaniem grawitacji Ziemi). Siła grawitacji F\g jest proporcjonalna do masy grawitacyjnej jm\g ciała. F\g=G*(M*m\g)/(r^2) G - stała grawitacji M - masa Ziemi r - odległość ciała od środka Ziemi. Z drugiej zasady dynalmiki mamy a=F\g/m\b=(G*M)/r^2*m\g/m\b czyli, że przyspiesznie ciała zależy od stosunku masy bezwładnej i grawitacyjnej. Doświadczenia wykazały równoważność masy grawitacyjnej i bezwładnej (co stało się punktem wyjścia ogólnej teorii względności Eisteina). Jeżeli masa grawitacyjna i bezwładna są tym samym to oznacza, że obserwator w zamkniętej kabinie żadnymi eksperymentami fizycznymi nie może ustalić czy ciężość ciał w kabinie pochodzi od pola grawitacyjnego dużej masy czy też od siły bezwładności spowodowanej ruchem przyspieszonym kabiny. Fakt ten nazywamy lokalną równoważnością sił grawitacji i bezwładności. Dopiero badanie tych sił w dużym obszarze pozwoliłoby ustalić ich charakter poprzez określenie charakterystyki przestrzennej (różnej w przypadku pola grawitacyjnego i nieinercjalnego ukł. odniesienia).

DZIUBEK RUCH FALOWY

legenda

(( %litera - litera grecka : %a alfa %b beta %g gamma %d delta %e epsilon %j jota %k kappa %l lambda %m mi %v ni %s sigma %t tau %y ypsilon %f fi %p psi %o omega %r ro, #litera oznacza wektor nad tą literą, $litera podkreślenie NAD literą, . iloczyn skalarny & iloczyn wektorowy a Pi to 3.14159.))

V.RUCH FALOWY

1.RÓWNANIE FALI

Fala - przekazywanie zaburzeń z dowolnego miejsca w ośrodku sprężystym do sąsiednich obszarów niezaburzonych. Za kierunek rozchodzenia się fali i współrzędna położenia w ośrodku przyjęto oś X, wielkość wytrąceń cząstek z położenia równowagi oznaczono przez %P. Kształt fali w t=0 można określić pewną funkcją f(x). Fala przemieszcza się w ośrodkach z określoną prędkością v. W dowolnym momencie czasu równanie fali ma postać: %P=f(x-v*t). Równaważnym równaniem (opisującym tę samą falę) jest równanie: %P=g*[t- (x/v)], gdzie g jest odwróconą funkcją f. {RYSUNEK} Fale harmoniczne można zapisać równaniem %P=A*sin[((2*Pi)/%l)*(x-v*t)]=A*sin(k*x-%o*t), gdzie k=((2*Pi)/%l) jest wektorem falowym (%l - długość fali). Kierunek i zwrot wektora falowego odpowiada kierunkowi i zwrotowi rozchodzącej się fali. W układzie trójwymiarowym w miejscu kx byłoby #k.#r, gdzie #r jest wektorem położenia. Natomiast %o=(2*Pi*v)/%l=2*Pi*%v=(2*Pi)/T (%v częstotliwość T okres fali), jest nazywana prędkością kątową fali lub częstotoliwością kątową. v=%o/k

2.RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE FALI

((d^2)%P)/(dx^2)=[1/(v^2)][(d^2)%P/dt^2)] Dany związek opisuje dynamikę ruchu falowego i dlatego nazywany jest różniczkowym równaniem ruchu falowego. Rozważając przykład fali sprężystej podłużnej w pręcie możemy zapisać dwa równania. Pierwsze to II zasada dynamiki dla pewnego odcinka dx. ............ dF - wypadkowa siła działająca na odcinek dx pręta {{ RYSUNEK }} Drugie równanie to wzór na rozciąganieo d%P odcinka o długości dx pod wpływem siły F (d%P)/dx)=F/SE gdzie E moduł Younga materiału. Przekształcając te równania otrzymujemy: %rS*(d^2)%P/(dt^2)=dF/dx i (d^2)%P/(dx^2)=(1/(S*E))*(dF/dx) z kolei z tych równań otrzymujemy równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest fala: (d^2)%P/(dx^2)=(%r/E)((d^2)%P/(dt^2)). Stała %r/E jest odwrotnościa prędkości fali. Otrzymując równanie fali tego typu możemy powiedzieć, że {NIECZYTELNE} Można także wyprowadzić wzory: -prędkość fal poprzecznych w strunie v=sqrt(T/%t) T siła naciągu %t liniowa gęstość masy. -prędkość fal w gazie v=sqrt(%kp/%r) %k=c!p/c!v współczynnik Poissona p ciśnienie gazu. Przy wyprowadzaniu tych wzorów przyjmuje sił, że ośrodek jest jednorodny.

3.ENERGIA W RUCHU FALOWYM.

Z ruchem fali związany jest transport energii mimo, że nie ma ..... transportu masy. Stąd dla ....... fali pod względem ilości transportowanej energii jet jedną z istotniejszych. Rozważmy wycinek %ds powierzchni czoła fali w momencie czasu t, biegnącej w kierunku x. W ośrodku po lewej stronie czoła fali cząsteczki drgają. {RYSUNEK} Z ruchem tym związana jest energia drgań E!%s. Jest to energia drgań przypadająca na jednostkę objętości ośrodka. Miarą ilości energii transportowanej prze falę jest natężenie I fali, które jest stosunkiem energii %dE, przeniesionej przez powierzchnię %ds prostopadłą do kierunku biegu fali w czasie %dt do tej powierzchni i czasu. Energię %dE definiuje się %dE=%ds*%dx*E!%s. %dx odcinek, o który przesunie się czoło fali %dx=v*%dt. Stąd natężenie I wynosi: I=%dE(%ds,%dt)/(%ds*%dt)=E!%s*v E!%s wyraża się analogicznie jak energia drgań harmonicznych E!%s=[%s*(%o^2)*(A^2)]/z . Wtedy natężenie fali harmonicznej wynosi I=(1/2)*%s*v*(%o^2)*(A^2)=(z*(U!0^2)/2 z oprność falowa ośrodka z=%sv, U!0 amplituda prędkości drgań U!0=%oA. Ważną wielkościa charakteryzującą źródło fali jest jego moc M, czyli szybkość emisji energii w czasie {RYSUNEK + OPIS} Natężenie fali w odległości r od źródła jest równe mocy tego źródła do powierzchni prze którą fala przechodzi. I=M/((r^2)*%d%O) %d%O kąt bryłowy. Gdy źródło fali jest punktowe lub kuliste i emituje falę izotropowo %d%O=4*Pi W ośrodkach rzeczywistych energia fali w pewnym stopniu jest pochłaniana i zamieniana na ciepło. Ubytek natężenia fali przy przejściu drogi dx wyniesie dI=-%a*I*dx, po przekształceni I=I!0*exp(- %a*x) %a współczynnik pochłaniania fali w ośrodku wprost proporcjonalny do kwadratu częstotliwości i odwrotności gęstości ośrodka. Do tej pory zajmowaliśmy się głownie falą wychyleń cząstek z położeń rwnowagi (np. %P=A*sin(k*x-%o*t) ale fala w ośrodku materialnym to również fala prędkości drgań U=d%P/dt=-%o*A*cos(h*x-%ot)=-U!0cos(k*x-%o*t). U!0 jest amplituda prędkości drgań w fali i falą ciśnień p. Równanie %r*s*dx=((d^2)%P/(dt^2))=dF będące II zasadą dynamikki dla wybranego odcinka dx materiału, można zapisać: %r*(dU/dt)=dp/dx . Z w/w równań wynika że p=-U!0*%r*v*cos(k*x-%o*t)=- U!0*z*cos(k*x-%o*t)=z*U z=%r*v jest nazywane operem falowym ośrodka. W przypadku fali biegnącej w kierunku przeciwnym do kierunku osi współrzędnych x p=-z*U. Pojęcie oporu falowego ośrodka odnosi się nie tylko do fal mechanicznych. W przypadku fal elektromagnetycznych odpowiednikiem fali prędkości jest fala natężeń pola magnetycznego a fali ciśnień jest fala pola elektrostatycznego. Opór falowy ośrodka dla fali elektromagnetycznej jest równy z=sqrt((U*U!0)/(%E*%E!0)), gdzie U i %E są względnymi przenikalnościami odpowiednio magnetyczną i elektryczną ośrodka, a U!0 i %E!0 bezwzględnymi przenikalnościami próżni. Opór falowy dla próżni dla fali elektromagnetycznej jest równy 377 %O. Natężenie wynosi I=U*p=U*U*z=((p*p)/z). Dla fali harmonicznej można wyliczyć wartości średnie w okresie $I=(1/2)*U!0*p!0=(1/2)*(U!0^2)*z=(1/2)*((p!0^2)/z)=U!sk*p!sk, gdzie U!sk=U!0/sqrt(2), p!sk=p!0/sqrt(2) są skutecznymi wartościami prędkości drgań i ciśnienia w fali.

5.FALA NA GRANICY DWU OŚRODKÓW

Gdy fala pada na granicę między dwoma osrodkami to w części się odbija a w części przechodzi do drugiego ośrodka, przy czym następuje tzw. załamanie fali określone zależnością (sin(%a)/sin(%b))=v!1/v!2. Gdy fala pada prostopadle na granicę między ośrodkami, to z zasady zachowania energii I=I!o+I!p, I!o natężenie fali odbitej, I!p natężenie fali padającej. W ośrodku o oprności falowej z!1, z!2 opór falowy ośrodka do którego fala wchodzi. Z ciągłości amplitudy wycyleń, prędkości i ciśnień na granicy dwóch ośrodków (na granicy wypadkowe wycyleń i prędkości cząstek oraz ciśnienia muszą być takie same w obu ośrodkach) mamy: (1) %P+%P!o=%P!p, (2) U+U!o=U!p, (3) p+p!o=p!p. Indeksy o i p dotyczą fali odbitej i przecodzącej. Ponieważ prędkości drgań są wprost proporcjonalne do iloczynów wychyleń i u, a ta ostatnia jest taka sama w obu ośrodkach (zawsze przy przejsciu %o!1=%o!2, natomiast jeżeli v!1<>v!2 to %l!1<>%l!2 ) więc równania (1) i (2) są sobie równoważne. Ponieważ p=z!1*%o*A, p!o=-z!1*%o*A!o, p!p=z!2*%o*A!p, to z (1) i (3) : A!o/A=R=(z!1-z!2)/(z!1+z!2), a dalej I!o=R^2*I=((z!1- z!2)^2/(z!1+z!2)^2)*I oraz I!p=(1-R^2) gdzie R jest współczynnikiem odbicia amplitudy. Tak więc los fali na granicy dwóch ośrodków zależy od względnej wartości ich oporności falowych. W przypadku gdy z!1=z!2, mamy do czynienia z dopasowaniem ośrodków. Fala w całości przechodzi do ośrodka drugiego, dgy opory falowe różnią się, fala w części odbija się, a w części przechodzi. Przy czym gdy z!1>z!2, R>0 , tzn faza fali odbitej jest zgodna z fazą fali padającej w miejscu odbicia amplituda drgań jest sumą fali padającej i odbitej. W przciwnym wypadku, tzn gdy z!1<z!2 (ośrodek od którego fala odbija się ma gęstośc większą w stosunku do ośrodka w którym fala się porusza) i R<0 faza fali odbitej jest przeciwna do fazy fli padającej, wypadkowe drgania cząstek ośrodka są różnicą amplitudy fali padającej i odbitej. Gdy dodatkowo z!1 i z!2 bardzo się różnią, to odbicie jest całkowite. Wtedy na granicy występują drgania maksymalne (strzałek) lub zerowe (węzły). Dopasowanie falowe ośrodków lub przeciwnie niedopasowanie jest zawsze istotnym warunkiem skutecznego wykorzystania zjawisk falowych. W przypadku źródeł fal dąży się do dopasowania oporu falowego źródła i ośrodka, w którym fala ma się rozchodzić, aby fala była skutecznie emitowana do ośrodka. Jednak np. w radiolokacji (radary) , defetkoskopii ultradźwiękowej pożądana jest wyraźna różnica między oporem falowym ośrodka i obiektu mającego być wykrytym. Dwa ośrodki o dowolnie różniących się oporach falowych można dopasować, jeżeli opór między nimi będzie się zmieniać w sposób ciągły wg zależności wykładniczej.

6.FALA STOJĄCA

Jeżeli fala całkowicie odbije się na granicy dwóch ośrodków, to w wyniku interferencji fali padającej %P i odbitej %P!o otrzymamy fale stojącą. %P!s=%P+%P!o=2*A*cos(k*x)*sin(%o*t) Fala stojąca nie jest już właściwie falą, bowiem funkcja opisująca drgania ośrodka nie jest funkcją argumentu (k*x- %o*t). Są to właściwie stacjonarne dragania w czasie (czynnik (sin(%ot)), ale amplituda drgań jest funkcją położenia (czynnik 2*A*cos(k*x)). Jeżeli opór falowy ośrodka, w którym fala pada jest większy od oporu falowego, do którego fala wchodzi to na granicy powsatnie strzałka: {RYSUNEK} w przeciwnym wypadku powstanie węzeł : {RYSUNEK}. Jeżeli ośrodek , w którym fala jets stojąca jest ograniczony z obu stron zapewniającymi całkowite odbicie to fala stojąca jest ograniczona z dwu ston. Takie układy nazywamy rezonatorami: {RYSUNEK} W rezonatorze mogą być fale stojące tylko takie, których długości fal %l!n są dopasowane do wymiarów rezonatora L. Dla jednowymiarowych drgań n*(%l!n/2)=L , gdzie n jest naturalne, lub (%l!n/2)*(n-1/2)=L. A więc i dozwolone częstości dgrań rezonatora tworzą dyskretny ciąg %n!n=v/%l!n=(n*v)/(2*L) lub %n!n=(v*(n+1/2))/(2*L). W ogólnym przypadku rezonator jets obiektem trójwymiarowym i taki sam charakter ma fale stojące.

VI. ANALIZA WIDMOWA FAL, INTERFERENCJA I DYFRAKCJA FAL

1.NAKŁADANIE SIĘ FAL

Jeżeli w ośrodku rozchodzą się dwi lub więcej fal to wypadkowe drgania cząstek ośrodka (a więc i fala wypadkowa) są sumą geometryczną składowych fal. Zatem w ruchu falowym obowiązuje fala superpozycji. Rozważając przypadek superpozycji dwu fal harmonicznych poruszających się w tym samym kierunku, o wektorach falowych k i k+%dk niewiele się od siebie różniących oraz częstotliwościach %o i %o+%d%o, to w wyniku złożenia tych fal otrzymujemy wypadkową falę %P=A*sin(k*x-%o*t)+A*sin[(k+%dk)*x-(%o+%d%o)*t] = 2*A*cos((%dk/2)*x-(%d%o/2)*t)*sin(k*x-%o*t) Wypadkowa fala ma długoścć i częstotliwośc taką samą co fale składowe, tylko amplituda jest zmienna. Obwiednia amplitudy ma sama charakter fali poruszającej się z prędkościa %d%o/%dk. Prędkość tę nazywamy grupową i wyrażamy ją wzorem v!g=d%o/dk. Transport energii w fali złożonej jest związany z prędkościągrupową poruszania się jakby paczek falowych. Natomiast prędkość v=%o/k nazywana prędkością fazową nie ma w przypadku fali złożonej istotnego znaczenia. {RYSUNEK} v!g=v-(dv/d%l)*%l Wzór ten można uzyskać przekształcając wzór na prędkość grupową. Ośrodki w których prędkość fazowa jest długości fali nazywane są dyspersyjnymi.

2.PACZKA FALOWA

Każda fala rzeczywista w ścisłym sensie nie jest falą harmoniczną, bowiem jest skończona w czasie i w przestrzeni, a funkcja harmoniczna jest określona dla argumentu +/-nieskończoność. {RYSUNEK} Fala skończoną w czasie i przestrzeni to paczka falowa. Porusza się ona z prędkościa grupową. Każda fala rzeczywista będąca paczką falową jest superpozycją fal harmonicznych, można to zapisać zależnściami: %P!t(x)=0@oo c(k)*sin[k*x+%F(k)]dk lub %P!x(t)=0@oo c(%o)*sin[%o*t+%F(%o)]dk , gdzie {oo - nieskończoność} c(k), c(%o) gęstości widmowe amplitud, a %F przesunięcia fazowe poszczególnych fal. Widma fal harmonicznych składających się na paczkę falową są bardzo różne w zależności od kształtu paczki falowej. W przypadku danej fali (z RYSUNEK) możemy mówić o średniej długości fali %l!0 lub okresie T!0, czy częstotliwości %o!0, ale w takim sensie, że fala ta jest superpozycją fal harmonicznych o wektorach falowych z zakresu (k!0-%dk/2) do (k!0+%dk/2), lub częstotliwościach z zakresu (%o!0-%d%o/2) do (%o!0+%d%o/2). Czyli że na te fale składa się pewne widmo fal harmonicznych. Wielkości %dk i %d%o charakteryzują szerokość widma.{RYSUNEK} Długość fali jest tym dokładniej określona, imwięcej dl gości fal mieści się w całej fali. Ilościowo możemy zapisać to tak: %d%l/%l!0=%l!0/%dx czyli (%d%l/(%l!0)^2)*%dx=1 gdzie %d%l/%l!0 to względna rozmycie długości fali. Uwzględniając , że w sensie rachunku różniczkowego %d%l/((%l!o)^2)=|%d(1/%l!0)|, a %d(2*Pi/%l!0)=%dk mamy %dk*%dx=2*Pi. Podobnie otzrymujemy %d%o*%dt=2*Pi oraz %d%n*%dt=1. Związki te mają charakter orientacyjny i porawnie należałoby zapisać %dk*%dx>=2*Pi i %d%o*%dt>=2*Pi

3.ANALIZA FOURIEROWSKA ( WIDMOWA ) FAL

Jeśli mamy dowolną funkcję (falę) określoną w czasie, np. jak na rys. {RYSUNEK} , to można ją wyrazić jako sumę nieskończonego szeregu funkcji (fal) harmonicznych o częstotliwościach będących wielokrotnościami (harmonicznymi) częstotliwości podstawowej %P(t)=(n=1)%Soo A!n*sin(n*%o!1t)+(n=0)%Soo B!n*cos(n*%o!1*t) gdzie %o!1=(2*Pi)/T!1 oraz A!n=(2/T!1)* [t!0]@[t!0+T!1] %P(t)sin(n*%o!1*t) dt B!n=(2/T!1)* [t!0]@[t!0+T!1] %P(t)cos(n*%o!1*t) dt , dgzie t!0 jest dowolnym momentem w czasu. Jeżeli okres czasu powtarzania T!1 będzie się zwiększać do oo, otrzymamy przebieg odpowiadający paczce falowej. Wtedy odległośc na skali częstotliwości między kolejnymi skłądnikami sumy szeregów maleje do zera i sumę tę należy zastąpić całką. Mamy wtedy: %P(t)=[0]@[oo] [a(%o)*sin(%o*t)+b(%o)*cos(%o*t)]d%o przy czym a(%o)=(1/Pi)* [-oo]@[+oo] %P(t)*sin(%o*t)dt ; b(%o)=(1/Pi)* [-oo]@[+oo] %P(t)*cos(%o*t)dt Powyższy wzór można też zapisać %P(t)= [0]@[oo] c(%o)*sin[%o*t+%F(%o)] d%o gdzie c(%o)=sqrt(a^2(%o)+b^2(%o)) oraz %F(%o)=arctg(a(%o)/b(%o) Całkowita energia fali jest wprost proporcjonalna do całki [-oo]@[+oo] %P^2dt SpeLniony jest związek [-oo]@[+oo] %P^2(t)dt=(1/Pi)*[0]@[+oo] c^2(%o) d%o odzwierciedlający fakt, że całkowita energia paczki falowej jest sumą energii fal, harmonicznych sklądających sie na tą paczkę. Każda fala harmoniczna jest drganiem, ktOrego energia jest wprost proporcjonalna do kwadratu widmowej gęstości amplitudy c(%o)

4.INTERFERENCJA FAL OD ŹRÓDEŁ PUNKTOWYCH O GEOMETRII SIATKI INTERFERENCYJNEJ

Siatka interferencyjan - n źródeł punktowych ułożonych w równomiernych odległościach %a w lini prostej {RYSUNEK} Maksymalne wzmocnienie zajdzie w tych kierunkach, dla których różnica dróg falowych między dwoma źródłami jest wielokrotnością %l!0. Dlatego musi być spełniony warunek %a*sin(%g)=n*$l. Rozważając interferencję dla innych kątów zakłąda się, że %P <<1 rad a %s różnica dróg między kolejnymi źródłami oraz %d różnica dróg fal między skrajnymi źródłami %s=d*%F a A=(N-1)*d*%F Odpowiadające im różnice faz to %s%a=2*Pi*(%a/%l); %d%a=2*Pi*(%d/%l). Różnice faz kolejnych źródeł w stosunku do źródła pierwszego możemy przedstawić na wykresie kołowym {RYSUNEK} %s%a=2*Pi*((%a%s%F)/%l)=(2*Pi)/N Wartość kąta %s%F, przy którym następuje pierwsze zupełne wygaszenie %s%F=%l/(N*%a). Następne wygaszenia następują dla kątów %F równych 2%s%F 3%s%F .. aż dla kąta %F=N%s%F będziemy mieć pierwsze maksimum interferencyjne. Wzór dla charakterystyki kierunkowej ma postać I/I!max=(1/N^2)*[sin^2(Pi*N*((%a*sin%F)/%l))/sin^2(Pi*((%a*sin%F)/%l)) {RYSUNEK} W Przypadku złożenia bez interferencji wypadkowe natężenie jest równe N*I!0. W przypadku interferencji wypadkowa amplituda jest sumą amplitud i jest wprost proporcjonalna do iloczynu N*sqrt(I!0), natomiast wypadkowe natężenie jest fali jest równe N^2*I!0.

5.ZASADA HUYGHENSA (UGIĘCIE FALI NA OBIEKTACH)

Zas. Każdy punkt, do którego dojdzie front fali można traktować jako punktowe źródło nowej fali, wypadkowy front fali w chwilę pożniej można uważać wynik nałożenia (interferencji fal od owych źródeł. Tak więc ów otwor należy traktować jako płaskiekołowe źródló fali. Fala rozchodząca się za otworem jest określona charakterystyką kierunkową : {RYSUNEK} Zjawisko to nazywa,y ugięciem (dyfrakcją) fali. {RYSUNEK} Pewne szczegóły ugiętej fali pokazane są na rys 2 Podobnie ma się rzecz z otworami o innych kształtach. Gdyby na drodze płaskiej fali ustawić przesłonę w kształcie krążka o średnicy D to fala też się ugnie. Kształt ugiętej fali winien być taki, że złożona z falą ugiętą na otworze winna tworzyć falę jakby żadnej przeszkody nie było , czyli falę płaską. Musi to być złożenie z uwzględnieniem faz, więc fale ugięte na dopełniających się przeszkodach są jakby falami dopełniejającymi się. Za pomocą zasady Huyghensa można łatwo przewidywać kształt fali i jej rozchodzenie się. Przykładem mogą być konstrukje geometryczne wyjaśniające zasady obicia i załamania.

6.CHARAKTERYSTYKI KIERUNKOWE NADAJNIKÓW I ODBIORNIKÓW

Rozważając źródło spójne w kształcie odcinka o szerokości D to N -> oo {RYSUNEK} (N-1)d=D. Wtedy w kierunku %F=0 jest maksymalne wzmocnienie interferencyjne, a w kierunku wg wzoru %s%F=%l/D pierwsze zupełne wygaszenie. Kolejne wygaszenia będą występowały dla kątów równych wielokrotności kąta %s%F. Pomiędzy minimami będą maksyma. Wysokośc i-tego małego maksimum będzie wynosić 1/(2*i+1)^2. Tak więc pierwsze boczne maksimum dyfrakcyjne ma natężenie około 1/9 natężenia środkowej wiązki, drugie 1/25. Wzór opisujący charakterystykę kierunkową ma postać: I/I!max=[sin^2((Pi*D*sin%f)/%l)]/[(Pi*D*sin%f)/%l] {RYSUNEK} Jeżeli źródło ma kształt koła o średnicy D to mamy do czynienia z układem dwuwymiarowym, wtedy zalżności ilościowe mają postać: I/I!max=[1-(1/2)m+(1/3)(m^2/2silna)^2-(1/4)(m^3/3silnia)]^2; m=(Pi*D*sin(%F)/(2*%l) Szereg ten jest funkcją Bessla. áródło w kształcie kołą to głośnik, przykładem jest punktowe źródło w ognisku zwierciadła parabolicznego. {RYSUNEK} Jeżeli źródło punktowe Z umieści się w ognisku zwierciadła parabolicznego to promienie odbite od powierzchni tworzą wiązkę równoległa, a drogi promieni są takie same po dotarciu do płaszczyzny S prostopadłej do osi zwierciadła. Powierzchnia S jest spójnym źródłem fali o kształcie koła. Odbiorniki (detektory) punktowe fal mają (niektóre) charakterystykę czułości izotropową. Jeżeli złoży się takie odbiorniki w układ o geometrii siatki interferencyjnej a sygnały od nich będzie się sumować z uwzględnieniem fazy to charakterystyka kierunkowa takiego systemu jets identyczna jak układu nadawczego. Można ogólnie powiedzieć, że charakterystyki kierunkowe nadajnika i odbiornika o tej samej geometrii są identyczne. Przykładami rozwiązań praktycznych, w których zagadnienie ostrej charakterystyki kierunkowej jest istotne są odbiorniki sygnałow kosmicznych. Np. radioanteny astronomiczne za pomocą ktorych ogląda się kosmos w obrazie fal radiowych o długościach rzędu centymetra. Taka antena powinna wycelowana w wybranym kierunku nieba tak, aby odbierała sygnały przechodzące tylko z wybranego kierunku. Dlatego wymagana jest duża zdolność rozdzielcza kątowa. Aby osiągnąć duża rozdzielczość kątową (malą watrośc kąta %s%F) buduje się anteny o średnicach 100 i więcej metrów. W ostatnim czasie synchronizuje się do wspólnego odbioru antenytakiego typu między sobą między obserwatorami odległymi od siebie o setki kilometrów. charakterystyka kierunkowa takiego układu jest iloczynem charakterystyki pojedyńczego żródła (w tym przypadku zwierciadła parabolicznego) i geometrii układu źródeł - duża odległość d od siebie. Duża wartość d (setki kilometrów) w stosunku do %l zapenia bardzo małe %s%F dla układu dwu źródeł w jednym wymiarze. Z kolei charakterystyka paraboliczna zapewnia rozsądna rozdzielczość w pozostałych kierunkach. {RYSUNEK}

CHRIS 7 POLE ELEKTRYCZNE

legenda:

|a - wektor a, ||a| - długość wektora, 'Del' - litera grecka duża, 'del' - litera grecka mała, 'a@b'(F)dl - całka w granicach od a do b z F po l , 'S@@0'(M)dS - całka powierzchniowa po polu S, r\i - r z indeksem i ,& - nieskończoność

Pole elektryczne.

NatęŻenie i potencjaŁ.

Na umieszczony w polu elektrycznym ładunek q działa siła |F. Tę własność pola opisuje wektor natężenia pola elektr. zdefiniowany następująco |E=|f/q Inną wielkością opisującą pole elektryczne jest potencjał. Różnicę potencjałów elektr. określamy jako V\A-V\B = W\AB/q gdzie Wab-praca wykonana przy przesunięciu ładunku q z punktu A do B. Zazwyczaj jako punkt A przyjmowany jest pkt. w nieskończoności i potencjał w tym punkcie Va przyjmowany jest za równy zeru. Pozwala to na określenie potencjału elektr. w konkretnym punkcie. V=W/q gdzie W-praca wykonana aby przenieść ładunek q z nieskończoności do danego punktu. Podstawiając Wab='A@B'(|F)d|l=-'A@B'(q|E)d|l czyli V=-'&@B'(|E)d|l Indukcja pola elektr. Zjawiskiem indukcji elektrostat. nazywamy zjawisko rozdziału ładunków elektrycznych w przewodnikach. Indukcyjne wartości pola elektr. opisuje wektor indukcji |D pola elektr. Definicja tego wektora wiąże się z wielkością indukowanego ładunku D\n='Del'q\ind/'Del'S='sig'\ind gdzie D\n-składowa normalna wektora indukcji do płytki o powierzchni 'Del'S na której indukuje się ładunek 'Del'q\ind 'sig'\ind-gęstość powierzchniowa ładunku na pow. 'Del'S Chociaż wektory |E i |D są zdefiniowane niezależnie od siebie to doświadczalnie określono związek między nimi jako |D='eps'\0 *|E gdzie 'eps'\0-bezwzględna przenikalność dielektryczna próżni.

Prawo Gaussa

Jeżeli dowolny ładunek Q zamknięty wewnątrz przewodzącej powierzchni dowolnego kształtu to całkowity ładunek zaindukowany przez pole elktr. (wytworzone przez Q) na zewnątrz tej powierzchni jest równy ładunkowi Q. Ponieważ zaindukowany ładunek q\ind jest równy sumie ładunków 'del'q\ind zaindukowanych na małych kawałkach 'del'S całej powierzchni a z kolei 'del'q\ind=D\n*'del'S możemy zapisać q\ind='S@@o'(D\n)dS skąd Q='S@@o'(D\n)dS <<RYSUNEK>>Weźmy przykładowo ładunek punktowy Q. Wytwarza on pole kulisto-symetryczne. Jeżeli więc jako powierzchnię Gaussa S weźmiemy powierzchnie kulistą o promieniu r ze środkiem w środku ładunku to składowa D\n=||D| i jest taka na całej powierzchni, czyli z prawa Gaussa 'S@@o'(D\n)dS=D*4'Pi'*r^2=Q skąd D=Q/(4'Pi'*r^2) D='Ep'\0*E czyli E=Q/(4'Pi'*'Ep'\0*r^2) Skąd wielkość siły działającej na ładunek q w odległości r od QF=(Q*q)/(4'Pi'*'Ep'\0*r^2) Jest to prawo Coulomba. Energia pola elektr. Dla obliczenia energii potencjalnej dwóch ładunków Q i q, że usuwamy ładunek q do nieskończoności. Potencjał wytworzony przez Q w punkcie, w którym znajdował się q wynosi V=Q/(4'Pi'*'Ep'\0*r) Do przeniesienia q z nieskończoności do pierwotnego położenia w odległości r potrzebna jest (z def. potencjału) praca W=V*q Łącząc oba równania i pamiętając, że praca W jest równa potencjalnej energii elektrycznej U układu Q+q mamy U=(Q*q)/(4'Pi'*'Ep'\0*r) Dipol elektryczny Dipolem elektr. |p określamy ukł. dwu równych przeciwnego znaku ładunków q oddalonych od siebie o |l. |p=q*|l Jeżeli rozważymy siły działające na dipol elektr. w polu elektr. jednorodnym to zauważamy, że działa na niego moment siły M=F*l*sin('fi')=E*p*sin('fi') <<RYSUNEK>> zapisując wektorowo |M=|p x |E Moment siły M usiłuje ustawić dipol zgodnie ze zwrotem pola elektr. Towarzyszy temu wykonanie pracy 'Del'W przez pole elektr. 'Del'W=-''fi'\1@'fi'\2'(M)d'fi' Praca ta odbywa się kosztem energii potencjalnej U dipola w polu 'Del'W=-'Del'U czyli U('fi'\1)-U('fi'\2)=-'-'fi'\1@'fi'\2'(M)d'fi'=p*E*(cos('fi'\2)-cos('fi'\1) Przyjmując, że U('fi'='Pi'/2)=0 wzór na energię potencjalną dipola elektr. w polu elektr. U=-|p*|E Jak widać w przypadku jednorodnego pola wypadkowa siła działająca na dipol jest równa zeru. W polu niejednorodnym mając swobodę ruchów dipol ustawia się wzdłuż linii pola elektr. Dipol wytwarza swoje własne pole. Potencjał w punkcie P odległym o r od środka dipola można określić jako sumę.

V(|r)=V(r\1)+V(r\2)=q/(4'Pi'*'Ep'\0)*(1/r\1-1/r\2)=(q*(r\2-r\1))/(4'Pi'*'Ep'\0*r\1*r\2)

Dla ||r|>>||l| W(|r)=(|p*|r)/(4'Pi'*'Ep'\0*r^3) <<RYSUNEK>>

GIGANT 9 POLE MAGNETYCZNE

W tekście tym trzeba podopisywać kreski nad wielkościami wektorowymi w odp. miejscach

8.1 POLE MAGNETYCZNE: INDUKCJA MAGNETYCZNA. SIŁY W POLU MAGNETYCZNYM. NATĘŻENIE POLA MAGNETYCZNEGO. WZÓR AMPERA.

Oddziaływania magnetyczne przekazywane są przez pole magnetyczne.Pole magnetyczne nie oddziaływuje na nieruchome ładunki elektryczne Nie wytwarzają one pola magnetycznego. By powstało pole magnetyczne musi poruszać się ładunek elekrtyczny ładunek musi się poruszać, by działało na niego pole magnetyczne. Pole magnetyczne określają dwa wektory- indukcji B i natężenia H. Wektor B opisuje własności dynamiczne pola i jest określony przez zależność na siłę F działającą na przewodnik o długości L w którym płynie prąd I. F=I*L x B.(x - il.skal. F,L,B zapis wektorowy) (siła ta jest sumą sił działających na poszczególne elektrony, które poruszają się w przewodniku Fl = qV x B( V B - wekt) jest to siła Lorenza). Wektor natężenia pola opisuje własności magnetyczne pola. Jest on określony przez związek z natężeniami prądu elektrycznego, wytwarzającego dane pole. Linie pola magnetycznego są liniami zamkniętymi. Kierunek i zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej: calka z kółkiem(Hl dl)=I <--prawo Ampera. Związek pomiędzy wektorami H i B określa związek B=m0 * H (m0->ni zero) i zostal ustalony empirycznie. Pole magnetyczne: 1.Wokół przewodnika z prądem H=I/2ÂR 2.Sfera w punkcie O sumują się pola, a na zwenątrz odejmują H=I/2R 3.Solenoid pole istnieje tylko wewnątrz solenoidu i jest ono jednorodne H=Jn/l (n-ilość zwojów , l-długość) {RYSUNEK}. Prawo Bioha-Savarta: Jeżeli mamy przewodnik, w którym płynie prąd o natężeniu I i wybierzemy dowolny element przewodnika o długości dl, to wytwarza on indukcję magnetyczną dB=(I dl x r)/(4Âr^3) (rys1).Pole magnetyczne wytworzone przez prąd w przewodniku jest sumą pól wytworzonych przez pojedyncze ładunki poruszające się w przewodniku i wynosi: H=(q*V x r)/(4Âr^3) ( V i r <-wektory) (RYSUNEK2)

8.2 RUCH ŁADUNKU W POLU MAGNETYCZNYM.

Jeżeli naładowana ruchoma cząstka znajdzie się w polu magnetycznym, to będzie na nią działać magnetyczny składnik siły Lorenza.Ruch ładunku w polu magnet. zależy od wartości prędkości oraz położenia wektorów V i B. 1.V=0 v V<>0 i kąt(V,B) = 0 v 180 --> pole nie oddziaływuje na ładunek. 2.V<>0 i V prostop do B -> F=qvB. Siła Lorenza jest siłą dośrodkową. Pod wpływem tej siły prędkość zmienia kierunek, lecz nie zmienia wartości prędkości - ładunkek porusza się ruchem jednostajnym po okręgu. qvB=(Ul*V^2)/r -> r=(Ul*V)/q*B 3. V<>0 i kąt(V,B)= tu RYSUNEK1,2 Złożeiem ruchów względem osi OB i OVy jest ruch pospiralny; OB-nie działa żadna siła; OVy-siła dośrodkowa powoduje ruch po okręgu Vy=Vc*sin(alfa) T=2Âm/q

BIPOL MAGNETYCZNY.

Elementarnym modelem dipola elektrycznego jest pętla z prądem. Wartość dipola wyznacza jego moment magnetyczny Pn=I*S*n (Pn,n-wektory) I-natężenie prądu w pętli.W polu magnetycznym działa na dipol moment siły H = Pn x (H,Pn,B-wektory) oraz dipol na energię potencjalną U=-Pn*B. Dipolem magnetycznym jest także ładunek q krążący po orbicie kołowej J=q*v gdzie v-częstotliwość krążenia. Pn=(q/2m)*k k-kręt,mom.pędu(wektor).Moment pędu elektr Kl-orbitalny elektr. Kl=h*sqr(l(l+1)) l=1,2,3... Moment pędu(spinowy)Kn Kn=h*sqr(s(s+1)) s=1/2. Mb (Mb=[ni b]) - orbitalny moment magnetyczny = naturalnej wielokrotności magnetonu bohra Mb=0.93*10^-23 A*m^2 (h/2m) . Elektron wykonuje ruch spinowy równy magnetonowi Bohra - moment magnetyczny spinowy. Cały moment=m0+ms+mj m=suma(m01)+suma(msi)+suma(mj). Ponieważ całkowity moment jest sumą geometryczną, możliwa jest sytuacja, kiedy jest on równy zeru. m=0 - ciało jest diamagnetykiem m<>0 - ciało jest paramagnetykiem.

9.1 WŁASNOŚCI DIELEKTRYCZNE I MAGNETYCZNE SUBSTANCJI. POLARYZOWANIE ATOMÓW I CZĄSTEK.WEKTOR POLARYZACJI.POLE ELEKTRYCZNE W SUBSTANCJI

W polu elektrycznym cząsteczki lub atomy substancji polaryzują się bądź pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego indukując dipole elektryczne, bądż trwałe dipole molekuł ustawiają się zgodnie z zewnętrznym polem. Na powierzchniach dielektryka występują ładunki, które nazywamy polaryzacyjnymi. Ponieważ pozostały ładunek od dipoli w dielektryku się znosi i różnicę tę możemy nazwać natężeniem pola elektrycznego w dielektryku i w próżni przypisać polu wytwarzanemu przez te ładunki E=E0-(bp/B0) ( bp-gęstość pow.ładunku polaryzacyjnego,B0-Epsilon0 ). Na płytce dS w dielektryku ustawionej II do powierzchni dielektryka w takim miejscu, aby nie przecinać dipola zaindukowany ładunek będzie taki sam jak w próżni czyli D=D0 (wekt.) Gęstość powierzchniowa bp = dipolowi elektrycznemu jednostki objętości dielektryka bp = N1*Pe N1-gęstość dipoli. Jeżeli określi się wektor P obrazujący stan spolaryzowania dielektryka równaniem P=N1*Pe (P,Pe-wektory) to można ostatecznie sformułować związek między wektorami D i E w dielektryku: D=B0*E+D P=(B-1)*B0*E D=B*B0*E (B,B0-Epsilon,Epsilon0) Jeśli w jednorodnym polu jest bryła dielektryka o dowolnym kształcie, to pole elektryczne w dielektryku nie jest jednorodne ponieważ gęstość powierzchniowa ładunków polaryzacyjnych nie jest jednorodna; ładunki polaryzacyjne na powierzchni dielektryka wytwarzają swoje pole elektryczne na zewnątrz, a więc również w otoczeniu bryły pole staje się bardziej złożone. E=E0-(a/b0)*P ; D=D0+(1-a)P a-wsp.polaryzacji Dla elipsoidy suma wsp. względem trzech osi =1 ; dla kuli =1/2 ; walca prost. =1/2 II = 0, warstwy prostop=1 II=0. Wzór na gęstość pola elektrycznego (energii) w próżni ma postać Eg=E0D/2 i jest słuszny dla dielektryka. Eg=B0*E^2/2+E*P/2 (B0-Epsilon) .Pierwszy składnik jest gęstością energii pola elektrycznego w próżni a drugi gęstością energii spolaryzowanego dielektryka. 9.2 Jeżeli dielektryk jest w polu elektrycznym o natężeniu E i wzrasta jego polaryzacja o dP to wiąże się to z powiększeniem dipoli elektrycznych o dPe=dP/N1, przez obrót dipola trwałego o pewien kąt, większe rozsunięcie ładunków w molekule. W procesie tym wykonana jest praca Edpe kosztem pola zewnętrznego. Jeżeli dielektryk ma objętość V, to całkowita praca dl jest równa: dl=V*E*dP i o tylewzrasta energia wewnętrzna dielektryka. Spolaryzowany dielektryk ma energię potencjalną w zewnętrznym polu elektrycznym E0, ponieważ jest makroskopowym dipolem V*P. Energia ta jest równa U=-V*P*E0 (P,E0-wekt)

MAKROSKOPOWY OBRAZ POLARYZACJI.

Proporcjonalność wektora polaryzacji do natężenia pola elktrycznego w dielektryku oznacza, że efektywna wartość indukowanego dipola elektrycznego Pe pojedynczej drobiny jest wprost proporcjonalna do natężenia lokalnego pola elektrycznego Ei działającego na moment Pe= a*Ei ; a(alfa) - współczynnik polaryzacji molekuły. RYSUNEK W celu wyznaczenia pola lokalnego w wybranym miejscu B w dielektryku wyróżnimy kolistą wnękę wokół interesującego punktu. Natężenie pola elektrycznego w punkcie B jest równe sumie 3 składników: a) pola makroskopowego w dielektryku E; b) pola od ładunków polaryzacyjnych na powierzchniach wnęki, po usunięciu z niej substancji dielektrycznej; c) pola od dipoli z wnęki. Ostatecznie więc: Ei=E+(1/(3B0))*P (B0-esilon0). Równanie Claussa-Hossottlego: (E-1)/(E+2)=(N1*a)/(3*B0)=a/(3*B0)*(p*Na)/(Mmol) (B0-Epsilon0)Na całkowitą polaryzację drobiny składają się trzy różne mechanizmy nazywane:atomowym,jonowym i dipolowym.a jest sumą 3 składników: a=aa+aj+ad.Polaryzacja atomowa polega na rozsunięciu pod wpływem pola elektrycznego środka ładunku elektronów w atomie względem jądra, co prowadzi do powstania dipola. Ruch kołowy elektronu wokół jądra można uważać jako złożenie dwu prostopadłych drgań harmonicznych. W konsekwencji oddziaływania elektronu z resztą atomu można traktować jako sprężyste. a(st)=(e^2)/m* suma [od j=1 do Z](1/(woj^2 - w^2). Polaryzowalność jonowawystępuje w przypadku gdy substancja ma budowę jonową. W zewnętrznym polu elektrycznym jony przesuwają się tworząc dipole elektryczne. Ilościowo opisuje się ten proces identycznie jak atomy, z tym, że w miejscu masy elektronu jest masa zredukowana jonów i w0 jest częstotliwością drgań własnych jonów. Polaryzacja dipolowa polega na orientacji trwałych dipoli elektrycznych. Prostą teorię tego mechanizmu sformułował Langevin. Średnia wartość dipola w kierunku pola jest równa Pe = cos V (V-fi) , a wsp. polaryzacji ad(st) = (Pe0*cosV)/E (ad-alfa d) Po podstawianiach i wyliczeniach otrzymuje się: cos V=ctgh(x)-(1/x)=L(x) gdzie x=(Pe0*Ei)/(k*T) Funkcja L(x) nazywa się funkcją Lagevina. Ostatecznie więc ad(st)=(Pe0^2)/(3*k*T) = ((Pe0^2)/(3*k*T))/(1+j*w*ł) - przy uwzgl. relaksacji dipolowej. Wracając do równania Clausa-Mosstiego można je zapisać dla pola statycznego w postaci (E-1)/(E+1) = (N1/3E0)*(aa+aj+(Pe0^2)/3*K*T) = A + B/T (a-alfa,E-Epsilon) TU RYSUNEK: Schematyczny przebieg zależności względnej przenikalności dielekrtyka od częstotliwości pola elektrycznego.W przypadku oddziaływań między molekułami dipolowymi o wartości Pe0 molekuła wytwarza pole o natężeniu E. W tym polu inna molekuła polaryzuje się przez ustawienie zgodnie z działającym polem tak, że efektywny dipol jest równy Pe=ad(st)*E (a-alfa) Energia oddziaływania tego dipola z polem jest równa U=-Pe*E=-(Pe0^2)/(((4ÂE0)^2)*3*k*T*r^6) (a-alfa) Jeżeli mamy do czynienia z addziaływaniem między molekułą dipolową i polarną, to efektywna gęstość indukowanego dipola w molekule polarnej przez molekułę dipolową jest równa: Pe=a*(Pe0)/(4ÂE0r^3) (a-alfa)a-polaryzowalność molekuły polarnej. Energia oddziaływania: U=-2a(Pe0^2)/(((4*ÂE0)^2)*r^6)

FERROELEKTRYZM

Istnieje grupa kryształów, w których występuje zjawisko spontanicznego spolaryzowania. Ogólną ich cechą jest to, że poniżej pewnej temperatury Tc, zwanej temperaturą Curie występuje spontaniczne spolaryzowanie. Natomiast powyżej w polaryzacji kryształu występuje składowa dipolowa w postaci zależności (E-1)/(E+2)=A+ B/(T-T0) Próbka makroskopowego ferroelektryka dzieli się na małe obszary, zwane domenami. Domeny są spolaryzowane spontanicznie, ale kierunek spolaryzowania w różnych domenach jest różny, tak, że wypadkowe wypadkowe spolaryzowanie próbki jest bliskie zeru Dopiero w zewnętrznym polu elektrycznym ma miejsce porządkowanie kierunków spolaryzowania w domenach i cała próbka uzyskuje wypadkowo duże spolaryzowanie. Występuje przy tym tzw. pętla histerezy w zależności P(E). RYSUNEK 1, 2, 3: Inną ciekawą własnością niektórych kryształów dielektrycznych jest zjawisko piezoelektryczności Polega ono na tym, że kryształ polaryzuje się, a więc występuje napięcie elektryczne między różnymi miejscami w krysztale pod wpływem działania napięć mechanicznych.

KLASYCZNA TEORIA PRZEWODZENIA PRĄDU ELEKTRYCZNEGO.

Natężeniem prądu dowolnej wielkości G przepływającej przez wybrany przekrój o powierzchni S nazywamy iloraz wielkości dG, przepływającej przez tę powierzchnię w małym odstępie czasu dt przez ten czas. Iloraz natężenia prądu przez powierzchnię S, nazywamy gęstością prądu i , jest to wielkość wektorowa.Gęstość prądu jest równa iloczynowi gęstości płynącej wielkości i prędkości jej ruchu. Gęstość prądu wyraża się wzorem i = q*N1*U (i,U-wekt) Niezależnie od rodzaju ośrodka, w którym płynie prąd elektryczny, przyczyną ruchu ładunków elektrycznych jest siła działająca na ładunki od zewnętrznego pola elektrycznego E; i=q*N1*me*E. Prawo ohma IR=U U=e*l/s (e-ro) i e=q*N1*me (me- ni e) e=(q*N1*ł)/m Prawo Wiedmana-Franza-Lorenza (_/\_)/(e*T)=B*(ł^2)/(e^2)

MOMENTY MAGNETYCZNE ATOMÓW. WEKTOR NAMAGNESOWANIA. POLE MAGNETYCZNE W SUBSTANCJI. ENERGIA SPOLARYZOWANEJ LUB NAMAGNESOWANEJ SUBSTANCJI.

W zewnętrznym polu magnetycznym momenty magnetyczne atomów są ustawione w kierunku pola, a w atomach są indukowane momenty magnetyczne. Substancje materialne w polu magnetycznym ulegają magnesowaniu. Wielkość magnesowania zależy od gęstości atomów N1 i wartości efektywnego momentu magnetycznego Pej atomu w kierunku pola, a miarąmagnesowania jest wartość natężenia dodatkowego pola magnetycznego H, powstałego przezmagnesowanie, nazywanego wektorem namagnesowania.Solenoid jest dipolem magnetycznym o wartości ZJS. Ponieważ objętość solenoidu jest równaL*S, więc wartość dipola magnetycznego przypadającego na jednostkę objętości solenoidujest równa ZJS/SL = ZJ/L = H gdzie H-natężenie pola w solenoidzie. Namagnesowanasubstancja jest "dużym dipolem" magnetycznym składającym się z sumy dipoli atomowych;można je przyrównać do solenoidu. (rys) Prądy wewnątrz materiału znoszą się, a pozostałe na powierzchni bocznej namagnesowanejsubstancji prąd powierzchniowy podobnie jak w solenoidzie. Wartość wektora namagnesowaniajest równa momentowi magnetycznemu namagnesowania, przypadającemu na jednostkę objętościM=N1*pm (M-wektor namagnesowania). Efekty dynamiczne pola magnetycznego w substancjisą sumą od pola zewnętrznego H i pola namagnesowania M. B=m0*(H+M) M=xH (x-greck.)(m0-ni0) B=m0*(1+x)*H=m*m0*H. W procesie magnesowania substancji pod działaniemzewnętrznego pola magnetycznego o natężeniu H są obracane dipole magnetyczne Pm0 atomów.

Praca wykonana nad ...............

KONIEC PUNKTU 9.6

ŻABA 11 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

11. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE. -

Z równań Maxwella można otrzymać układ równań:Ű^2E/Űx^2=mo*eo*Ű^2E/Űt^2, Ű^H/Űx^2=mo*eo*Ű^2H/Űt^2 Są to równania fali, których prędkość jest równa 1/sqrt(eomo). Dalej mamy ¦E¦/¦H¦=sqrt(mo/eo)=377 W, u=E*H/E*H u - wektor jednostkowy wyznaczający kierunek fali. Równania te mówią, że pola elektr. i magnet. mogą istnieć razem w postaci fali elektromagnet. Wektory E i H sądo siebie prostopadłe, a kierunek ruchu jest prostopadły do obu pól. Jest to fala poprzeczna . W dowolnej subst. prędkość fali jest równa c/sqrt(e*m), a prędkość światła c/n, stego n=sqrt(e*m). Fala pola elektrycznego odpowiada fali ciśnień a pola magnet. fali prędkości ruchu cząstek ośrodka sqrt(eo*mo)=377 W - opór falowy próżni sqrt(m/e)*377 W - opór falowy dowolnego ośrodka. Natężenie fali elektromagnet. I=Er*c=(E*D/2+H*B/2)*c=E*H. Natężenie fali jest wielkością skalarną. Dla f. ele. istnieje specjalny wektor s, zwany wekt. Poyntinga-Umowa, który co do wart. bezwzględnej jest równy I a co do kierunku i zwrotu zgodny z wektorem n. s=E x H. Najważniejszym rodzajem fali elektromagnet. jest fala harmoniczna dla której nie chwilowa wartość s ale średnia s jest ważna. Dla jednego okresu s=1/TÔEo*sin(kx-wt)*Ho*sin(kx-wt)dt = = 1/2 *Eo*Ho=Esk*Hsk. (gdzie Ô jest całką od 0 do T) Źródłem fali elektromagnet. jest ładunek poruszający się ruchem zmiennym. (RYSUNEK ) Ładunek q porusza się z przysp. a to fala elektromagnet. w miejscu odległym o r ma kierunek ruchu i zwroty wektorów H i E a wartość natężenia fali : E(t)=(Q*a(t')*sinQ)/(4P*eo*c^2*r(t')). Wartość pola w momencie t jest określona przez sytuację ładunku w czasie wcześniejszym t'=t-r/c o czas r/c, jaki potrzebuje pole elektromagnet. aby przebyć odległość od ładunku do tego miejsca.

EMISJA FALI PRZEZ DIPOL.

(RYSUNEK )Fala elektromagnet. pochodząca od drgającego ładunku Q (RYSUNEKa)jest taka sama jak dla ładunku Q drgającego z tą samą amplitudą względem nieruchomego ładunku. (np. przeciwnego znaku). Przypadek drgania obu ładunków przeciwnego znaku jest równoważny z przypadkiem (RYSUNEKb) przy czym amplituda drgań obu ładunków jest taka sama jak jednego w przypadku b. Ładunek Q - drgający z amplitudą l jest równoważny drganiom dipola pe=Q*l. Taki charakter ma większość przypadków emisji światła przez atomy. Także anteny nadawcze fal elektromagnret. radiowych. Natężenie pola elektrycznego

Eo=(pe*w^2*sin(Q))/(4P*eo*c^2*r), s=Eo*Ho/2=1/2*Eo^2*sqrt(eo/mo)=(pe^2*w^4)/(32P^2*eo*c^2*r^2)*sin^2(Q).

Całkując po całej pow. o promieniu r otrzymujemy moc emisji P przez drgający dipol: P=Ôs*2P*r^2*sinQ

dQ=pe^2*w^4/(12P*eo*c^3) (gdzie Ô jest całką od 0 do P). Jeżeli obwód jak na RYSUNEKa zasila źródło zmienne Iosinwt o częstotliwości dopasowanej tak z długością l jednego ramienia obwodu, że jest ono równe 1/4 dł. fali elektromagnet. o tej częstotliwości, to w obwodzie powstaje stojąca fala prądu o natężeniach w różnych miejscach obwodu. Prąd jest w takim obw. równoważny drganią dipola o wartości : pe=qef*l/4 gdzie qef=ÔIo*sinwt dt=2Io/w (gdzie Ô jest całką od 0 do T/2). Taki obwód emituje fale opisane równaniem (1) (jak dla dipola). Moc emitowanej fali : P=P*Io^2/(12*eo*c) Jest to antena nadawcza zwana dipolem. Typową odmianą jest stosowanie tylko jednego ramienia w postaci masztu. Powierzchnia ziemi jest dla pola elektromagnet. pow. ekwipotencjalną , więc linie pola anteny układają się tak jakby pow. ziemi była zwierciadłem, pod którym jest odbicie anteny tworzącej pozorny obraz brakującej części obwodu.

ŻABA 12 DOKOŃCZENIE MAGNETYZMU (zupełnie jakby ktoś go kiedyś zaczął)

Praca wykonana nad pojedynczymi atomami przez zewnętrzne pola jest równa : (-pmo*H*sinF dF). Praca wykonana nad jednostką objętości namagnesowanej substancji jest równa H*N1*dpm, a nad całym magnetykiem : dL=V*H*N1*dpm=V*H*dM (V-objętość).

DIAMAGNETYZM, PARAMAGNETYZM, FERROMAGNETYZM, ANTYFERROMAGNETYZM.

Pole magnetyczne jest generowane przez poruszające się ładunki. Obiekt wokół którego powstaje pole magnetyczne musi być traktowany jako przewodnik z prądem. Atom złożony jest z ładunków, które wykonują ruch-szczególnie elektrony, czyli układ ten może być traktowany jako przewodnik z prądem. Układ ten tworzy układ zamknięty, tworzy więc moment magnetyczny Mm=I*s, s=Pr^2. Model Bohra I=e/T, T=2Pr/V => I=eV/2Pr. Mmo-orbitalny moment magnetyczny, Mmo=(eV/2Pr)*Pr^2=eVr/2, Mmo=nhe/2m, he/2m=const=mb, Mmo=n*mb. elektron wykonuje ruch spinowy równy magnetonowi Bohra - moment magnetyczny spinowy. Cały moment Mo+Ms+Mj, M=SMoi+SMsi+Mj, Ponieważ całkowity moment jest sumą geometryczną możliwa jest sytuacja, kiedy jest on równy zeru M=0 - ciało jest diamagnetykiem, M różn. od 0 -ciało jest paramagnetykiem. (RYSUNEK ) F=BIl, Jeśli do solenoidu wstawimy rdzeń, to wychylenie wzrośnie Fo=BoIl, F=BIl - z rdzeniem B>Bo, B=wBo, B=wBo+Bo-Bo, Bo(w-1)+Bo=B, Bo(w-1) -wektor namagnesowania M, w-1=kappa podatność magnetyczna, kappa/ro=kappa duże - podatność magnetyczna właściwa. kappa<0 - diamagnetyk, kappa>0 paramagnetyk. DIAMAGNETYK nieznacznie wypychany z pola magnet. Pole zewnętrzne indukuje pole wewnętrzne. PARAMAGNETYK magnesuje się, układa momenty magnetyczne ¦¦ do siebie do pola, jest nieznacznie wciągany do pola. Własności paramagnetyczne zależą od temperatury kappa duże=1/T. Jeżeli paramagnetyk jest kryształem to podczas tworzenia się go gromadzą się atomy lub cząsteczki a ¦¦ domenach (RYSUNEK ). Jeżeli próbkę umieścimy w polu magnetycznym to nastąpi namagnesowanie. FERROMAGNETYK (RYSUNEK ) OA- odwracalne przesunięcie domen, AB - nieodwracalny obrót domen, BN - pkt. nasycenia (wszystkie momenty są ¦¦do siebie i do pola) Pz - pozostałość magnetyczna, k - pole koercji.

FUKSIARZ 12 OPTYKA FALOWA

12. OPTYKA FALOWA:

SPÓJNE I NIESPÓJNE RÓD£A ŒWIAT£A:

Œwiat³o emitowane jest przez pojedyñcze wzbudzone atomyprzechodz¹ce do stanów podstawowych. Przejœcia te s¹ niezale¿ne od siebie, wiêc œwiat³o emitowane przez ró¿ne atomy jest wzgl. siebie niespójne. Wzbudzone atomy sasiaduj¹ce ze sob¹ maj¹ warunki synchronizacji emisji, ale skutecznoœæ tej synchr. maleje wraz ze wzrostem odleg³oœci pomiêdzy nimi. Spójne s¹ Ÿród³a o rozmiarach porównywalnych, ale mniejszych od d³ugoœci fali œwietlnej (0,7-0,4m). Naturalne spójne Ÿród³a œwiat³a maj¹ rozmiary ok. 0,2m. Niezale¿nie od rozmiarów D ¿ród³a i jego niespójnoœci fala w pkt. A ma okreœlon¹ fazê wynikaj¹c¹ z na³o¿enia siê fal od ca³ego ¿ród³a. W ka¿dym momencie czasu faza w punktach s¹siaduj¹cych nie mo¿e byæ radykalnie inna, a ró¿nica wynika z ró¿nicy faz promieni doch¹dz¹cych od Ÿród³a. W szczególnoœci max ró¿nica faz promieni mierzona w ró¿nicy dróg fal miêdzy promieniami padaj¹cymi na ekran d w pkt. A i B jest równa: r = Dsin = Dr Je¿eli jest ona du¿o mniejsza od to i ró¿nica faz w pkt. A i B jest du¿o mniejsza od 2, a wiêc ca³y obszar d jest w przybli¿eniu oœwietlony spójnie. Pon. d/L ostatecznie warunek na spójnoœæ ma postaæ:Dd << L. Przyk³adem œwiat³a spójnego jest laser. Jego w³aœciwoœci to: -k¹t ugiêcia dyfrakcyjnego wi¹zki 1cm: =2D=5*10-5rad (dwukrotne rozszerzenie po 400m);

-je¿eli wi¹zkê lasera skupimy soczewk¹ do œrednicy 0,5 mm, to amplitudawzroœnie 40 razy (stosunek przekrojów poprzecznych) a natê¿enie jak kwadrat amplitudy: 1600razy.<<RYSUNEK>>

Interferencja ŒWIAT£A:

Interferometr to siatka interferencyjna; dwie spójne p³askie fale padaj¹ na siatkê inter. W przypadku œw. interferencyjne wzmocnienia mo¿na zogniskowaæ soczewk¹:Przyjmuj¹c ¿e <<1, warunek okreœlaj¹cy po³o¿enie n maximów ma postaæ: n(nd n((n d gdzie d - sta³a siatki inter. Mierz¹c wiêc odleg³oœæ n miêdzy pr¹¿kami mo¿emy okreœliæ ró¿nicê d³ugoœci fali. Najmniejsza ró¿nica oreœla zale¿noœæ:δn; (N - liczba rys na siatce, nN = 2*104 to typowa wartoœæ). Atomy emituj¹ skoñczone ci¹gi falowe, ich typowe d³ugoœci s¹ rzêdu metra. Je¿eli ró¿nica dróg jest wiêksza od d³. si¹gu (paczki falowej emitowanej przez atom) to fale te rozmin¹ siê i nie bêdzie interferencji.<<RYSUNEK RYSUNEK>>

INTERFERENCJA NA CIEÑKICH WARSTWACH:

a) to bieg jednego promienia rozci¹g³ego niespójnego Ÿród³a S (metoda pr¹¿ków równego nachylenia). Promieñ ten pada na p³ytkê i czêœciowoodbija siê w postaci prom (1) a czêœciowo za³amuje siê i odbija od drugiej œciany p³ytki i wychodzi jako (2). Promienie te s¹ spójne wzg. siebie (s¹ z jednego intefer.). Warstwa D musi byæ bardzo cieñka; ró¿nica dróg: =n(AB+BC) AD =2dncos Fala przy odbiciu od oœrodka gêstego zmienia fazê o .

b) to interferencja na cieñkim klinie (metoda pr¹¿ków o równej gruboœci). Promieni (1,2) z punkt. ¿ród³a œwiat³a po odbiciu interferuj¹ jako promienie (1',2') ale tylko na powierzchni klina <<RYSUNEK>>

ZJAWISKO DYFRAKCJI I INTERFERENCJA W PRZYRZ¥DACH OPTYCZNYCH:

Luneta-promienie zostaj¹ skupione w p³aszczy¿nie ogniskowej F w pkt. œwietlnym który by³by obrazem pkt. S1. Soczewka obiektywu ma skoñczon¹ œrednicê D wiêc promieñ ugina siê tak jak na otworze o œr. D. Mo¿emy powiedzieæ ¿e rozmycie k¹toweobrazu P1 pkt. S1 jest równe przynajmniej =1,22/D (ugiêcie zerowego rzêdu) Je¿eli od innego ¿ród³a S2 biegnie promieñ pod k¹tem to jego obrazem jest P2 o rozmyciu k¹towym odleg³a od obrazu P1 o k¹t . Je¿eli jest < to obrazy zlej¹ siê (nie mo¿na rozró¿niæ Ÿróde³ S1 i S2). Lunet¹ mo¿na rozró¿niæ dwa Ÿród³a jeœli ich odle³oœæ k¹towa >=1,22/D. Jest to graniczna rozdzielczoœæ k¹towa lunety (i innych przyrz¹dów optycznych). Przy zwiêkszaniu œrednicy obiektywu D zwiêksza siê proporcjonalnie do D2 strumieñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dyfrakcyjnej jest odwr. proporcjonalna do D2 gdy jasnoœæ plamki jest proporcjonalna do D4. W przypadku mikroskopu ze wzgl. na potrzebê uzyskiwania wiêkszych powiêkszeñ liniowych i zbierania jak najwiêcej œwiat³a, odleg³oœc pom. przedmiotem a obiektywem s¹ prawie równe ogniskowej (mo¿liwie najmniejsza) a œrednica ob. ogniskowej.

Najmniejszy rozró¿niany szczegó³ x odpowiada sytuacji gdy jego k¹t widzenia jest = =x/f , =1,22/D wiêc: x=Fal¹ nie mo¿na "ogl¹daæ' przeszkód o rozmiarach porównywalnych i < . Przedmiot ogl¹dany pod mikroskopem sk³ada siê z wielu szczegó³ów, z których ka¿de w jakimœ stopniu przepuszcza œwiat³o (lub odbijaj¹). Gdyby te drobiny by³y roz³o¿one równomiernie, to mamy swoist¹ siatkê dyfrakcyjn¹ - nale¿a³oby tylko znaleŸæ sta³¹ siatki i geometriê rozk³adu. Przedmiot pokazany na RYSUNEK ogl¹dany jest przez soczewkê O. We w³aœciwym miejscu powstanie obraz rzecz. odwrócony (normalne dla mikroskopu. Wi¹zki interferencyjne "wychodz¹ce" z przedmiotu (przedmiot to pewna "siatka dyfrakcyjna) skupiaj¹ siê w p³aszczyŸnie ogniskowej soczewki-tworz¹ obraz interferencyjny, w którym zawarta jest informacja o przedmiocie - mo¿na okreœliæ jego kszta³t i rozmiary. Obraz ten (interferencyjny) jest tak samo u¿yteczny jak i geometryczny (odpowiednio: odwzorowanie Abbego pierwszego i drugiego rodzaju).<<RYSUNEK>>

WYBRANE ZAGADNIENIA POLARYZACJI ŒWIAT£A:

Najstarszym urz¹dzeniem do polaryzacji œwiat³a jest pryzmat Nicola. Jest to kryszta³ szpatu islandzkiego wyciêty w formie graniastos³upa tak by oœ optyczna le¿a³a w p³aszczyŸnie przekroju (np.prostopadle do osi wzd³u¿nej gran.). Bry³a jest dodatkowo przeciêta i sklejona balsamem kan. Char. siê tym ¿e k¹ty p³aszczyzn i przeciêcia s¹ tak dobrane ¿e prom. zwyczajny ulega ca³kowitemu wewnêtrznemu odbiciu na pow. sklejania i zostaje poch³oniêty na obudowie kryszta³u. Promieñ nadz. wychodzi z pryzm. Obecnie stosowane s¹ prostsze i tañsze polaryzatory (polaroidy). Wykonane one s¹ z materia³ów jednoosiowych char. siê tzw. dichroizmem. Polega on na tym ¿e jeden z promieni poch³aniany jest bardziej od drugiego. Tak wiêc wykonuj¹c p³ytkê z osi¹ optyczn¹ w p³aszczyŸnie p³ytki i odp. dobieraj¹c gruboœæ (by jeden z promieni by³ poch³oniêty ca³kowicie) otrzymujemy polaroid. U¿ywa siê do tego kryszta³ów organicznych. Oœ optyczn¹ wyznacza tam kierunek uporz¹dkowania d³ugich moleku³ (np: w folii plastykowej naprê¿onej w jednym kierunku). Poniewa¿ wspó³czynniki za³. œwiat³a no i ne s¹ funkcjami d³. fali wiêc w przypadku gdy œwiat³o padaj¹ce jest bia³e za p³ytk¹ s¹ ró¿ne stany polaryzacji dla ró¿nych barw. Je¿eli wiêc p³ytka taka znajdzie siê miêdzy skrzy¿owanymi polaryzatorami to za ostatnim otrzymujemy obraz barwny. Polaryzacja nastêpuje te¿ przy odbiciu i za³amywaniu œwiat³a. W œwietle odbitym przewa¿a fala której wektor jest prostop. do p³aszczyzny padania. W promieniu za³amanym jest odwrotnie. Przy k¹cie (k¹t Brewstera) padania kiedy k¹t miêdzy promieniem odbitym a za³amanym = 90o promieñ odbity jest w pe³ni spolaryzowany. Wa¿nym efektem polaryzacyjnym jest zjawisko Kerra. W niektórych cieczach pole elektryczne wymusza dwój³omnoœæ. Oœ optyczna pokrywa siê z kier. lini pola elektrycz. Efekt ten jest wprost proporcjonalny do kwadratu natê¿enia pola: ne-no=BE2. Sta³a B jest szczególnie du¿a dla nitrobenzenu. Innym zjawiskiem jest skrêcanie p³aszczyzn polaryzacji przy przechodzeniu przez subst. czynne optycznie. K¹t skrêcenia jest wprost prop. do drogi promienia w substancji której struktura krystaliczna jest niesymetryczna (s¹ struk. prawo- i lewoskrêtne). P³aszczyzna polaryzacji ulega tak¿e skrêceniu w ka¿dej subst. izotropowej w polu magnetycznym gdy œwiat³o biegnie wzd³. lini pola. Zjawisko polaryzacji wystêpuje te¿ przy rozpraszaniu fal œwietlnych. B³êkit nieba jest efektem czêœciowej polaryzacji œwiat³a rozproszonego.

PODWÓJNE ZA£AMANIE ŒWIAT£A:

Promieñ œwietlny padaj¹c na niektóre kryszta³y (np: szpat islandzki) rozdziela siê na dwa promienie - promieñ zwyczajny (no) i promieñ nadzwyczajny (ne). Za³amuj¹ siê one zgodnie z prawami optyki. W ogólnym przypadku ne nie le¿y w p³aszczyŸnie promienia padaj¹cego i nie jest zachwiana sta³oœæ stosunków sin k¹ta_padania do sin k¹ta_za³amania. Zjawisko to nazywane podwójnym za³amaniem wystêpuje w kryszta³ach któruch struktura krystaliczna jest ró¿na od szeœciennej. W kryszta³ach unizatropowych sprê¿yste oddzia³ywania miêdzy elektronem i reszt¹ atomu mog¹ byæ ró¿ne w kierunkach ró¿nych osi krystalograficznych (jest to powód dwój³omnoœci). Rozwa¿amy najprostszy przypadek gdy w krysztale jest tylko jeden wyró¿niony kierunek (oœ optyczna kryszt.) w który si³y sprê¿. s¹ inne ni¿ w pozosta³ych kierunkach. Je¿eli wektor pola magnetycznego fali jest do p³aszczyzny rys. ( do osi optycznej) to œwiat³o rozchodzi siê w p³aszczyŸnie rys. z prêdkoœci¹ Vo odpowiadaj¹cej wspó³czynnikowi za³. œwiat³a no a pow. czo³a fali jest kulista (RYSUNEK a) to jest to prom. zwyczajny no. Je¿eli wektor pola elektrycznego drga w p³aszczyŸnie rys. (RYSUNEK b) to promieñ poruszaj¹cy siê w kier. osi optycznej ma prêdk. jak pr. zwyczajny ale promieñ por. siê w kier. por. siê z prêdkoœci¹ Ve (ze wspó³czynnikiem ne). Wypadkowa prêdk. V=Vosin+Vecos. Powierzchnia równej fazy w p³aszczyŸnie rysunku ma kszta³t elipsy a czo³o fali nie jest do kier. rozchodzenia siê fali (promien ne). P³aszczyzna polaryzacji no jest p³aszczyzna na której le¿y promieñ i oœ optyczna a p³aszczyzna polaryz. ne jest p³aszczyzn¹ do niej . W kryszta³ach z uk³adów trójskoœnego jednoskoœnego i r¹bowego za³amanie œwiat³a jest jescze bardziej z³o¿one-wystêpuj¹ w nich dwie osie optyczne i czêsto nie s¹ wzgl. siebie .<<RYSUNEK>>

MURZYN 14 PROMIENIOWANIE RENTGENOWSKIE I CIEPLNE

PROMIENIE RENTGENOWSKIE

Wyróżniają się ogromną przenikliwością. Do pomiaru dł. fal promieni X wykorzystano zjawisko interferencji na krysztale. Interferencja ta polega na interferencyjnym odbiciu od płaszczyzn krystalograficznych. Wiązka padająca na powierzchnię kryształu pod kątem a (alfa) odbija się częściowo od pierwszej warstwy atomów. ( RYSUNEK ) Wiązka odbita powstaje z nałożenia fal rozproszonych na atomach pierwszej warstwy. To samo następuje na drugiej i następnych warstwach. Różnica dróg promieni odbitych = A*b+B*C z tego wynika warunek na wzmocnienie 2d*cos(alfa)=n*(lambda). Inny sposób interferencji zaproponował COMPTON. Gdy kąt padania jest bliski pi/2 to na sitce stanowiącą pow. metalową z wyżłobionym rysami następuje roaproszenie. Różnica dróg wynosi A*D-B*C, więc warunek wzmocnienia inna postać: n*(lambda)=d*(cos(fi)-cos(teta)), ponieważ kąty fi i teta są małe z tego wynika cosx=1-x^2/2 n*(lambda)=d/2*(teta^2-Y^2).

WIDMO PROMIENIOWANIA RENTGENOWSKIEGO

Źródłem promieniowania X jest najczęście lampa rentgenowska. Promieniowanie emitowane jest przez materiał katody bombardowanej strumieniem elektronów rozpędzonych wysokim napięciem. Wodmo promieniowania X ma dwie składowe ciągłą i liniową. Widmo ciagłe nie zależy od rodzaju antykatody. ( RYSUNEK ) Widmo osiąga wartość 0 dla charakterystycznej długości fal lambd

EMISJA PROMIENIOWANIA PRZEZ ATOMY

Badania widma atomów swobodnych oraz cząsteczek dwu i więcej atomowych pokazały iż są one liniowe. Częstotliwości wszyskich lini serii widmowych wodoru określa wzór : 1/lambda=r/(c*h)*(1/k^2-1/l^2) , gdzie R/(c*h) - ST. RYDBERGA R=13,6 eV. Widma cząsteczek dwu i więcej atomowych mają strukturę pasmową. Promieniowanie o częstości ni występuje w porcjach (fotonach) o energi ni*h i pędzie h*ni/c. Natężenie fali : I=Nciąg stanów stacjonarnych w których nie emituje energii. W stanach tych moment pędu elektronu jest równy całkowitej wielokrotoności stałej Plancka/2pi. m*vn*nin=n*h kreślne (n - główna liczba kwantowa). Energia atomu w n-tym stanie kwantowym (suma energii potencjalnej oddziaływania elektron - jądro i energii ruchu elektronu Eni=-e^2*Z/(4*pi* ni0rn)+mvn^2 Z*e - ładunek jądra. Wzór ten dotyczy atomu wodoropodobnego (z jednym elektronem). Korzystając z tego, że e^2*Z/(4*pi*E0 *nin^2)=m*vn^2/nin mamy En=-m*E^4*Z^2/(2*h^2*16*pi^2*E0)*1/n^2=-R*Z^2*1/n^2

Przejście atomu z jednego dozwolonego stanu energii do drugiego polega na przeskoku elektronu z jednej powłoki na drugą. Jeżeli jest to przejście ze stanu o wyższej energii do stanu o niższej energii, to towarzyszy temu emisja fotonu: h*ni=R*Zef^2(1/k^2-1/l^2) l,k - gł. liczby kwantowe. Gdy w atomie jest wiele elektronów, przesłaniają sobie one nawzajem ładunek jądra i nie e*Z ale mniejszy efektywny e*Zef , Zef=Z-B , B- stała ekranowania, która zależy od położenia elektronu w atomie. Różne serie widmowe odpowiadają różnym przejściom między powłokami.

PROMIENIOWANIE CIEPLNE

Pochodzi od atomów, cząsteczek i całych struktur atomów w ciałach, jest emitowane kosztem ich energii promieniowania cieplnego. Stąd też jego intensywność zależy od temperatury ciała. Rozważmy odizolowaną grupę ciał

nie stykających się ze sobą, znajdujących się w równowadze cieplnej w temp. T. Wymiana ciepła następuje poprzez emisję i pochłanianie promieniowania cieplnego. Prom. ciepln. wypełniające przestrzeń wokół ciała w równowadze ma też przypisaną temp. T i nazywane jest równoważnym promieniowaniem. W równowadze ilość energii emitowanej i absorbowanej jest ta sama. Warunek równowagi termodynamicznej (prawo Kirchoffa) e=a*I [ e - natężenie emisji (zdoloność emisyjna) a - współczynnik absorbcji I - natężenie padającego prom. ]. Promoieniowanie ciepl. składa się z

prom. o ciągłym rozkładzie i częstotliwości ni. Gęstość widmowa prom. ciepln. Ini i gęstość widmowa zdolności emisyjnej eni określone : I=0@nieskończ. Inid ni e=0@nieskończ. enid ni , stąd eni=ani*Ini Wszystkie wielkości są fkc. temp. Ciało doskonale czarne to takie, dla którego ani=1; tzn. zdolność emisyjna takiego ciała jest równa natężeniu promieniowania zrównoważonego w danej temperaturze. Zdolność emisyjna jest wprost proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury bezwzględnej ciała (prawo Stefcia Boltzmanna); I=*T^4 -stała Stefcia Boltzmanna. Emisja promieniowania to zasadniczy sposób utraty ciepła. Szybkość utraty ciepła przez promieniowanie: Q/T=a*S*(T^4-To^4) S - pow. ciała T0 - temp. otoczenia. WIEN wykazał, że między długością fali lambdam , odpowiadającą maksimum widma i temp. T jest zależność: lambdam*T=2.898*10^-4 K*m. Natężenie właściwe prom. FI (zwane powierzchniową jasnością prom.) jest rozumiane jako moc promieniowania przechodzącego przez jednostkową powierzchnię w jednostkowym kącie bryłowym w kierunku prostopadłym do pow.: FI=1/(4*pi)*Ero*c 4*pi - pełny kąt bryłowy Ero - gęst. energii prom. ciepl., stąd : I=2*pi*0@(pi/2)(fi*sin(teta)*cos(teta)) d (teta)=pi*fi. Dla izotropowego prom. I=(1/pi)*Ero*c Ini=(1/pi)*Eni*c. Widmo pojedynczego atomu jest proste dla cząsteczek wieloatomowych sprawa się komplikuje. W przypadku cząstek ciał stałych widma stają się ciągłymi - prom. cieplne. Jest to złożony układ drgań. Przy promieniowaniu atomu w równowadze termodyn. między dwoma stanami (odpowiada energia El i Ek) następuje emisja fotonu o energii h*ni=El-Ek. Może nastąpić proces odwrotny, pochłonięcie fotonu (wzbudzenie atomu).

Prawdopodobieństwo przejścia między poziomami określa stała spontanicznego przejścia Alk=1/tałlk tałlk-średni czas przebywania atomu w stani Elk z uwagi na spontaniczne przejście do stanu Ek. Gdy w stanie jest Nl atomów to szybkość przejść do stanu k jest równa Alk*Nl a gdyby przejście z l do k było jedynym możliwym to liczba atomów w stanie l malała by w czasie : Nl(t)=Nl(0)*exp(-Alkj*t). Gdy atom jest w stanie k to przez pochłonięcie może przejść do stanu l. Szybkość takich przejść jest prop. do liczby Nk atomów w st. k, oraz gęstości energii Ero ni prom. o częst. ni => Bk*Ero*Nk*Bkl jest nazywane stałą pochłaniania (fotonów o częst. ni=(El-Ek)/h ). Pod wpływem zewnętrz. prom. następują przejścia ze stanów niższych do wyższych jak i ze stanów wyższej energi do niższej. Szybkość takich przejść można wyrazić iloczynem Blk*Ero ni*Nl , Blk - st. przejść wymuszonych z l do k. W równowadze cieplnej szybkość przejść musi być taka sama Alk*Nl+Blk*Ero ni*Nl=Bkl*Ero ni*Nk stąd Ero ni=(Alk*Nl)/(Bkl*Nk-Blk*Nl)=(Alk/Blk)/(Bkl*Nk/(Blk*Nl)-1) z rozkładu energii Boltzmanna Nk/ Nl=gk*exp(-Ek/(k*T))/(gl*exp(-El/(k*T))=gk/gl*exp(h*ni/(k*T)) Bkl/Blk=gl/gk*Alk/Blk Alk , Blk , Bkl - wsp. Einsteina (emisji spontanicznej, wymuszonego pochłaniania). Zjawisko wymuszonej emisji wykorzystane jest w budowie mazerów i laserów. Wymuszone prom. jest spójne z prom. wymuszającym.

ZYGA 16 ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ. RÓWNANIE SCHRODINGERA I JEGO ROZWIĄZANIE DLA USKOKU POTENCJAŁU.

Równanie Schrodingera odnosi sie do zakresu energii cząstki(kinetycznej i potencjalnej) dużo mniejszej od energii spoczynkowej cząstki. Znaczy to , że związek między energią kinet. i pędem ma postać Ek=p^2/2m oraz jako całkowitą energię będziemy uważać sumę energii Ek i potencjału cząstki. Energia spoczynkowa cząstki pozostaje stała, nie wnosi żadnej informacji o stanie cząstki i może być pominięta. W równaniu funkcji własnej można to zapisać Psi=A*exp{1/h*[px-(Ek+U+moc2)t]}=A*exp[1/h*(px-Ekt)]*exp[-1/h*mc^2t, gdzie h to jednostkowa liczba urojona, Jeżeli oddziaływania nie powstają(z powodu małych energii) i cząstki nie znikają, to mc2 jest stałe i nie wnosi żadnych informacji do równania falowego. Wtedy równanie funkcji można uprościć Psi=A*exp[1/h*(px-Ek*t)].Równanie Schrodingera dotyczy właśnie takich uproszczonych funkcji falowych i dla jednego wymiaru: -h/2m*(d^2Psi(x,t)/dx^2)+U(x,t)Psi(x,t)=ih*(dPsi(x.t)/dt). W przypadku 3 wymiarów w miejsce d^2Psi/d^2x wstawiamy cały laplasjan V^2Psi. Rozwiązaniem tego równania przy zadanej funkcji U jest funkcja własna cząstki. Gdy funkcja falowa jest płaskA falą Psi=A*exp[1/h(px-Et)] to ih[dPsi/d tał]=E*Psi oraz -ih(dPsi(x,t)/dt)=p Psi, -h^2(d^2Psi/dx^2)=p^2Psi. Równanie Psi= jak wyżej można sprowadzić do postaci [(p^2/2m)+U]Psi=E*Psi. Funkcje falowe rzeczywiste są bardziej złożone, ale możemy funkcję własną cząstki wyrazić przez sumę fal harmonicznych. W sytuacji, gdy energia potencjalna cząstki (lub energia oddziaływania) nie jest funkcją czasu i oddziaływania są zachowawcze, to energia całkowita E cząstki jest stała i w funkcji własnej można wydzielić fragment zależny od czasu i energii; w fali płaskiej Psi(x,t)=A*exp[(1/h)px]*exp[(-1/n)Et]; w bardziej złożonej funkcji Psi(x,t)=Psi(x)*exp[(-1/n)Et]. Fragment exp[(-1/n)Et] nie wnosi żadnej informacji do funkcji własnej. Tak więc funkcję falową można uprościć o ten czynnik i funkcja fazowa poruszającej się cząstki: Psi(x,t)=A*exp[(1/n)px]. Równanie Schrodingera jest w takim przypadku prostsze: (h^2/2m)*[d^2Psi(x)/dx^2]+U(x)Psi(x)=E*Psi(x). Równanie to nazywamy równ. Schrodingera bez czasu .

ROZWIĄZANIE RÓWNANIA DLA CZĄSTKI PORUSZAJĄCEJ SIĘ SWOBODNIE W JEDNYM WYMIARZE GDY ENERGIA POTENCJALNA U NIE JEST STAŁA.

Przekształcając równanie (h^2/2m)*[d^2Psi(x)/dx^2]+U(x)Psi(x)=E*Psi(x) otrzymujemy: (d^2Psi/dx^2)+(2m/h^2)(E-U)Psi=0. Przyjmując, że E>U oznaczamy (2m/h^2)(E-U)=(p^2/h^2)=k^2. Wtedy równanie które otrzymaliśmy ma postać: (d^2Psi/dx^2)+k^2Psi=0. Rozwiązanie ogólne tego równania Psi(x)=A*exp(ikx)+B*exp(-ikx), gdzie A i B to dowolne stałe. Pierwszy wyraz reprezentuje fazę płaską z wektorem fazowym k (cząstka z pędem p=k*h poruszająca się w kierunku dodatnim OX), drugi wyraz to cząstka poruszająca się w kierunku przeciwnym. Amplitudy fay A i B są stałe, zależne od warunków początkowych. W przypadku fali momochromatycznej warunkiem, aby cząstka poruszała się w jedną l drugą stronę jest A^2+B^2=1. Jeżeli cząstek opisywanych funkcją Psi(x)=A*exp(ikx)+b*exp(-ikx) jest wiele, a ich gęstość jest N1,wtedy w jednostce objętości A^2*N1 cząstek porusza się w kierunku (+) oraz B^2*N1 cząstek w kierunku (-) osi k, a natężenia prądu cząstek są równe J+=N1A^2*V; J-=N1B^2*V. Możemy więc iloczyn A2*V=A^2k(h/m) nazwać prądem prawdopodobieństwa cząstki.

ROZWIĄZANIE DLA CZĄSTKI NAPOTYKAJĄCEJ USKOK ENERGII POTENCJALNEJ.

Wielkości charakteryzujące cząstkę w obszarze x<0 to L, dla x>0 to P. Dla obu obszarów rozwiązanie ogólne ma postać Psi(x)=A*exp(ikx)+B*exp(-ikx). Oznaczając więc 2mE/h^2=k z indeksem l oraz 2m(E-U)/h=k z indeksem p mamy Psi z ind. y=A*exp(ik z ind. y*x)+B*exp(-ik z ind. y*x); Psi z ind. p=C*exp(ik z ind. p*x)+D*exp(-ik z ind p*x).

EFEKT TUNELOWY.

Gdy cząstka pada na uskok potencjału wyższy od energii całkowitej cząstki to wg przewidywań mechaniki klasycznej cząstka odbije się, Wg mechaniki kwantowej równ. Schrodingera (prawa strona): (d^2Psi z ind p/dx^2)-q^2Psi z ind. p=0, q=pierw[2m(U-E)/h], a rozwiązanie ogólne: Psi z ind. p=a*exp(qx)+b*exp(-qx). Składowa exp(qx) nie ma sensu fizycznego, bowiem funkcja Psi z ind. p rosłaby do nieskończoności. Przyjmujemy więc jako rozwiązanie: Psi z ind. p=b*exp(-qx), Psi z ind. y=A*exp(ikx)+B*exp(-ikx) dla A=1. Z warunku ciągłości Psi oraz dPsi/dx w miejscu x=0 mamy 1+B=b, i*k z ind. l*(1-B)=-bq. Rozwiązując układ otrzymujemy B=(1-i*pierw(U/E-1))/(1+i*pierw(U/E-1)), b=2/(1+i*pierw(U/E-1)) B=1, czyli cząstka na pewno odbija się, ale i wnika do obszaru 'zakazanego', w którym energia potencjalna jest większa od całkowitej. Fala odbita i padająca w obszarze L tworzy falę stojącą. Gdy cząstka nalatuje na barierę potencjału, to ponieważ energia E jest mniejsza od wysokości bariery, więc wg praw mechaniki klasycznej cząstka winna się odbić. Rozwiązania są takie same jak dla przypadku wyżej omówionego. Prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w miejscu o współrzędnej x=a jest równe ¦b¦^2*exp(-2qa). Ponieważ dalej energia cząstki jest większa od potencjalnej, cząstka może swobodnie poruszać się w prawo. Tak więc wg mechaniki kwantowej cząstka może przenikać barierę energii potencjalnej większą od energii cząstki. Zjawisko to nazwane zostało efektem tunelowym(1928). Prawdopodobieństwo przeniknięcia c^2 jest równe prawdopodobieństwu wniknięcia cząstki w barierę energii potencjalnej na głębokości a. W przybliżeniu c^2= w przybliżeniu exp(-2qa). Prąd prawdopodobieństwa cząstki padającej musi być równy sumie prądu prawd. przejścia i odbicia, a prędkość cząstki jest po obu stronach bariery taka sama. Dlatego B^2+C^2=1. Prawdop. przeniknięcia bariery potencjału przez cząstkę nazywane współczynnikiem przeźroczystości T bariery jest ważną wielkością. W ogólnym przypadku bariera ma dowolny kształt Wtedy możemy całą barierę podzielić na wąskie prostokąty. Zgodnie z zasadami rachunku prawdop. prawdopodobieństwo T przeniknięcia całej bariery jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przeniknięcia kolejnych prostokątów. W granicy mamy wzór na współczynnik przeźroczystości bariery potencjału: lnT=(-2/h)*całka od x z ind. a do x z ind. b z pierw(2m(U-E)dx).

CZĄSTKA W STANIE ZWIĄZANYM.

Podstawowe wyniki mechaniki kwantowej odnośnie cząstki w stanie związanym tj. cząstki uwięzionej w dole energii potencjalnej. Jeżeli mowa o cząstce w stanie związanym to mamy na myśli układ dwu cząstek przyciągających się, których całkowita energia jest mniejsza od sytuacji, gdy cząstki są oddzielone od siebie. Zachowanie takiego układu opisuje się masą zredukowaną poruszającą się w polu sił oddziaływania między realnymi cząstkami. Centrum pola sił jest w środku masy cząstek realnych, a samo pole musi mieć kształt dołu energii potencjalnej. A więc każda cząstka będzie na ogół masą zredukowaną. Jeżelyi układem jest jądro i elektron krążący wokół niego, to masą zredukowaną jest elektron, a jądro jest w centrum siły. Jeżeli układem są dwa identyczne atomy przyciągające się i tworzące cząsteczkę, to masa zredukowana jest równa połowie masy jednego atomu i chwilowe położenia atomów są równe +-r/2; r-położenie masy zredukowanej od centrum siły. Najprostszym przypadkiem do liczenia jest tzw. nieskończona studnia potencjału. U=0 w 0<x<L oraz U dązy do nieskończ. dya x<0 i L>0. Cząstka nie może więc być w obszarach x<0 i x>L tzn. Psi=0. Natomiast w obszarze studni tzn. 0<x<L równanie Schrodingera ma postać (d^2Psi/dx^2)+k^2Psi=0, k^2=2mE/h^2. Rozwiązanie ogólne: Psi=A*exp(ikm)+b*exp(-ikm). Ponieważ w miejscach x=0 x=L energia potencjalna dąży do nieskończoności, funkcja własna cząstki musi być równa zero. W tych miejscach nie ma zastosowania warunek ciągłości pierwszej pochodnej funkcji Psi. Mamy A+B=0. Stąd Psi=2Ai*sin(kx). Rozwiązanie równania Schrodingera można szukać w postaci różnej od fal biegnących tzn. wyrazów typu exp(+-ikx). Racjonalne jest rozwiązanie ogólne Psi=A*sin(kx)+B*cos(kx) (A,B-dowolne stałe). Z warunku Psi(x=0)=0 mamy szczególne rozwiązanie B=0 i si=A*sin(kx). Gdy Psi(x=L)=0 otrzymujemy, że wektor fazowy k nie może mieć dowolnych wartości, a tylko takie aby k z indeksem n=(Pi/L)*n tj, pęd: p z indeksem n*L=(h/2)*n n=1,2,3..(n-liczba kwantowa). Jest to charakterystyczny warunek dla fali stojącej. Dozwolone stany kwantowe cząstki i jej funkcje własne są dyskretne Psi z indeksem n =A z ind. n*sin(k z ind. n*x). Z warunku unormowania całka od 0 do L z Psi^2dx=1 otrzymujemy A z ind. n=pierw(2/L). Energie cząstki w dozwolonych stanach są równe E z ind. n=(h^2*Pi^2*n^2)/2mL^2. W przypadku prostokątnej studni potencjałów interesuje nas także rozwiązanie w postaci fal biegnących. Chodzi o sytuację: molekuły gazu w naczyniach o wymiarach L^3 lub elektronu przewodnictwa w metalu. Model nie skończonej studni potencjału jest bardzo bliski, ale trudno w tych przypadkach pogodzić się z modelem fali stojącej. Rozwiązanie może wyglądać Psi z ind. n=A z ind. n*exp(ixk z ind. n). Warunki brzegowe określa się tak, by rozwiązanie było w pełni okresowe. W fali biegnącej wszystko powtarza się w przestrzeni i odstępach lambda i dlatego w studni musi się mieścić całkowita wielokrotność długości fali k z ind. n =2Pi/L; p z ind. n*L=hn n=+-1,+-2... W przestrzeni pędów ilośc dozwolonych stanów skwantowanych jest taka sama jak wyżej omawianych przypadków. Rozwiązanie dla fal biegnących w trzech wymiarach: Psi=Psi z ind. x*Psi z ind. y*Psi z ind. ,E=suma E z indeksami jak wyżej; p^2=h^2*k^2=suma p z indeksami jak wyżej. W przestrzeni pędów jeden stan kwantowy zajmuje objętość (dp)^3=h^3/L^2

HIPOTEZA FALOWA de BROGLIE'a

Mechanika ciał nie jest adekwatna do opisu świata mikrocząsteczek. Wskazaniami do właściwego rozwiązania były pewne analogie. Z optyki geometrycznej wiemy, że promień świetlny pokonuje drogę między dwoma określonymi punktami po ściśle określonym torze, który spełnia prawo załamania światła. W poł. 18 wieku, kiedy to przeważał pogląd o korpuskularnej naturze światła, tor promienia świetlnego utożsamiany z torem cząsteczek świetlnych. Wtedy Fermat sformułował zasadę dotyczącą toru promienia świetlnego między dowolnymi punktami w dwu ośrodkach przez które przechodzi promień całka od 1 do 2 z n po ds=min; n-wsp. załamania. W obrazie falowym tory promieni są kierunkami rozchodzenia się fal, a powierzchnie prostopadłe do nich są pow. równej fazy. Ponieważ n=c/v lub n jest równy stosunkowi dł. fali w próżni do dł. fali w materiale, dlatego zasadę Fermata można też zapisać min=całka od 1 do 2 z 1/lambda z indeksem po ds=całka w tych samych granicach 1 po dt. Sto lat poźniej Maupertuls sformułował podobną zasadę wariacyjną w mechanice: całka (1-2) z p po ds= min(p-pęd ciała, ds-odcinek drogi). Wychodząc z równania fali świetlnej można(przy warunku optyki geometrycznej lambda dązy do zera) otrzymać równanie elikonału, które wyznacza tor promienia(elikonat-faza fali), np.dla fali płaskiej ma postać (kx-omega*t). Ruch pkt. materialnego można opisać równ. Hamiltona-Jacobiego, które to ma postać elikonału. Jednak zamiast elikonału występuje pewna funkcja S zwana działaniem w przypadku ruchu jednowymiarowego równanie Hamiltona-Jacobiego: (1/2m)*(ds/dx)^2+V(x)=ds/dt, gdzie s=(px-Et). Przeszkodą w wykryciu falowej natury światła była mała dł. fal świetlnych. Jeżeli skojarzy sobie związki między lambda,p,f i E dla fal świetlnych-fotonów oraz analogie między alikonałem(faza(kx-omega*t) i działaniem (px-E) dostrzeżemy podobieństwo. W 1923 de Broglie sformułował hipotezę fal natury(?). Wg niej ruch cząsteczek jest opisany falą, której dł. lambda i częstotliwość f mają związek lambda=h/p; h-stała Plancka, p-pęd; f=E/h. Hipoteza ta nie znalazła początkowo uznania wśród fizyków. Dopiero za sprawą prac teoretycznych Schrodingera i Heissenberga, w których sformułowali (niezależnie haniki kwantowej, hipoteza stała się (?) W 1919 Darisson i inni rozpoczeli badania rozproszenia elektronów o energiach rzędu 100eV od powierzchni metali-metali polikrystalicznych. Doświadczenia wykazały, że natężenia wiązki elektronów rozproszonych zależy od orientacji płytki, wart. prądu elektronów rozproszonych zależy w sposób oscylujący od kąta Fi. Rozpoczęto badania na monokryształach. Dopiero w 1925 r. zwrócono uwagę na możliwość dyfrakcji wiązki elektronów na sieci kryształu podobnie jak promieni rtg. Darisson z Germerem przeprowadzili doświadczenia. Wybrano kryształ niklu, który ma strukturę kubiczną scentrowaną powierzchniowo. Kryształ wycięto i zorientowano tak, że wiązka elektronów pado prostopadle na płaszczyznę tzn. kierunek wiązki padającej pokrywał się z główną przekątną komórki elementarnej. Wyniki pomiarów: a)zależność natężenia prądu w funkcji nap. U dla kąta rozproszenia Fi=50 st. i kąta azymutowego alfa=90 st. Maksimum odpowiada energii elektronów 51eV. Więc dł. fali elektronów lambda=h/p=h/pierw(2mUe)=16,7nm. Wyniki można wyjaśnić interpretując ugiętą wiązkę elektronów jako rezultat interferencji fali elektronów od rzędow atomów odległych o d. Warunkiem interferencji jest d*sinFi=n. Układ maksimów można wyjaśnić: układ atomów odległych o d, przy obrotach wokół osi prostopadłej do płaszczyzny (z rysunku którego brak) powtarza się co 60 stopni i stąd kolejne maksima. Ich rozdzielenie ma (?) pliki niższe i wyższe-pełna symetria kryształu przy takich obrotach powtarza się dopiero co 120 stopni. Były i inne eksperymenty, autorem jednego był Polak-Szczeniawski.

FUNKCJA WŁASNA CZĄSTKI

Równanie Schrodingera pozwala wyznaczyć funkcję falową danego stanu i w konsekwencji określić prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w poszczególnych (?) przestrzeni. W równaniu Schrodingera występuje jako parametr-całkowita energia cząstki. W przypadku cząstki swobodnej o energii E poruszającej się z pędem p w kierunku osi X funkcja opisująca cząstkę ma postać: Fi=A*exp[(1/h)*(px-Et)] gdzie h-jednostkowa liczba urojona, A-amplituda. Wiedząc że, lambda=h/p można równanie Fi=...jak wyżej zapisać Fi=A*exp[i(kx-omega*t)]; (k=2Pi/lambda -wektor falowy cząstki). Wiedząc że, e^iz=cos(z)-i*sin(z) można się w funkcji Fi dopatrywać podobieństwa z warunkiem fali, w ten sposób że: A-amplituda, exp[(1/h)(px-Et)] jest sumą czynników fali postaci harmonicznej (rzeczywistego i urojonego). Funkcja Fi nazywa się funkcją własną i określa stan kwantowy cząstki. Znaczenie i rola funkcji własnej w mechanice kwantowej jest identyczna jak fali harmonicznej płaskiej w ruchu falowym. Sens fizyczny funkcji Fi: Otóż kwadrat modułu tej funkcji, tzn. ¦Fi¦^2=Fi*Fi sprzężona jest gęstością prawdopodobieństwa znajdowania się cząstki w danym miejscu tzn. ¦Fi¦^2dxdy jest prawd. przebywania cząstki w objętości. Z warunku, że cząstka gdzieś jest na pewno wynika warunek unormowania funkcji: całka potrójna od minus niesk. do plus niesk. z Fi*Fi sprzężone dxdydz=1. Jeżeli wiele identycznych cząstek opisuje jedna funkcja falowa, wtedy gęstość cząstek jest wprost proporcjonalna do Fi*Fi sprzężone, np. foton. Gęstość energii promieniowania jest wprost proporcjonalna do gęstośco fotonów. Tak więc,natężenie fali świetlnej wprost propor. do gęstości fotonów czyli do ¦Fi¦^2. Promieniowanie można też opisać falą elektromagnetyczną. Wtedy natężenie promieniowania wyraża się przez kwadrat modułu fali. Czyli funkcja opisująca falę świetlną jest wprost proporcjonalna do funkcji własnej fotonu. RYSUNEK: {wygląda mniej więcej tak: ¦<¦>¦ pierwsza ścianka ze szczeliną S, za szczeliny wychodzą dwa promienie r z indeksem S1 dochodzi do szczeliny 1 w drugiej ściance, r z indeksem S2 do szczeliny 2; ze szczelin 1 i 2 wychodzą promienie odpowiednio r1, r2 i dochodzą do szczeliny p w trzeciej ściance.} Szczelina S jest źródłem cząstek o określonej energii E i pędzie p emitowanych we wszystkich kierunkach. Funkcja własna cząstki przechodzącej od szczeliny S do 1 jest równa:Fi(S do 1)=A*exp[(1/h)(p z indeksem r S1 -Et)]. Kwadrat modułu (Fi*Fi sprzężone) jest prawdopodobieństwem takiego przejścia. Możemy też określić amplitudę prawdopodobieństwa przejścia cząstki od S przez szczelinę 1 do P:Fi(S-1-P)=Fi(S-1)Fi(1-P) z prawdopodobieństwa ¦Fi(S-1-P)¦^2=¦Fi(S-1)^2¦Fi(1-P)¦^2. A teraz druga własność. Niech będzie szczelina 2. Analogicznie można wyrazić amplitudę prawdopod. Fi(S-2-P). Całkowita amplituda prawdopod. wynosi Fi(S -P)=Fi(S-1-P)+Fi(S-2-P), a prawdopodobieństwo ¦Fi(S-P)¦^2=¦Fi(S-1-P)+Fi(S-2-P)¦^2. Jeżeli stan cząstki jest sumą kilku podstanów, to funkcja własna cząstki nie jest równa sumie prawdopod. cząstkowych, ale jest równe kwadratowi modułu sum amplitud prawdopod.. W wyniku możemy mieć efekty interferencyjne Fi(S-1-P)=A1'*exp[(1/h)(p*r z ind. 1S-At1')] * A1''exp[(1/h)(p*r z ind. 1-E*t2'')] oraz Fi(S-2-P)=A2'*exp[(1/h) (p*r2S-E*t2')*A2''*exp[(1/h)(p*r2-E*t2'')] Czasy t i amplitudy A są odstępami czasów i amplitudami w trakcie przebywania przez cząstkę różnych odcinków dróg: t1'+t1''=t2'+t2''; r1S=r2S=R z indeksem samo S; A1'=A2'; A1''=A2''; A1'*A1''=A2'*A2''=A; dlatego: Fi(S-P)=A*exp[(p*rS-E*t)/h]*exp[(p*r2)/h]*[1+exp[((p*(r2-r1))/h]], a prawdopodobieństwo ¦Fi(S-P)¦^2=Fi*Fi sprzężone=A^2*[2+exp r2-r1)], oznaczając p/h=2Pi/lambda=k; r2-r1=delta r po przekształceniach Fi*Fi

sprzężone=2A^2[1+cos(k*delta r)=4A^2cos^2((k*delta r)/2). Rozkład prawdopod. trafienia cząstki w różne miejsca ekranu jest interferencyjny.

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA

Amplituda prawdopodobieństwa cząstki Fi o energii E i pędzie p poruszającej się prostoliniowo wzdłóż osi OX wyrażona jest wzorem Fi=A*exp[i(kx-omega*t)]. Ponieważ A jest wielkością stałą, to Fi*Fi sprzężone=A^2 w obszarze od -niesk. do +niesk. Położenie cząstki znajduje się w przedziale od -niesk. do +niesk. MOżna sobie wyobrazić,że funkcja falowa Fi opisująca realną cząstkę winna być zlokalizowana w przestrzeni podobnie jak możliwe położenie cząstki jest więcej lub mniej zlokalizowane. Na danym przykładzie cząstka porusza się w kierunku osi X z prędkością V. Funkcja falowa ma postać jak na rysunku (2) a to jest paczka falowa. Ostatni wykres przedstawia gęstość prawdopodobieństwa znajdowania się cząstki w danym miejscu. Sprawdzając koncepcję paczki falowej ze względu na prędkość mamy: Vfaz=omega/k=E/p. Jeżeli E=p^2/2m to Vfaz=V/2, gdy E=mc^2 to Vfaz=c^2/V. Prędkość grupowa paczki falowej wynosi Vgr=d omega/dk=dE/dp=V. Czyli rzeczywiście funkcje falowe realnych cząstek są paczkami falowymi. Uwzględniając związek pędu z wektorem falowym i częstotliwości z energią mamy delta x*delta p z ind. x>=h; delta t*delta E>=h. Zależności te nazywane są zasadami nieoznaczności Heissenberga(1930). Dla trzech wymiarów mamy delta y*delta p z ind. y>=h; delta z*delta p z ind. z>=h; px,py,pz- składowe pędu. Im cząstka, a więc i funkcja własna lepiej zlokalizowana w przestrzeni tym składa się na nią szersze widmo pędów co oznacza,że pęd cząstki ma określoną nieoznaczoność. Także im czas trwania delta t cząstki jest krótszy tym większe jest rozmycie (nieoznaczoność) energii cząstki. Zasady nieoznaczoności są zakodowane w prawa przyrody i zjawiska w świecie mikrocząsteczek Ważniejsze przykłady działania zasad nieoznaczoności: a)związek między czasem życia tał atomu w stanie wzbudzonym i rozmyciem delta E wartości energii atomu w tym stanie tał*delta E= w przybliżeniu h. Takie samo rozmycie ma foton. Nieoznaczoność częstotliwości fotonu delta tał=delta E/h=1/tał. W stanie podstawowym atom może przebywać praktycznie dowolnie długo tzn. tał jest dowolnie duże, więc rozmycie energii poziomu podstawowego jest równe zero; b)cząstki elementarne nietrwałe, których czas życia wynosi tał. Wtedy energia spoczynkowa cząstki krótko żyjącej ma naturalne rozmycie delta E=delta m z ind.0, c^2=h/tał, a więc masa spoczynkowa cząstki krótko żyjącej ma naturalne rozmycie; c)próba pomiaru położenia i pedu cząstki z dokładnościami większymi od możliwych według zasad nieoznaczoności: elektrony przyspieszane nap. U(Ek=e*U) i skolidowane otworem s w przesłonie są uformowane w wiązkę, która porusza się w kierunku osi Y. Składowa p z ind. y=pierw[2meU]. Jeżeli elektron wylatuje ze szczeliny s ma jakąś składową pędu delta p z ind. x, to jego tor utworzy kąt Alfa z osią Y tak, że tgAlfa=delta px/py i elektron nie trafi w szczelinę o szer. delta x przesłony ustawionej w odl. delta L, jeżeli tgAlfa> delta x/2L. Składowa delta p z ind. x musi zawierać się w przedziale +-delta py*delta x/2L. Zwiększając L i zmniejszając delta x zmniejszamy nieoznaczoność położenia elektronu. Jeżeli na ekranie nastąpi rozbłysk to będzie spowodowany elektronem, który miał nieoznaczoność pędu delta px=delta x*py/2L. Elektron dolatując do szczeliny delta x opisuje falę płaską z długością lambda=h/py. W szczelinie delta x funkcja falowa elektronu ulega ugięciu, a więc i elektron ulega ugięciu. Kąt ugięcia wynosi delta Fi=lambda/delta x. Zaistniało rozmycie pędu: delta px= py* tg delta Fi= w przybliżeniu py*lambda/delta x, ponieważ lambda= h/py to delta x* delta py= w przybliżeniu h. Ogólnie twierdzenie Heisenberga mówi: iloczyn nieokreśloności wartości dwu zmiennych sprzężonych nie może być co do rzędu wielkości mniejszy niż stała Plancka. Energia i czas również są wielkościami kanonicznie sprzężonymi. A więc dla nich także słuszny jest związek nieoznaczoności: delta E*delta t>=h/2 gdzie h to jednostkowa liczba urojona.

OSA 17 BUDOWA ATOMU

17.BUDOWA ATOMU.

1.STANY KWANTOWE ELEKTRONU W ATOMIE.

Układ składający się znieruchomego jądra o ładunku Ze(liczba całkowita) i poruszającego się wokół niego elektronu dla Z >1 nazywamy jonem wodoropodobnym, dla Z=1 stanowi on atom wodoru. Energiapotencjalna elektronu U=(-2e2)/(4or),gdzie r-odległość elektronu od jądra.Zatem równanie Schrödingera ma postać :2+{2m/(h-kreślone)2}*(E+2e2/(4or))=0. Pole,w którym porusza się elektron jest polem centralnym. Posługując się sferycznym układem współrzędnych(r,,).Korzystając z operatora Laplace'a dla współrzędnych sferycznych otrzymujemy :1/r2*[d/dr](r2[d/dr])+r/(r2sin[d/d])(sin[[d/d])+1/(r2sin2)*[d2/d2]+2me/(h-kreślone)2*(E+ 2e2/(4or))r=0 równanie ma rozwiązanie jednoznaczne ,skończone i ciągłe dla : a.)E>0 ,gdy elektron przelatuje w pobliżu jądra i oddala się ponownie do . b.)dla dyskretnych ujemnych wartości En=-moe42Z/(322o2(h-kreślone)2n2. Funkcje własne tego równania zawierają trzy parametry będące liczbami całkowitymi(n,l,m).Opis n-liczba kwantowa główna n=1,2,3,..., ,związana z energią na orbicie ; l-liczba kwantowa poboczna(azymutalna lub orbitalna)związana z momentem pędu na orbicie i kształtem elipsy l=0,1,2,...,n-1 ; m-magnetyczna liczba kwantowa m=-l,(-l+1),...,0,...,+l związana z rzutem momentu pędu na orbicie na kierunek pola magnetycznego. Każda kombinacja dozwolonych liczb kwantowych n,l,m jest zbiorem jakby dozwolonych współrzędnych elektronu w atomie i określa dozwolony stan kwantowy elektronu w atomie(atom wodoru może mieć jedną i tę samą wartość energii znajdując się w kilku różnych stanach; watomie nie mogą istnieć dwa elektrony o jednakowych wszystkich czterech liczbach kwantowych). Elektron posiada też własny moment pędu Ks nazywany momentem spinowym lub krótko spinem: Ks=h1/2(1/2+1). Każdy rodzaj cząsteczek ma swój charakterystyczny spin (s). Tak więc czwartą liczbą kwantową określającą stan elektronu w atomie jest spin s=1/2 ,która związana jest z rzutem spinu elektronu na kierunek pola. Moment pędu orbitalny Kl elektronu i spinowy Ks określają całkowity moment pędu Kj=Kl+Ks. Okazuje się, że Kj jest skwantowany wg zasady Kj=hj(j+1) ,

j=l-1/2,l+1/2. Liczba kwantowa całkowitego momentu pędu (j) przyjmuje dla określonego l dwie wartości ze względu na dwie różne orientacje spinu. Ze wzoru na En wynika ,że energia elektronu zależy tylko od głównej liczby kwantowej n. Uwzględniając efekty relatywistyczne okazało się ,że energia ta zależy też w małym stopniu od liczby kwantowej j: En,j=En[1+{dopisać 11 znaków} ,gdzie to stała struktury subtelnej. Energie stanów kwantowych w atomach wieloelektronowych zależą i to wyraźnie od l. Stany o jednakowych energiach nazywamy zdegenerowanymi ,a liczbę różnych stanów o jednakowych wartościach -krotnością degradacji. Liczba różnych stanów odpowiadających danemu n równa (2l+1)=n2.

2.FERMIONY I BOZONY.

Cząstki elementarne dzielą się na dwie zasadniczo różne grupy ze względu na wartość spinu. Mianowicie cząstki ze spinem połówkowym(np.elektron,proton,neutron, s=1/2) zwane fermionami oraz cząstki ze spinem całkowitym zwane bozonami(np.foton(s=1),mezony(s=0)). Fermiony rządzą się zasadą ,że w układzie kwantowym w jednym stanie kwantowym może być co najwyżej jedna cząsteczka danego rodzaju ,czyli nigdy już nie zajmują stanu zajętego przez inną cząsteczkę. Bozony przeciwnie mogą gromadzić się w jednym stanie kwantowym w dowolnej ilości i im więcej jest cząsteczek w jednym stanie ,tym większe jest prawdopodobieństwo przejścia do tego stanu innych cząsteczek. Dla bozonów charakterystyczne jest to ,że prawdopodobieństwo pojawienia się bozonu w stanie ,w którym już znajduje się n cząsteczek jest proporcjonalne do n(Pn). Jeżeli cząsteczek jest dużo mniej od liczby dozwolonych stanów kwantowych ,to zajęcie pojedynczego stanu przez więcej niż jedną cząsteczkę jest mało prawdopodobne i zbiór takich cząstek określa się mianem gazu niezdegenerowanego. Natomiast gdy liczba cząsteczek jest porównywalna z liczbą stanów kwantowych -gaz zdegenerowany i wówczas uwzględnia się prawa rządzące fermionami i bozonami. W stanie równowagi termicznej średnią liczbę cząstek w określonym stanie kwantowym określają warunki wg odpowiednich statystyk jakim podlegają. Dla fermionów: statystyka Fermiego-Diraca: nj={8 znaków}; dla bozonów statystyka Borego-Einsteina: nj={{8 znaków i linia pusta} -energia cząstki w stanie kwantowym j ,F i -potencjały chemiczne cząsteczek. W przypadku cząstek =0 nie obowiązuje zasada zachowania liczby cząstek takiego rodzaju. Odnośnie zaś statystyki Fermiego w temperaturze zera bezwzględnego obsadzone są wszystkie stany kwantowe(nj=0) o energiach <F(czyli zajętych jest tyle stanów kwantowych najniższych ile jest cząstek w układzie). Podział cząśtki na fermiony i bozony dotyczy nie tylko cząstek elementarnych ale i złożonych jak jąder atomów. Wypadkowy spin cząstki złożonej jest geometryczną sumą spinów cząstek składowych. Specyficzne własności fermionów i bozonów znajdują odbicie we własności funkcji falowej układu cząsteczek identycznych. Funkcja własna układu jest antysymetryczna ,a bozonów symetryczna.

3.UKŁAD OKRESOWY PIERWIASTKÓW.

Uwzględniając zakaz Pauliego (w atomie nie może być więcej niż jeden elektron w jednym stanie kwantowym) można określić ułożenie elektronów w atomie. W atomie wieloelektronowym momenty pędu orbitalne i spinowe poszczególnych elektronów składają się na całkowity moment pędu orbitalny i spinowy atomu. Jeżeli zajęte są wszystkie stany kwantowe dla określonej liczby kwantowej l ,to zajęte są wszystkie możliwe ustawienia przestrzenne danego momentu pędu orbitalnego i wtedy wypadkowy moment pędu orbitalny i spinowy równa się zero. Atomy w takiej sytuacji mają niższą energię całkowitą są więc stosunkowo trwałe i niechętnie uczestniczą w reakcjach chemicznych ,głównie są to gazy szlachetne. Zbiór stanów kwantowych dla określonej liczby n nazywamy powłoką. Oznacza się je kolejno K,L,M,N,O,... .Podobnie dla stanów kwantowych dla określonej liczby l nazywa się podpowłoką. Konstrukcja układu Mendelejewa zaczyna się od mającego jeden elektron atomu wodoru. Każdy następny otrzymujemy poprzez zwiększenie o jeden ładunku jądra poprzedniego atomu oraz poprzez dodanie jednego elektronu ,który umieszczamy w dostępnym dla niego na mocy zakazu Pauliego stanie o najmniejszej energii.{RYSUNEK}W atomie wodoru w stanie podstawowym jest jeden elektron (1s) o dowolnej orientacji spinu. Po zwiększeniu ładunku jądra atomu wodoru i po dodaniu jednego elektronu otrzymujemy atom helu. Obydwa elektrony w tym atomie mogą znajdować się w powłoce K ,ale muszą mieć antyrównolegle zorientowane spiny.Na atomie helu kończy się zapełnianie powłoki K. Trzeci elektron możę zająć dopiero poziom L. Trzeci elektron atomu litu zajmuje dużo wyższy poziom energetyczny niż dwa pozostałe ,w związku z czym jest on dużo słabiej niż one związany z jądrem. W rezultacie ten właśnie elektron osiąga optyczne i chemiczne własności atomu. {RYSUNEK}

OSA 18 TEORIA KINETYCZNO-MOLEKULARNA METERII

18.TEORIA KINETYCZNO-MOLEKULARNA MATERII .

1.ZASADA EKWIPARTYCJI ENERGII.

Równanie stanu gazu doskonałego: n-liczba moli gazu, N-liczba molekuł pv=NkT=N/NA*R*T=M/Mmol*R*T=nRT, v-objętość ,R=NAk,gdzie k to stała Rydberga.

Sformułowaniu tego równania towarzyszył rozwój kinetyczno-molekularnej teorii gazu doskonałego wg ,której gaz jest zbiorem punktów materialnych-molekuł poruszających się chaotycznie ,zderzających się między sobą i ściankami naczynia sprężyście. Ciśnienie gazu na ściankim jest wynikiem zmiany pędu dużej liczby molekuł odbijających się od ścianki : p=2/3Ni(mv2)/2=2/3NiEk (Ni-gęstość molekuł). Molekuły poruszają się z różnymi prędkościami ,dlatego v2 trzeba zastąpić wartością średnią v2 Ek=3/2kT ,czuli aby podwyższyć o jeden stopień temperaturę jednego mola gazu doskonałego bez zmiany objętości to należy dostarczyć energię 3/2kNA=3/2R (Cv=3/2R) i ta wielkość powinna być ciepem molowym przy stałej objętości;warunek ten jest spełniony przez gazy jednoatomowe(dwuatomowe Cv=5/2R) . Te spostrzeżenia to podstawy sformułowania zasady ekwipartycji energii. Traktowanie molekuł jako punktów materialnych jest możliwe tylko w przypadku molekuł jednoatomowych. Jej położenie określają trzy niezależne współrzędne i odpowiadają im trzy niezależne sposoby ruchu translacyjnego zwane stopniami swobody molekuły. Z każdym z tych stopni związana jest energia ruchu cieplnego mvx2/2=mvy2/2=mvz2/2=1/3mv2/2=1/2kT. W gazie rzeczywistym po pewnej ilości zderzeń energie ruchu chaotycznego molekuł wyrównują się. Na jeden stopień oscylacji przypada średnia energia ruchu cieplnego kT(Energia ruchu cieplnego rozdziela się równomiernie w ilości 1/2KT na wszystkie niezależne sposoby magazynowania energii). Energia całkowita E=(it/2+ir/2+iosc/2)kT ,(it,ir,iosc-stopnie swobody). Ogółnie zasada ekwipartycji energii w ciele będącym w stanie równowagi termodynamicznej każdemu klasycznemu stopniowi swobody cząstki odpowiada energia średnio równa kT/2 ,T-temperatura ciała; stopień swobody nazywamy klasycznym jeżeli odpowiadający mu ruch podlega prawom mechaniki klasycznej.

2.GAZY RZECZYWISTE.

W miarę zwiększania się gęstości gazu staje się on coraz mniej podobny do gazu doskonałego. Wzajemne oddziaływania cząsteczek gazu nabierają wówczas coraz to większego znaczenia. Przybliżone uwzględnienie tych oddziaływań prowadzi do równania stanu gazu rzeczywistego zwanego równaniem Van Der Waalsa. Jak wynika z równania stanu gazu doskonałego dla skończonych temperatur ciśnienie rośnie nieograniczenie gdy objętość zmierza do zera. Dla gazu rzeczywistego ciśnienie powinno się zwiększać już przy objętości równej co do rzędu wielkości sumie sumie objętości wszystkich cząsteczek gazu. Tę minimalną objętość można zapisać w postaci iloczynu Nb,b-objętość pojedynczej cząsteczki ,N-liczba wszystkich cząsteczek. Poprawiona postać równania gazu doskonałego p=(NkT)/v.

3.SIŁY MOLEKULARNE W CIECZACH I CIAŁACH STAŁYCH.

Działanie sił przyciągania między cząsteczkami przejawia się zmniejszeniem ciśnienia gazu w porównaniu z podaną wartością. Tozmniejszenie wynika z przyciągania jakiego ze strony cząsteczek gazu znajdujących się wewnątrz naczyniadoznaje każda cząsteczka trafiająca w pobliże ścianki. W grubym przybliżeniu można przyjąć ,że siła ta jest proporcjonalna do gęstości gazu ,a więc i do koncetracji n=N/v. Ciśnienie jest proporcjonalne do gęstości. Z tego wynika ,że przewidywane zmniejszenie się ciśnienia będzie wprost proporcjonalne do n2=n2/v2. (a-współczynnik proporcjonalności). Chcąc teraz uwzględnić działanie sił przyciągania otrzymujemy p=NkT/(v-Nb)-N2/V2*a ,które w postaci (p+n2/v2*a)(v-Nb)=NkT nosi nazwę równania Van der Waalsa ,gdzie a i b to stałe uwzględniające zarówno siły przyciągania jak i odpychania w oddziaływaniach między cząsteczkami gazu. Równanie Van der Waalsa poprawnie opisuje izotermy gazów rzeczywistych. Ważnymi parametrami gazu są temperatura i ciśnienie krytyczne Tkr i Pkr. {RYSUNEK }

4.PRZEKRÓJ CZYNNY I ŚREDNIA DROGA SWOBODNA ODDZIAŁYWANIA.

{RYSUNEK2.5*1.5 cm} Takie są możliwe tory cząstek ,które przelatują obok innej cząstki. Tor cząstki przelatującej na skutek sił odpychania ulega odchyleniu. Jest to typowe zderzenie cząstek. Możemy mówić o pewnej powierzchni trafienia w "tarczę",czemu odpowiada zderzenie. Wielkość jest nazywana przekrojem czynnym na zadany proces(w tym przypadku zderzenie).<<RYSUNEK>>Jeżeli cząstka przejdzie przez obszar o grubości dx ,w którym są cząstki tarcze z gęstością Ni ,to prawdopodobieństwo trafienia czyli zaistnienia oddziaływania wynosi w(oddz)=Nidx , Nidx=<1 .

5.PRĘDKOŚĆ DRYFU.

Jeżeli na cząsteczki poruszające się chaotycznie działa siła w określonym kierunku ,to zaczynają się one przemieszczać w tym kierunku. Ruch taki nazywamy dryftem ,a jego prędkość prędkością dryftu. Średnia prędkość dryftu nie rośnie w czasie ponieważ w zderzeniach z innymi cząstkami tracony jest pęd dryftu. Najczęściej spotykanym przypadkiem jest taki ,gdy prędkość ruchu cieplnego jest dużo większa od prędkości dryftu. Wtedy średni czas między zderzeniami wynosi =/v . Pęd dryftu mu tracony w każdym zderzeniu jest rekompensowany popędem siły F

u=/m*F=F ,-współczynnikruchliwości cząsteczki

=/m=/mv

Jeśli dryftującą cząstką jest ładunek q w polu o natężeniu E ,to u=eE ,a współczynnik ruchliwości jest równy e=q . Jeżeli dryft cząsteczki możemy przybliżyć modelem kulki o promieniu r ,poruszającym się w ośrodku o współczynniku lepkości ,to można skorzystać ze wzoru Stokesa na siłę oporu takiej kulki poruszającej się z prędkością u .

F=ru ,wtedy =1/r.

BETON 19 ZJAWISKA TRANSPORTU W GAZACH

19.Zjawiska transportu w gazach.

Legenda symboli:[x]-indeks dolny,>-wektor,[-lambda,qq-ro,w różniczce d/dx d-pisane małe delta,dP-przyrost zwykłe d,dd-delta,/L-duża lambda,nn-eta,x2_-x kwadrat nadkreślone,PI-pi,vv2-nabla kwadrat,aa-alfa,dV-delta ni,ff-fi,tt-tau,oo-małe omega,

1.Dyfuzja w gazach.

Analizując gaz,w którym jest ustalona temperatura i ciśnienie całej objętości,ale pewna ilość molekuł jest innego rodzaju,i są one niejednorodnie rozłożone w objętości gazu to w wyniku ruchu cieplnego rozłożenie wyróżnionych molekuł w miarę upływu czasu będzie zmierzać do jednorodnego rozkładu.Czyli jeżeli w wybranym kierunku gęstość tych molekuł zmieni się,to tylko na skutek ruchu cieplnego powstaje wypadkowy prąd molekuł od obszaru o większej gęstości do obszarów o mniejszej gęstości.Proces ten nosi nazwę dyfuzji.Aby ustalić gęstość prądu dyfuzji i[x] w wybranym kierunku x musimy ocenić ilość interesujących molekuł przelatujących w kierunku osi x przez powierzchnię prostopadłą w miejscu o współrzędnej x.Zakładając,że w każdym miejscu średnio 1/3 molekuł porusza się w kierunku osi ox i analogicznie wzdłuż oy i oz a z tego połowa ma jeden zwrot a połowa przeciwny to z prawa na lewo w jednostce czasu i przez jednostkę powierzchni przelatuje 1/6vN[1](x+[) molekuł,gdzie v pr.ruchu ciepln.molekuł,N[1](x+[) gęstość molekuł w miejscu o współrzędnej (x+[). Stała dyfuzji D jest równa D=1/3v[ Wzór na gęstość prądu dyfuzji w wybranym kierunku ma postać i[x]=-DdN[1]/dx. Ogólnie i>=-Dgrad>N[1].

2.Przewodnictwo cieplne.

Obok dyfuzji ważnym przypadkiem zjawisk transportu jest przewodnictwo cieplne.Jeżeli w wybranym kierunku zmienia się energia ruchu cieplnego molekuł(a więc i temp)to średnio w kierunku przeciwnym wędrują cząstki z większymi energiami w stosunku do cząstek wędrujących w wybranym kierunku-następuje więc przepływ energii ruchu cieplnego od obszarów gdzie energia ta jest wyższa do obszarów o niższej energii.Jest to właśnie zjawisko przewodnictwa cieplnego.Wtedy ddG=ddQ oraz G[1]=qqcT (qq-gęstość gazu,c-ciepło właściwe,T-temp).Gęstość prądu ciepła jest równa i[x]=(ddQ/(ddsddt))[x]=-Dd(qcT)/dx=-/LdT/dx /L=Dqc-wsp.przewodn.cieplnego gazu D-stała dyfuzji.

3.LepkoŚć gazu.

Jednym z przypadków zjawisk transportu jest lepkość gazów.(RYSUNEK 3.21) Zjawisko lepkości można wytłumaczyć na podstawie powyższego rysunku.Niech płytka o powierzchni ddS ustawiona prostopadle do płaszczyzny rysunku porusza się z prędkością u[0] w kierunku x.Wtedy na skutek lepkości pociąga za sobą przylegające do niej warstewki gazu a te z kolei następne warstewki.Prędkość u pociągania kolejnych warstewek maleje w miarę oddalania się od płytki.Z prędkością wiąże się pęd.Ponieważ istnieje gradient w kierunku y tego pędu to występuje transport w kierunku przeciwnym.Objawia się to w postaci siły tarcia między kolejnymi warstwami.Otrzymamy: -Dd(qu)/dy=-nndu/dy;nn=Dqq-wsp.lepkości gazu,D-stała dyfuzji.Siła tarcia między warstwami F[t]=nn(du/dy)ddS.Jest to tzw wzór Newtona na siłę tarcia w ośrodku lepkim.

4.Równania Ficka.

Pełny ilościowy opis dyfuzji jest ujęty w dwu równaniach Ficka.Pierwsze równanie to i[x]=-DdN[1]/dx i>=-Dgrad>N[1].Aby poznać drugie równanie musimy poznać równanie ciągłości prądu.Jeżeli mamy do czynienia ze zmianą w przestrzeni prądu to gęstość przestrzenna tej wielkości zmienia się w czasie.Jeżeli wprowadzimy ten związek w odniesieniu do prądu cząstek to otrzymamy dN[1]/dt=-di[x]/dx lub ogólniej dN[1]/dt=-(di[x]/dx+di[y]/dy+di[z]/dz)=-div i>.Równanie to jest równaniem ciągłości prądu.Zapisując rownanie ciągłości prądu dla dyfuzji otrzymamy drugie równanie Ficka: dN[1]/dt=D(d2N[1]/dx2) w jednym wymiarze.W postaci pełnej będzie ono określone wzorem dN[1]/dt=D(d2N[1]/dx2+d2N[1]/dy2+d2N[1]/dz2)=Dvv2N[1],gdzie vv2=d2/dx2+d2/dy2+d2/dz2.Drugie równanie Ficka określa bezpośredni związek między zmianami gęstości dyfundujących cząstek w przestrzeni i w czasie.

5.Ruch cieplny.

Fluktuacje cieplne.W 1827 biolog Brown wykrył pod mikroskopem ruchy mikroskopijnych obiektów zawieszonych w wodzie,które przypominały ruchy mikroskopijnych organizmów żywych.Dopiero Einstein i polski fizyk Smoluchowski wytłumaczyli to zjawisko w 1905.Były to po prostu ruchy cieplne mikropyłku.Prawa tego ruchu są identyczne jak pojedynczej molekuły gazowej.Pyłek taki bombardowany z różnych stron molekułami gazu wykonuje chaotyczne przesunięcia podobnie jak pojedyncza molekuła.Jego średnia energia ruchu wynosi 3/2kT,a średni kwadrat przesunięcia x2_=(kTt)/(3PIqr).Wzór ten poprawnie opisuje wyniki obserwacji ruchów Browna.Ruchy B.są jednym z przykładów tzw fluktuacji cieplnych zwanych też szumami cieplnymi.Ograniczają one w sposób naturalny czułość przyrządów pomiarowych.Każdy przyrząd mechaniczny charakteryzuje się stałą sprężystości układu aa.Ponieważ zmniejszanie sprężystości aa układu ma swoje granice z uwagi na górny zakres przyrządu i jego bezwładność czasową,czułość możemy zwiększać przez obniżanie temperatury.W praktyce problem szumów cieplnych występuje w miernikach elektronicznych,w których tylko szumy cieplne ograniczają czułość przyrządów.Ich źródłem są drgania cieplne jonów w sieci krystalicznej i ruchy cieplne elektronów przewodnictwa w przewodach elektrycznych,oporach i innych elementach obwodów elektrycznych.Powoduje to powstawanie "szumowych" krótkotrwałych impulsów napięcia w kształcie "szpilek".Napięcie szumów można uważać za zbiór przebiegów harmonicznych o wszystkich częstotliwościach od oscylatorów elektrycznych drgających cieplnie.Ponieważ energia drgań cieplnych jest kT,taka sama energia jest przekazywana w jednostce czasu,a jeżeli układ elektryczny przenosi pasmo częstotliwości dV to tyle jest oscylatorów.Moc szumów cieplnych P[sz] jest równa P[sz]=kTdV Występuje także ruch cieplny rotacyjny.Molekuły wykonują chaotyczne obroty.Zależność na średnią wartość sinusa wypadkowego kąta obrotu ff w czasie t sin2y_=2/3(1-e^(-6D[rot]t)), D[rot]-wsp.dyfuzji w ruchu obrotowym.Gdy czas jest duży wtedy sin2y_=2/3.Dla 6D[rot]ddt<=1 sin2y_<=1 i ddff2_=4D[rot]ddt. Jeżeli molekuła jest dipolem elektrycznym,to zewnętrzne pole el.wymusza orientację dipoli w kierunku pola,a to wiąże się z polaryzacją P ośrodka.Polaryzacja P jest wprost proporcjonalna do zgodnej orientacji wszystkich dipoli.Gdy polaryzacja wynosiła P,a w czasie ddt następuje średnio obrót dipoli o kąt ddff to nowa wartość polaryzacji jest mniejsza,równa Pcos(ddff). ddP=-P(1-cos(ddff))=-P2D[rot]ddt; 2D[rot]=1/tt; dP/P=-dt/t => P=Pe^(-t/tt). tt-czas relaksacji dipolowej a całe zjawisko zwane jest relaksacją dipolową.Według wzoru Stokesa moment siły oporu M[op] kulki o promieniu r obracającej się z prędkością kątową oo w ośrodku o wsp.lepkości nn jest równy M[op]=8PInnr^3oo; D[rot]=kT/(8PInnr^3); tt=8PInnr^3/(2kT).

BETON 20 ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

20.Elementy fizyki statystycznej.

Legenda symboli: ee-epsilon,ff FF-małe duże fi,@-duże omega,[t]-indeks dolny,A% - x w górnym indeksie A,aa-alfa,dd-delta,SS-znak sumy,mm-mi,

1.Statystyczny opis równowagi termodynamicznej.

Jeżeli mamy N molekuł,z których każda ma i stopni swobody i znajdują się one w stanie równowagi termodynamicznej bo liczba mikrostanów całego układu o energiach mniejszych od U=eeiN jest równa FF(U)=ff^(iN),U-energia wewn ukł.Liczba FF(U) jest bardzo duża,jeśli np.obraną osią jest skala energii układu to poziomy energii stanów kwantowych całego układu byłyby ułożone niesłychanie gęsto.Odległości między tymi poziomami byłaby dużo mniejsza od nieokreśloności dU energii wewnętrznej układu. Za liczbę stanów kwantowych @ układu możemy wtedy przyjąć liczbę stanów kwantowych układu w przedziale naturalnego rozmycia energii układu dU: @(U)=(dFF/dU)*dU=ff^(i*N-1)(dff/dee)dU lub ln@(U)=iNln(ff); Jeżeli W jest prawdopodobieństwem określonego stanu makroskopowego układu to jest ono równe W=@/@[t],gdzie @-odpowiadająca danemu stanowi liczba stanów kwantowych,a @[t]-wszystkie możliwe stany kwantowe danego układu w określonych warunkach.Stan równowagi termodynamicznej jest stanem dla którego W osiąga maksimum. Jeżeli mamy dwa układy:układ A o energii U i układ A' o energii U' to układy razem wzięte tworzą układ A% o energii U%=U+U' odizolowany od zewnętrznych wpływów tzn U% i @[t]+ są wielkościami stałymi. Prawdopodobieństwo że układ A ma energię U jest dane wzorem @(U)=@(u)/@[t]%=const@%(U), gdzie @%(U)-liczba stanów kwantowych całego układu A%. Równanie to możemy przekształcić do postaci: lnW(U)=const+ln@(U)+ln@'(U'). Stanowi równowagi termodynamicznej odpowiada maksimum W: d(lnW)/dU=0. Przekształcając (dU=-dU') (d(ln@)/dU)[v]=(d(ln@')/dU')[v'].Warunek stałej objętości wynika z faktu,że układy są tylko w kontakcie cieplnym a ich objętości są stałe.Wtedy @ jest tylko funkcją U.Pochodna (dln@)/dU przy stałej objętości jest wielkością charakterystyczną dla układu i w równowadze termodynamicznej ma tą samą wartość dla wszystkich podukładów kontaktujących się cieplnie.Czyli temperatura jest wielkością,której wartość pozostaje taka sama we wszystkich częściach układu czyli (d(ln@)/dU)[v]=1/(kT); k-stała Boltzmana, kT=(ee-ee[0])/aa. Ostatnie równ.wyraża zasadę ekwipartycji energii.

2.Rozkład kanoniczny Gibbsa.

Jeżeli mamy dwa układy:układ A o energii U i układ A' o energii U' i dodatkowo założymy że układ A' jest dużo większy od układu A. Prawdopodobieństwo,że układ jest w stanie kwantowym j wynosi W(j).Oczywiście wtedy @=1.Natomiast U'=U%-U[j] gdzie U[j] jest energią układu A w stanie kwantowym j.Ponieważ U[j]<<U% więc możemy napisać ln@'(U%-U[j])=ln@'(U%)-(dln@'/dU')U[j]=ln@'(U%)-U[j]/(kT). ln@'(U%) jest wielkością stałą więc ostatecznie mamy W(j)=C*e^(-U[j]/(kT)).Jest to tzw rozkład kanoniczny Gibbsa (1901r) W(j) jest prawdopodobieństwem że układ w stanie równowagi termodynamicznej jest w stanie kwantowym j. C-stała;T-temp.otoczenia,z którym układ kontaktuje się cieplnie.Rozkład kanoniczny Gibbsa odnosi się do układu makroskopowego ponieważ zakładamy że stany kwantowe kontaktujących się ze sobą układówA i A' są statystycznie niezależne.Dodatkowo zakładamy że układ A' jest dużo większy od A.

3.Rozkład prawdopodobieństwa Boltzmana.

Interesujące jest zagadnienie w jakich warunkach rozkład kanoniczny Gibbsa można odnieść do pojedynczej cząstki,gdy prawdopodobieństwo że cząstka jest w wybranym stanie kwantowym j nie zależy od stanu kwantowego reszty układu,a więc od stanu pozostałych cząstek w układzie.Tak jest gdy dozwolona liczba stanów kwantowych jakie ma do dyspozycji jedna cząstka w układzie jest dużo większa od liczby cząstek.Liczba stanów kwantowych zależy od przedziałów pędów ddp[x],ddp[y] i ddp[z] cząstki wg wzoru dd@=V(ddp[x]+ddp[y]+ddp[z])/(h^3) gdzie h=6.6*10^-34Js jest stałą Plancka.Energia kinetyczna jest w przybliżeniu równa kT więc pęd cząstki jest równy (mkT)^(1/2),przedziały pędów ddp[x]=ddp[y]=ddp[z] są równe pędowi cząstki stad warunek aby liczba cząstek była dużo mniejsza od liczby stanów kwantowych jednej cząstki N/V=N[1]<<((mkT)^(3/2))/h^3. Nierówność ta jest spełniona dla wszystkich prawie rodzajów substancji i ich stanów skupienia w warunkach ziemskich. Tak więc w przypadkach spełniających daną nierówność wzór na kanoniczny rozkład Gibbsa można stosować ponieważ suma prawdopodobieństw W(j) po wszystkich dozwolonych stanach kwantowych musi być równa 1. Wzór ten możemy zapisać w postaci: W(j)=(1/z)e^(-ee[j]/(kT));ee[j]-energia cząstki w stanie kwantowym j,z=SSe^(-ee[j]/(kT))-suma stanów.Wzór ten nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa Boltzmana(1877r).Jeżeli w układzie mamy N cząstek to średnia liczba cząstek w stanie kwantowym j jest równa: n[j]=NW(j)=Nze^(-ee[j]/(kT))=e^((kTlnN-kTlnz-ee[j])/(kT)); kTlnN-kTlnz=mm jest potencjałem chemicznym cząstki.Ostatecznie n[j]=e^((mm-ee[j])/(kT)).Jest to tzw statystyka Boltzmana wzór na średnią liczbę cząstek w stanie kwantowym j.Interesujący jest rozkład prawdopodobieństwa energii cząstki.Na ogół dozwolonej energii ee[i] cząstki odpowiada kilka różnych stanów kwantowych -ich liczbę g[i] nazywa się wagą statyczną danego poziomu energii ee[i] ze wzoru na W(j) prawdopodobieństwo W(ee[i]) że cząstka ma energię ee[i] jest równe W(ee[i])=(1/z)e^(-ee[i]/(kT))g[i].Wzór ten jest ogólną postacią rozkładu prawdopodobieństwa energii Boltzmana.

4.Statystyki kwantowe (Zakaz Pauliego).

Każdy układ fizyczny w stanie równowagi ma najniższą z możliwych energii.W atomie elektrony rozłożone są na różnych podpoziomach.Sprawę tę wyjaśnił Pauli. Sformułował on prawo (Zakaz Pauliego),które mówi,że w atomie nie może być więcej niż jeden elektron w jednym stanie kwantowym.Uogólniając to prawo otrzymamy tzw.statystyki kwantowe.Cząstki elementarne dzielimy na dwie grupy ze względu na wartość spinu.Cząstki ze spinem połówkowym s=1/2(elektron,proton,neutron) nazywane są fermionami.Cechą charakterystyczną tej grupy jest zasada,że w układzie,w jednym stanie kwantowym może być co najwyżej jedna cząstka danego rodzaju.Cząstki ze spinem całkowitym tworzą drugą grupę (foton=1,mezon s=0).Są nazywane bozonami.Mogą gromadzić się w jednym stanie kwantowym w dowolnej ilości i im więcej jest cząstek w jednym stanie tym większe jest prawdopodobieństwo przejścia do tego stanu innych cząstek.Jeżeli liczba cząstek jest dużo mniejsza od liczby dozwolonych stanów kwantowych to i tak zajęcie pojedynczego stanu przez więcej niż jedną cząstkę jest mało prawdopodobne.Gdy liczba cząstek jest porównywalne z liczbą dozwolonych stanów kwantowych mówimy o gazie zdegenerowanym i trzeba wtedy uwzględnić specyficzne prawa jakimi rządzą się fermiony i bozony.Wzory na średnią liczbę n[j] cząstek w określonym stanie kwantowym j,czyli tzw statystyki kwantowe (otrzymujemy je określając entropię w podanym wyżej przypadku i uwzględniając warunek maksimum entropii w równowadze termodynamicznej): a) fermiony (statystyka Fermiego-Diraca) n[j]=1/(e^((ee[j]-F)/(kT))+1);b)bozony (statystyka Bosego-Einsteina) n[j]=1/(e^((ee[j]-mm)/(kT))-1); ee[j]-energia cząstki ij-tym stanie kwantowym; F,mm-potencjał chemiczny cząstek(F-energia Fermiego).Gdy (ee[j]-mm)lub(ee[j]-F) są dużo większe od kT jedynki w mianowniku można pominąć we wzorach i oba przechodzą w statystykę Boltzmana. mm musi być wielkością ujemną lub co najwyżej =0.Gdy mm=0 zmiana liczby cząstek nie zmienia wartości potencjału termodynamicznego Gibbsa, który w równowadze termodynamicznej jest we wszystkich częściach układu taki sam. Dlatego nie obowiązuje zasada zachowania liczby cząstek takiego rodzaju.Dla fermionów w temp zera bezwzględnego obsadzone są wszystkie stany kwantowe (n[j]=1) o energiach ee<F. Zajętych jest tyle stanów kwantowych najniższych ile jest cząstek w układzie.Dla ee[j]=F zawsze n[1]=1/2. Podział cząstek na fermiony i bozony dotyczy nie tylko cząstek elementarnych ale i złożonych,jak jąder atomów.

STOLARZ 21 DRGANIA KRYSZTAŁÓW, ELEKTRONOWA TEORIA METALI

objaśnienia w tekscie

21.DRGANIA KRYSZTAŁÓW

A)KrysztaŁ jako ukŁad drgań sprzęŻonych.

W przypadku układu drgań sprzężonych drgania pojedyńczych wahadeł są złożone. Złożoność owa polega na tym, że nie są to drgania z jedną częstotliwością i nie ze stałą amplitudą w czasie.Drgania poszczególnych wahadeł opisują równania:

m-psi, n-fi, w-omega m_1=(1/2)(m_I+m_II)=(1/2)(A_I*sin(w_I*t+n_I)+A_II*sin(w_II*t+n_II))

m_2=(1/2)(m_I-m_II)=(1/2)( - )

Można jednak wyróżnić tzw. drgania normalne układu:

m_I=A_I*sin(w_I*t+n_1) + m_II=A_II*sin(w_II*t+n_2)

Charakteryzuje się określonymi częstotliwościami:

(w_I)^2=g/l (w_II)^2=g/l+2k/H

Liczba drgań normalnych jest równa liczbie sprzężonych oscylatorów. Drgania normalne są niezależnymi sposobami drgań układu. Dowolne drganie układu jest superpozycją drgań normalnych. W określonych warunkach układ może drgać tylko według jednego drgania normalnego np. A_II<>0 -> m_1=m_2+(1/2)*m_I _ 0 lub A_I=0 m_1=-m_2=(1/2)*m_II. Kryształ jest przykładem wieloelementowego ukł. drgań sprzężonych. Modelem jedonwymiarowym. Może być łańcuch kulek (atomów) połączonych sprężynkami. W krysztale każdy atom ma trzy niezależne sposoby dragń dlatego liczba normalnych drgań jest równa potrojonej liczbie atomów, w krysztale.Nie trudno zauważyć (patrz rys), że drania są sprężystymi falami stojącymi w krysztale.

B)CIEPŁO MOLOWE KRYSZTAŁÓW

Prawo Dulonga i Petita: Każdy atom lub jon w sieci krystalicznej ma trzy stopnie swobody oscylacji, a więc zgodnie ze wzorem C_v=((l_t+l_r)/2+l_osc)*R {indeksy t,r - dla ruchu transtacyjnego i rotacyjnego}. Ciepło molowe ma wartość 3R. (RYSUNEK) Jak wynika z wykresu w niższych temp. notuje się wyraźne odstępstwa od teptnrowa?. Z prawdopodobieństwa Boltzmana średnia wartość energi drgań cieplnych w danej temp. wynosi: Eosc=(h*v)/(e^((h*v)/(k*t))-1) {v-ni.}

Energia drgań cieplnych jednego mola subst. Umol=3*Eosc*Na; a ciepło molowe

Cv=(dUmol)/(dT) {d-pochodna cząstkowa}

Teria DEBYE'A(1912r)- zakład,że układ kryształów jest układem drgań sprzężonych i jako drgania niezależne należy traktować drgania normalne tego układu. A ponieważ drgania normalne kryształu są falami stojącymi,to w sześcianie o V=L^3 wzdłuż każdej krawędzi musi zmieścić się całkowita liczba odcinków wyznaczonych przez powierzchnie strzałek tzn {l-lambda,a-alfa,b-beta,c-gama}

(2L/l)^2*((cosa)^2+(cosb)^2)+(cosc)^2)=(n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2

dla l=u/v (n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2=L^2 (v/u)^2=R^2 (RYSUNEK) W przestrzeni tej każdemu punktowi odpowiada jedna fala stojąca , komórka o objętości I^3 Falom stojącym o tej smej częstotliwości odpowiadają punkty na powierzchni kuli o promieniu R. W teori Debye'a w niskich temmp (T<<0) ciepło molowe do wartości: C_v=GR(T/0)^3*(pi^4/I^3)=234R(T/0)^3 C.Struntura kryształu jest przypożądkowanie każdemu węzłowi sieci przestrzennej elementarnego zespołu atomów zwanego bazą o identycznym składzie, uszeregowniu i orientacji. Przy opisie struktury krystalicznej należy uwzględnić cztery zagadnienia

1)jaka jest sieć przestrzenna kryształu

2)jakich osi krystograficznych używa się do opisu sieci

3)jaka jest baza

4)jakie są operacje symetrii które sprowadzają strukturę kryształu do tej samej postaci.

Operacjami symerii mogą być:

-obrót wokół osi przechądzącej przez węzeł sieci

-odbicie zwierciadlane w płaszcyŻnie przechodzącej dany węzeł

-inwersja względem danego węzła

-obrót wokół osi połączony z odbiciem w płaszcyŻnie prostopadłej do tej osi.

Struktura kryształowa ma n-krotną oś symerii jeśli można ją doprowadzić do pokrycia się z nią samą przez obrót o kąt 2*pi/n. W 1843r. dla opisania struktury kryształów Bravais wprowadził pojęcie sieci przestrzennej. Jest pięć możliwych typów sieci dla sieci dwuwymiarowej a czternaście dla trójwymiarowej Sieć Bravais'go odpowiada symetrii translacyjenj danego kryształu. Każda dopuszczalna odmienna od innych kombinacja elementów symetrii, która ma conajmniej jeden punkt nie zmienny tworzy krystograficzną grupę punktową (jest ich 32). Grupy punktowe tworzące 14 sieci przestrzennych podzielono na siedem układów krystograficznych: trójskośny, jednoskośny, rombowy, tetragonalny, regularny, trygonalny, heksagonalny. Istnieje więc 5 rodzajów komórek elementarnych: prymitywna, o centrowanej podstawie, centrowana płasko, centrowana przestrzennie, roboedryczna. A)ukł. trójskoŚny:

(6 rysunków) SIEĆ ODWROTNA - sieć przestrzenną można rozważać jako ukłd równoległych płaszczyzn, który można rozważać jako zbiór podając zbiór wektorów n normalnych do odpowiednich płaszczyzn oraz zbiór odległości międzypłaszczyznoweych d. Dla tak opisanej sieci przestrzennej można z kolei sieć odwrotną w następujący sposób. Z początku układu odniesienia (0,0,0) prowadzimy wektory n(n,k,l) prostopadłę do odpowiednich płaszcyzn (n,k,l) o długościach równych (2*pi/d(nkl)). Końce tych wektów wyznaczają układ punktów, który stanowi sieć odwrotną do rozpatrywanej sieci przestrzennej. Płaszcyznom sieci przestrzennej odpowiadają zatem węzły sieci odwrotnej, a węzłom sieci przestrzennej- płaszcyzny sieci odwrotnej o tych samych wskaŻnikach.

Dla wszystkich węzłów sieci owrotnej położonych na powierzchni odbicia spełninony jest warunek Bragga. Korzyści płynące z pojęcia sieci odwrotnej są widoczne np. w przypadku interpretacji z niesprężystym rozproszeniem neutronów w którym będą się energetyczne widmo drgań sieci krystalicznej(eonony) lub wzbudzenie sieci magnetycznej (magnony) poprzez wyznaczanie tzw. krzywych dyspersji.

22)ELEKTRONOWA TEORIA ???

Klasyczny opis przewodnictwa energetycznego metali. Natężeniem prądu dowolnej wielkośći G przepływającej przez przekrój S nazywamy iloraz wielkości deltaG przepływający przez tę powierzchnię w małym odstępie czsu przez ten czas. Natężenie prądu przypadające na jednostkę powierzchni przekroju poprzecznego nazywami gęstością prądu i. Gęstość prądu jest wielkością wektową i wyraża się zależnością: i^=q*N_1*u^ (1), gdzie N_1-gęstość nośników prądu, u^- prędkość nośników ładunku elektrycznego. Przyczną ukierunkowania ruchu z prędkością u^ ładuków elektryzcnych jest siła działająca na ładuki od zewnąętrznego pola elektrycznego E^. Czyli u^ jest prędkości ą dryfu i=q*n_1*Š_e*E (2). W przewodnikach metalicznych w ustalonych warunkach zewnętrznych stosunek przyłożonego napięcia do natężenia prądu jest stały w stały w całym zakresie natężeń prądów. Stosunek ten nazwano oporem elektrycznym. Jest on wpros proporcjonalny do ilorzu długości przewodnika przez powierzchnię jego przekroju. Współczynnik proporconalności jest stałą charakterystyczną dla danego materiału i nazywa sięs

się oporem właściwym. Odwrotność oporu właściwego to przewodność właściwa wyrażająca się zależnością H=q*N_1*Š_e (3). W metalu nośnikami prądu są elektrony, więc H=e^2*N_1*T/m (4), gdzie T-czas relaksacji.

Prawo Wiedemanna-Franza-Lorentza ŕ/HT=3* (k^2)/(e^2)=C_WFL (5) określa stosunek przewodności cieplnej i elektrycznej metalu (k- stała Boltzmana, C_WFL-stała Wiedemanna-Franza-Loreztza). Klasycza teoria nie może za pomocą wzoru (4) wyjaśnić co jest przyczyną, że opór właściwy rośnie liniowo z temperaturą i dlaczego gaz elektronowy nie wnosia układu do ciepła molowego metalu. Właściwej odpowiedzi udziela teoria kwantowa.

Model pasmowy elektronów przewodnictwa.

Model pasmowy ciał stałych wyjaśnia kwestią przewodzenia lub nieprzewodzenia prądu elektryczego. 1) Przerwa energetyczna między górną krawędzią pasma walencyjnego i dolną krawędzią pasma przewodnictwa jest równa kilka lub więcej elektronowoltów. Jest to energia na tyle duża, że prawdopodobieństwo przeskokuu elektronu na wskutek wzbudzenia termiczego z pasma walencyjego do przewodnictwa jest zaniedbywalne. Jeżeli przy tym przyłożymy pole elektryczne to nie będą rozpędzane elektrony. Stan kwantowy jednoznacznie określa stan ruchu elektronu. Rozpędzanie elektronu to zmienianie jego ruchu, czyli zmienianie stanów kwantowych, a w paśmie walencyjnym wszystkie stany są zajęte. Czyli nawet po przyłożeniu pola elektrycznego prąd nie popłynie. Jest to zachowanie się izolatorów.

2)Przerwa energetyczna jest mniejsza lub równa 1eV. Istnieje szansa przeskoku elektronów na skutek wzbudzeń cieplnych z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa, czyli może płynąć prąd. Przewodność elektryczna matriału jest wprost proporconalna do gęstości naśników prądu. W naszym przypadku gęstośc elektronów w paśmie przewodnictwa jest wprost proporconalna do prawdopodobieństwa przeskoku elektronu, czyli prawdopodobieństwa, że energia cieplna elektronu jest równa deltaE. W takich materiałach przewodnictwo elektryczne rośnie wraz ze wzrostem temperatury - półprzwodniki.

3)Trzecia grupa to przewodniki prądu elektrycznego- metale. Pasma: walencyjne i przewodnictwa nachodzą na siebie, tworząc jedno pasmo przewodnictwa. Wszystkie elektrony biorą udział w przewodzeniu prądu. Przewodność elktryczna tych materiałó nieznacznie maleje ze wzrostem temperatury.

Napięcie kontaktowe

W przypadku kontaktu elektrycznego dwu różnych metali cały układ z punktu widzenia elektronów przewodnictwa

jest jednym układem kwantowym, w szczególności przez powierzchnię kontaktu przemieszczają się elektrony w obie strony. Z metalu w kttórym gęstość elektronów jest większa, więcej elktronów może się przemieszczać do drugiego metalu z dwóch powodów: jest ich więcej, oraz średnie prędkości są też większe, bo większa jest wartość poziomu Fermiego. Nierównowaga ładunku jest przyczyną wytwarzania się pola elektryczengo, które przeciwdziała temu ruchowi. Przy samej powierzchni kontaktu występuje dynamiczny rozdział ładunków elektrycznych polegający na tym, że średnio przy powierzchni kontaktu po stronie metalu o większej wartości F jest za mało elektronów w stosunku do równowagi elektrycznej, a po drugiej stronie powierzchni kontaktu jest odwrotnie. Powstaje więc podwójna warstwa ładunku wytwarzająca różnicę potencjałów między obu metalami. Energia potencjalna elektronów w jednym metalu jest większa aniżeli w drugim. Różnica ta jest taka aby wyrównały się pozimy energi Fermiego. Między powierzchniami swobodnymi kontaktujących się metali powstaje napięcie U_v zwane zewnętrzym napięciem kontaktowym lub napięciem Volty. Napięcie to trzeba uwzględnić przy określaniu napięć między elektronami różnego rodzaju lamp elektronicznych, sond itd. Elektrony wewnątrz metali poddawane są innej różnicy potencjałów, a mianowicie tzw. wewnętrznemu napięciu kontaktowemu U_g zwanemu napięciem Galwaniego. Napięcie Volty i Galwaniego między dwoma różnymi matalami są równe: U_v=(w_1-w_2)/e, U_g=(F_2-F_1)/e. Napięcia te zależą od temperatury. Jeżeli dwa metale tworzą obwód zamknięty, a miejsca kontaktów znajdują się w różnych temperaturach T_1 i T_2 to powstaje napięcie wewnętrzne w obwodzie zwane siłą termoelektryczną. Etn=Ug*(T_1)-Ug*(T_2). Pod wpływem tej siły płynie w obwodzie prąd.

TOMASZ P. 24 LINIOWA TEORIA CIAŁ STAŁYCH

LINIOWA TEORIA CIAŁ STAŁYCH

1). Rozwiązanie kwantowe dla cząstki w polu periodycznym. Zachowanie elektronów w krysztale może opisać model cząstki w studni potencjału, ale dno studni potencjału zmienia się periodycznie w odstępach stałej sieci a. Energia potencjalna zmienia się a więc funkcja falowa elektronu i sam elektron częściowo odbija się na każdym uskoku. Fale odbite interferują gdy gdy długość fali elektronu odpowiada okresowi zaburzenia, czyli stałej sieci a, to interferujące fale maksymalnie się wzmacniają i w efekcie funkcja własna i sam elektron odbijają się tzn. elektron z takim pędem nie może się przemieszczać, a fala, która go opisuje jest falą stojącą.Jest to odbicie Bragga. Dzieje się tak gdy wartość wektora falowego funkcji własnej jest równa k=2*Pi/L i kolejnym wielokrotnościom. W każdym przypadku ogólna postać funkcji własnej elektronu w jednym wymiarze ma postać tzw. funkcji Blocha: H=Uk(x)*exp(i*k*x), gdzie Uk(x)- okresowa funkcja x z okresem s i zależnym od k. Funkcja nie opisuje elektronu w pełni swobodnego, bo w takim przypadku amplituda Uk powinna być stała w funkcji położenia.Rozwiązaniem jest struktura pasmowa widma energii. dE=Ec-Ev - pasmo energi wzbronionych, występuje przy kolejnych wielokrotnościach wartości Pi/s wektora falowego. RYSUNEK nr1

Jeżeli dolne pasmo jest pasmem walencyjnym to Ev energią górnej krawędzi tego pasma, a Ec energią dna pasma przewodnictwa, wtedy dE jest przerwą energetyczną między tymi pasmami. Dla cząstki swobodnej E jest jej energią kinetyczną. Natomiast w przypadku periodycznie zmieniającego się potencjału, E jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej (udział w tej sumie każdego rodzaju energii różny dla różnych pędów). Prędkość poruszania się elektronów w dowolnym paśmie wynosi v=dE/dp, przyspieszenie a=dv/dt=d2E/dp2*dp/dt , przekształcając a= e*E/mef , gdzie mef - masa efektywna elektronu.

PASMA ENERGII

W pasmowej teorii ciał stałych dozwolone i niedozwolone wartości energii tworzą przedziały energii zwane pasmami. Z punktu widzenia elektrycznych właściwości kryształu podstawowe znaczenie mają pasma: podstawowe(walencyjne), przewodnictwa, wzbronione(przerwa energetyczna). Pasmo podstawowe jest to najwyżej położone w strukturze kryształu pasmo, całkowicie lub częściowo zapełnione przez elektrony walencyjne. Pasmo przewodnictwa jest najniżej położonym pasmem, całkowicie lub prawie całkowicie pustym o wyższym poziomie energetycznym niż podstawowe. Jest odpowiednikiem stanu wzbudzonego w atomie. W idealnym krysztale półprzewodnikowym obydwa pasma rozdziela przerwa energetyczna, stanowiąca stany wzbronione dla elektronów. W realnych kryształach istnieją w niej lokalne stany dozwolone, zwiazane z obecnością domieszek. W przewodnikach pasmo walencyjne bywa wypełnione elektronami w połowie (metale alkaiczne) lub zachodzi na pasmo przewodnictwa , dzięki czemu pole zewnętrzne może przenieść elektron na sąsiednie, nie obsadzone stany energetyczne. Połprzewodniki samoistne mają w temperaturze 0 K pasmo walencyjne całkowicie wypełnione, pasmo przewodnictwa jest zaś puste. Szerokość pasma wzbronionego wynosi od 2*10^(-3) do 3 eV. Dostarczenie odpowiedniej ilości energi powoduje przejście elektronu z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa. Wolne miejsca powstające w paśmie walencyjnym(dziury) mogą zająć (pod wpływem zewnętrznego pola) inne elektrony tego pasma. W dielektrykach szerokość pasma wzbronionego wynosi od 3 do 10 eV, co uniemożliwia przepływ prądu elektrycznego.

MASA EFEKTYWNA

Masa efektywna elektronu wynosi: mef=(d2E/dp2)^(-1)=h^2*(d2E/dk2)^(-1) Zależność energii od wektora k dla elektronu w krysztale jest odmienna od elektronu swobodnego, dlatego też elektron w krysztale zachowuje się tak jakby miał inną masę. Różnicę między masą elektronu i masą efekt. można zauważyć już w przypadku elektronów przewodnictwa w metalach. [RYSUNEK nr2]

Masa efektywna elektronów w stanach powyżej A jest ujemna. Można to wytłumaczyć tym że, jeśli elektron ze stanu w punkcie G zostanie rozpędzony, poprzez zwiększenie jego pędu, do stanu H to przyrost efektu odbicia jest wiekszy od przyrostu prędkości, dlatego w stosunku do stanu G elektron w stanie H porusza się wolniej. Wtedy elektron zachowuje się jako cząstka z ładunkiem dodatnim. Efektem końcowym jest to że elektrony z górnej częsci pasma walencyjnego (jeśli mają swobodę ruchu) zachowują się jak cząstki dodatnie.

DZIURY

[RYSUNEK nr3] Przy tym samym kierunku prądów znak napięcia zależny jest od tego czy prąd transportują dziury czy elektrony.Gęstość prądu wynosi: [RYSUNEK] Dziura jest kolektywnym efektem elektronów w krysztale. Puste bąbelki pędów w przestrzeni to dziury. Dziura jest jednym z podstawowych pojęć z teorii ciała stałego. Jest to nieobsadzony stan kwantowy elektronu który powstaje w wyniku przejścia elektronu z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa. Dziury w paśmie walencyjnym, podobnie jak elektrony w paśmie przewodnictwa biorą udział w przewodzeniu prądu elektrycznego z tą różnicą że zachowują się jak cząstki o ładunku elementarnym dodatnim.

PÓŁPRZEWODNIKI

Struktura krystalograficzna i własności elektryczne Ge i Si. Krzem i german to podstawowe materiały półprzewodnikowe(IV grupa okresowa). Ich typowymi własnościami są: a).Energia jonizacjidomieszki donorowej, wartości tej energii są porównywalne lub mniejsze od energii cieplnej kT, wynika z tego że praktycznie wszystkie atomy domieszki donorowej są zjonizowane. b).Energia wychwytu domieszki akceptorowej - energia ta także jest porównywalna lub mniejsza od energii cieplnej, dla której elektrony z pasma walencyjnego są przechwytywane na poziom Ea. c).Przewodność elektryczna. d).Czas życia - ważny parametr charakteryzujący nośniki mniejszościowe. Typowe czasy życia elektronów i dziur w Ge i Si zawierają się w granicach od 50 do 1000 (mikrosekund)

PÓŁPRZEWODNIKI DOMIESZKOWE

Półprzewodniki stosowane w praktyce to półprzewodniki domieszkowe. Nas interesują domieski donorowe ( z V grupy okr.) i akceptorowe (z III gr. okr.). Jeżeli atom z domieszki donorowej znajdzie się w sieci kryształu półprzewodnika to piąty walencyjny elektron atomu domieszki z uwagi na strukturę kryształu i poczwórne wiązania między atomami jest w pewnym sensie zbędny. Jego energia wiązania z atomem staje się bardzo mała tzn. atom ten może być łatwo zjonizowany, a uwolniony elektron przechodzi do pasma przewodnictwa. [RYSUNEK nr5] Praktycznie wszystkie atomy domieszki donorowej są zjonizowane. Jeżeli więc gęstość domieszki donorowej wynosi Nd to taka sama jest gęstość elektronów przewodnictwa Nd>> Odwrotnie jest z domieszką akceptorową ponieważ atomom domieski brak jednego elektronu do uzyskania symetrii wiązań. RYSUNEK nr6 Elektrony z pasma walencyjnego są przechwytywane na poziom Ea. Jeżli gęstość domieszki akceptorowej wynosi Na to gęstość dziur p jest prawie równa Na, gdy Na>>ni Półprzewodnik domieszkowany donorami nazywamy półprzewodnikiem typu "n", natomiast akceptorami- typu "p".W typowych przypadkach, gdy Na i Nd są dużo większe od gęstości nośników prądu samoistnych ni poziom Fermiego Fn w materiale typu 'n' znajduje się między poziomami energii Ed i Ec a w materiale typu 'p' Fn jest między Ea i Ev. Obecność elektronów w paśmie przewodnictwa i dziur w paśmie walencyjnym jest stanem równowagi dynamicznej. Elektrony i dziury są stale generowane cieplnie, a równocześnie elektrony z pasma przewodnictwa wracają do wolnych miejsc w paśmie walencyjnym, co nazywamy rekombinacją elektronów i dziur. Szybkość rekombinacji jest wprost proporcjonalna do iloczynu n*p, g=r*n*p, gdzie r-wsp. proporcjonalności. Iloczyn n*p jest wielkością stałą dla damego mategriału.Można napisać : n*p=ni^2 ; więc dla materiału n :nn=Nd i pn=ni^2/Nd , a dla materiału 'p':pp=Na i np=ni^2/Na. Domiszkowanie ma istoptny wpływ na przewodność elektryczną równą: B(beta)=e*(n*ue+p*ud) Gdy gęstość nośników jednego rodzaju maleje to drugiego rośnie. W efekcie przewodność tyle samo razy rośnie. W prypadku gdy ilość donorów i akceptorów jest równa otrzymujemy przewodność samoistną, wówczas półprzewodnik nazywamy skompensowanym. Jeżeli zostaną wytworzone dodatkowe dziury w ilości dp(delta p); elektrony dn to rekombinacja jest wzmożona, a genercja pozostaje stała. Wówczas występuje zanik nadmiarowych ilości dn i dp Parametrem charakteryzującym nośniki mniejszościowe jest ich średni czas życi wyrażający się wzorami;dla n: tp(tau p)=1/(r*np) dla p: tp=1/(r*pp) Typowe czasy życia elektronów i dziur w Ge i Si wynoszą od 50 do 1000 mikrosekund Drugim ważnym parametrem określającym nośniki mniejszościowe jest drogadyfuzji nośnika mniejszościowego ktorego droga określona jest wzorem : Lp=sqrt(Dp*tp) ; Ln=sqrt(Dn*tn)

KONTAKT p-n

Jeżeli doprowadzimy do kontaktu elektrycznego półprzewodników typu p i n, mamy do czynienia ze złączem p-n.Na granicy tych dwóch półprzewodników powstaje wewnętrzne napięcie kontaktowe.Na skutek ruchu cieplnego w pobliżu kontaktu, elektrony z półprzewodnika typu n dyfundują do półprzewodnika p, i rekombinują z dziurami.I odwrotnie, dziury z typu p dyfundują i rekombinują z elektronami z n.Dlatego przy powierzchni kontaktu po obu stronach obszar w którym nie ma nośników prądu, aby więc prąd płynął, nośniki muszą być doprowadzone z materiału n i p. W warstwie kontaktu po stronie n jest skompensowany ładunek dodatnich jonów donorowych obniżający energię elektronów w n, a po stronie p nieskompensowany ładunek jonów ujemnych akceptorów podwyższający energię elektronów w p lub inaczej mówiąc obniżający energię dziur w p.Każda z dziur która z materiału n dotrze w pobliże złącza jest zdecydowanie przez silne pole elektryczne przemieszczana do materuału p, złącze może więc przewodzić prąd. Elektrony z materiału n są odpychane od warstwy z powrotem do n. Natomiast z materiału p każdy elektron który dotrze do złącza jest jest przemieszczany do materiału n.RYSUNEK nr7 Dziury które są generowane w n na głębokości do Lp od brzegu warstwy kontaktowej docierają do niej i przechodzą przez nią.Podobnie ma się rzecz z elektronami w materiale p.Mamy więc do czynienia z pewnym prądem skierowanym z n do p nazywanym prądem dryfu którego gęstość wynosi Io=e*(Gp*Lp+Gn*Ln)=e*(Dp*pn/Lp + Dn*np/Ln).Prąd dryfu jest równoważony przeciwnie skierowanym prądem dyfuzji równoważącym różnicę gęstości dziur i elektronów po obu stronach złącza. Gdy przyłożymy napięcie tak że dodaje się do napięcia złącza to prąd dyfuzji maleje a dryfu pozostaje bez zmian.Wzrost napięcia powoduje praktycznie zanik prądu dyfuzji i przez złącze płynie mały prąd dryfu Io. Jest to zaporowo spolaryzowane złącze. Odwrotnie przyłożone napięcie zewnętrzne ułatwia przepływ prądu dyfuzyjnego.Ponieważ Nn pozostaje bez zmian, rośnie gęstość mniejszościowych elektronów w p przy samej teriału n. Podobnie jest z dziurami w n. Jest to stan spolaryzowania złącza w kierunku przewodzenia. Złącze jest wówczas diodą półprzewodnikową której charakterystykę napięciowo-prądową opisuje wzór: I=Io*(exp(e*V/(k*t))-1) przy czym V>0 gdy polaryzacja w kierunku przewodzenia.

FERGUŚ 25 JĄDRO ATOMOWE

JĄDRO ATOMOWE

BUDOWA JĄDRA

Jak wiemy jądro atomowe składa się z nukleonów, a więc protonów i neutronów. Protony traktujemy jako elementarne ładunki dodatnie, zaś elektrony są elektrycznie obojętne. Jądra atomowe mają kształt kulisty, bądź elipsoidalny. Traktując z pewnym przybliżeniem możemy przyjąć kulisty kształt jądra i wówczas promień jądra możemy wyrazić R=r0*A^(1/3);r0-promień nukleonu,A-liczba masowa. Gęstość masy jąder możemy z grubsza oszacować, przyjmując, że masa jądra jest równa M*A;M-masa nukleonu. Jest to gęstość niewyobrażalnie wielka. Własności materii w stanie o tak dużej gęstości są zupełnie inne od znanych. Proton i neutron są cząstkami o spinie równym 1/2. Mają też własne momenty magnetyczne p i n . Ich wartości są wyrażane za pomocą magnetonu jądrowego, który wynosi j=e*h/(2*M) (h-przekreślone h). Okazuje się, że spiny jąder są określone, ale nie są dużymi liczbami, co oznacza, że spiny nukleonów nawzajem kompensują się. Ważną informacją o jądrach są ich masy. Masy izotopów są mniejsze od sumy mas składników. Więc energia wiązania układu uwidacznia się w postaci defektu masy. Ten defekt jest wyraźnie mierzalny w przypadku jąder, bo energia wiązania Ew jest ogromna Ew=(Z*Mh+(A-Z)*Mn-Mj)*c^2; Mh-masa wodoru,Mj-masa danego izotopu.

MODEL KROPLOWY I POWŁOKOWY

W kropli cieczy z uwagi na bliski zasięg sił Van der Waalsa przyciągania między molekułami gęstość kropli jest stała-niezależna od rozmiarów kropli oraz energia wiązania przypadająca na jedną molekułę jest też stała. Te cechy występują w jądrze. W oparciu o model kroplowy jądra, uwzględniający dodatkowe specyficzne własności jądra sformułowano zależność Ew/A od A. Najpierw przyjmujemy, że Ew/A jest równa stałej a1. Następnie będziemy wprowadzać poprawki. Najpierw odejmujemy energię napięcia powierzchniowego a2*A^(-1/3), później odejmujemy energię odpychania elektrycznego protonów (a3*z^2)/A^(4/3). Kolejna poprawka polega na tym, że energia wiązania jest największa, gdy liczba protonów jest równa liczbie neutronów, w przeciwnym wypadku energia jest mniejsza. Więc musimy odjąć a4*((N-Z)/A)^2. Ostatnia poprawka uwzględnia prawidłowość, która przedstawia liczby stabilnych jąder w zależności od parzystych i nieparzystych wartości Z i N. Poprawka ma formę a5*/A ,gdzie =+1 gdy nieparzyste,nieparzyste =0 gdzy nieprzyste,parzyste =-1 gdzy parzyste, parzyste. Wartości stałych a1..a5 dobrano tak, aby wzór najlepiej opisywał zależność empiryczną, a więc ostatecznie Ew/A [Mev]=14-13*1A^(-1/3)-0.6(Z^2)/A^(4/3)-19((N-Z)/A)^2-130/A .Można zauważyć maksima tej zależności dla wartości Z i N równych 2,8,20,28,50,82,126 są to tzw liczby magiczne. Zależność energii potencjalnej nukleonów w zależności od odległości od środka jądra można przedstawić następująco <<RYSUNEK>>Widać, że objętość jądra jest dołem energii potencjalnej dla nukleonów. Na zewnątrz protony są odpychane, neutrony nie. Wysokość Uc(R) rośnie ze wzrostem jądra. Wewnątzr jądra nukleony mogą przebywać w stanach kwantowych z określonymi skwantowanymi wartościami energii kinetycznej. Neutrony i protony w stanie podstawowym jądra zajmą wszystkie możliwe najniższe stany energetyczne aż do poziomu energii Fermiego Ef, której wartość można wyrazić Ef=(h^2)/(2*M)*((3/8)*N1/)^(2/3) gdzie M-masa neutronu lub protonu,N1-gęstość nukleonów N1=Z/((4/3)*P*r0^3*A) dla protonów oraz w miejsce Z jest N dla neutronów. Nukleony mogą znaleźć się w stanach o energii kinetycznej większej od Ef mówimy wówczas o wzbudzeniu energetycznym jądra.

Drugim modelem jądra atomowego jest model powłokowy. Istnienie liczb magicznych, tj. liczb protonów i neutronów, którym odpowiada wyjątkowo duża energia wiązania oraz kształt kulisty przywodzą na myśl analogię z atomami gazów szlachetnych w których występują zamknięte powłoki elektronowe. Promieniowanie gamma jąder ma widmo liniowe, charakterystyczne dla danego rodzaju jąder. Dowodzi to istnienia dyskretnych stanów wzbudzonych jąder. A więc protony i neutrony w jądrze są w jądrze w stanach kwantowych analogicznie jak elektrony w atomie. Model powłokowy ruchu protonów i neutronów nie jest sprzeczny z modelem kroplowym. Już w studni dwuwymiarowej dwa ruchy drgające cząsteczki w kierynkach prostopadłych do siebie mogą się złożyć na ruch po okręgu lub ogólniej po elipsie, a więc ma się do czynienia z momentem pędu itd..

ROZPADY PROMIENIOTWÓRCZE

W przyrodzie występują jądra nietrwałe. Nazywamy je promieniotwórczymi jako, że rozpadowi towarzyszy emisja cząstek i ewentualnie promieni gamma. Iloczyn *t gdzie -stała szybkość rozpadu, jest prawdopodobieństwem rozpadu w czasie dt pod warunkiem, że *t<=1. Zależność N=N0*exp(-*t) określa ilość pozostających radioaktywnych atomów po czasie t. Czas, w którym rozpada się połowa atomów nazywamy półokresem rozpadu i określamy jako T1/2=ln(2/). Wielkością charakteryzującą materiał jest tzw. radioaktywność, czyli szybkość rozpadów N/t gdzie N-liczba rozpadów w czasie dt, jest ona równa N/t=*N. Jednostką radioaktywności jest 1Bq (bekerel). Rozpad promieniotwórczy jądra jest zdarzeniem losowym. Prawdopodobieństwo n rozpadów w czasie t jest określone rozkładem Bernoulliego P(n,t)=(N0 nad n)*p^n*(-p)^(N0-n) gdzie p=exp(-*t). Jeżeli *t<=1 a tak jest bardzo często. to rozkład upraszcza się do rozkładu Poissona P(n,t)=(not(n)^n*exp(-not(n)))/n! (not(n)-n z kreską nad sobą) gdzie not(n)=No**t jest średnią liczbą rozpadów w czasie t. Kwadrat średniego odchylenia standardowego rozpadów wynosi ^2=not(n). Jeżeli not(n)>=30 rozkład prawdopodobieństwa Poissona można zastąpić rozkładem Gaussa. Rozkład promieniotwórczy jądra jest wyrazem naturalnej tendencji osiągania przez jądra minimalnej energii potencjalnej tj. największej energii wiązania. Są dwa sposoby rozpadu alfa i beta. W rozpadzie alfa z jądra emitowana jest cząstka składająca się z dwu protonów i dwu neutronów 4 2 He (hel u góry cztery na dole dwa). Energia kinetyczna cząstki jest równa ułamkowi Mk/Mp całkowitej energii wyzwolonej w rozpadzie (Mk-max.końcowa,Mp-początkowa). Cząstka alfa w obszarze jądra jest pod działaniem sił przyciągania, czyli jest w obszarze dołu energii potencjalnej, natomiast całkowita energia cząstki Ealfa set dodatnia. Przyjmujemy, że cząstka jest zamknięta w pudle o wymiarach 2*R i porusza się z prędkością v0 tak, że odbija się od brzegów jądra, to przy każdym dojściu do brzegu jądra z prawdopodobieństwem równym przezroczystości bariery T=exp{(-2/h)*całka od R0 do Rx z (sqr(2*mj*[U(r)-E]) dr)} (h-przekreślone h) cząstka alfa może wydostać się z jądra. Ponieważ próby takie powtarzają się w odtępach czasu 2*R0/v0, więc całkowite prawdopodobieństwo ucieczki cząstki alfa z jądra w odstępie czasu dt jest T*v0*t/(2*R0), a z definicji jest równa *t, więc =T*v0/(2*R0)+(8/h)*sqr(exp(2)*mj*(Z-2)*R)-(2**exp(2)/h)*sqr(2*mj/Ealfa)*(Z-2) (h-przekreślone h). W pierwszym wyrazie po prawej stronie wielkość v0/(2*R0) mało się zmienia dla różnych jąder i możemy przyjąć jej wartość stałą=10^21 [1/s]. Drugi wyraz z uwagi na (Z-2) jest również mało zmienny i jego wartość przyjmujemy 75. Podobnie w trzecim wyrazie zmienność (Z-2) można pominąć. Wyraz ten możemy zapisać 340/(E/Mev)^(1/2). Ostatecznie log(T1/2 s^(-1))=148/sqr(Ealfa/Mev)=53,6 (T1/2-T jedna druga).Jest to związek między półokresem a energią cząstki alfa. Rozpad beta. Ten sposób rozpadu jądra jest bardziej złożony. Polega na przemianie jądrowej jednego z nukleonów w jądrze, w tzw. oddziaływaniu słabym jądrowym. Rozpad ten jest możliwy na trzy sposoby: beta-, beta+, wychwyt K. W pierwszym z nich jeden z neutronów n rozpada się na proton p, elektron beta- i antuneutrino elektronowe e (e-wektor ). Można to wyrazić równaniem n-> p + beta- + e. Cząstki beta- i antyneutrino wylatują z jądra. Masa spoczynkowa neutrina jest=0, porusza się ono z prędkością światła, nie ma ładunku elektrycznego. Oddziaływanie neutrina z innymi cząstkami, lub ogólnie z materią jest bardzo słabe. Dlatego cząstka ta jest niezwykle przenikliwa i bardzo trudno ją zarejestrować. Oprócz neutrin elektronowych istnieją jeszcze neutrina mezonowe. W rozpadzie beta- różnica energii atomu początkowego M(Z,N)*c^2 i końcowego M(Z+1,N-1)*c^2 jest rozdysponowana na energię kinetyczną elektronu beta- i energię neutrina. Łączna wartość tych energii jest energią rozpadu Ebeta. Atom końcowy ma o jeden elektron więcej niż atom początkowy, dlatego energia spoczynkowa powstałego elektronu beta- jest uwzględniona w bilansie energii. Dlatego energetyczny warunek rozpadu beta- jest następujący c^2*(M(Z,N)-M(Z+1,N-1))=Ebeta. W rozpadzie beta+ proton rozpada się na neutron, pozyton i neutrino elektronowe p-> n + beta+ + e. Warunek energetycznu w rozpadzie beta+ (są dodatkowo dwa elektrony, not(e) z atomu i beta+ z jądra) (not(e)-e z kreską nad sobą) c^2*(M(Z,N)-M(Z-1,N+1))=2*m*c^2 + Ebeta. Jeżeli różnica mas jądra początkowego i końcowego nie jest większa od dwu mas elektronu to rozpad jest niemożliwy.

Trzeci z rozpadów, wychwyt K jest procesem konkurencyjnym w stosunku do beta+. Polega on na tym, że jeden z elektronów powłoki K w atomie (rzadziej z powłoki L) jest wychwytywany przez proton w jądrze i przebiega reakcja e- + p ->n + ve. Ostatecznie z jądra wylatyje tylko neutrino. W wychwycie K (również beta+) nowe jądro ma liczbę atomową o jeden mniejszą od jądra wyjściowego. Jeżeli różnica mas jądra początkowego i końcowego nie jest większa od dwu mas elektronu, możliwy jest tylko wychwyt K, bo w tym rozpadzie c^2*(M(Z,N)-M(Z-a,N+1))=Ek. Ponieważ w rozpadach beta- i beta+ jądro początkowe rozpada się na trzy fragmenty-jądro końcowe, cząstkę beta i neutrino, ze względu na zbilansowanie energii kinetycznych i pędów rozbiegających się cząstek widmo energii cząstki beta jest ciągłe od zera do Ebeta. W wychwycie K emitowane jest tylko neutrino bardzo trudno rejestrowalne, na szczęście występuje wtórny efekt. Po wychwycie elektronu z powłoki K lub L następuje przeskok na zwolnione miejsce elektronu z wyższej powłoki i emitowany jest kwant promieniowania rentgenowskiego charakterystycznego.

REAKCJE JĄDROWE

Pierwszą reakcją było naświetlenie cząstkami alfa azotu zamkniętego w ampułce, gdzie stweirdzono obecność tlenu. Reakcja przebiegała następująco alfa+ 14 7 N ->p + 17 8 O (N-azot u góry czternaście na dole siedem;O-tlen). Długość cząstki, która biegnie w kierunku jądra (proton, neutron lub inna) i której masa nie przekracza kilka jednostek, a energia jest mniejsza od 20MeV, jest większa od rozmiarów jądra. Zgodnie z zasadą Hesenberga cząstka taka jest rozmyta w obszarze większym od rozmiarów jądra. Gdy znajdzie się w obszarze jądra to nie można wydzielić oddziaływania tej cząstki z pojedynczym nukleonem. Cząstka taka wpadając do jądra powoduje powstanie nowego złożonego jądra, które jest w stanie silnego wzbudzenia energetycznego. Energia wzbudzenia jest równa sumie energii wlatującej cząstki i energii potencjalnej przyciągania tej cząstki ze wszystkimi nukleonami w jądrze. Jądro uspokaja się przez wyparowanie jednej lub więcej molekuł, z jądra złóżonego emitowany jest jeden lub więcej nukleonów lub większy fragment, przy czym jest kilka sposobów rozpadu jądra złożonego. Przykładaowo n + 14 N -> alfa + 7 Be. W przypadku cząstki naładowanej, gdy jej energia nie przekracza kilkanaście MeV, jej wniknięcie do jądra może nastąpić tylko w efekcie tunelowym. W przypadku neutronów rzecz ma się odmiennie. Neutron, jeśli trafia geometrycznie w jądro, to ma dużą szansę reagować z nim. Rekatory jądrowe są najbardziej dostępnym źródłem strumieni neutronów. Dlatego jądra każdego pierwiastka, który znajdzie się w objętości czynnej reaktora podlegają reakcjom. Ich wynikiem są sztuczne radioiotopy. Przykłady: 1) n + 59 Co -> 60 Co + gamma półokres 5.3 lat, promieniowaniem użytecznym jest promieniowanie gamma 2) n + 54 Fe -> 55 Fe + gamma półokres 2.7 lat, promieniowaniem użytecznym jest promieniowanie rentgenowskie charakterystyczne linii K molibdenu.

Jeszcze jedną szczególną reakcją jest pochłonięcie neutronu przez jądra cięzkie, a w szczególności 235 U. Jądro ulega rozszczepieniu na fragmenty odpowiadające jądrom ze środowiska tablicy pierwiastków i towarzyszy temu emisja neutronów, które powielają tę reakcję w sposób lawinowy. W reakcji tej wyzwala się znaczna energia. Reakcja rozszczepienia jądrowego jest ogromnie wydajna energetycznie. Reakcję tę wykorzystuje się w reaktorach i bombach atomowych. Należy także wspomnieć o łańcuchu reakcji nazywanych termojądrowymi, w których upatruje się perspektywicznie źródło energi naszej cywilizacji. Materiałem wejściowym jest deuter (izotop wodoru) 2 1 D + 2 1 D ->3 1 H + p +4MeV, 2 1 D + 2 1 D ->3 2 He + n +3.2MeV, 2 1 D + 3 1 H -> 4 2 He + n +17.6MeV, 2 1 D + 3 2 He -> 4 2 He + p +18.3MeV. (hel u góry cztery na dole dwa itd.)Jest to więc jakby spalanie deuteru na hel. Łącznie z trzech jąder deuteru otrzymuje się około 22MeV. Ponieważ cząstki inicjujące reakcję są naładowane, muszą mieć odpowiednie energie przy zderzeniach w celu pokonania bariery energii potencjalnej. Wystarczy energia ruchu cieplnego w temperaturze 10^7[K]. Gdy energia cząstki bombardującej jądro jest większa od 800MeV wtedy wobec nalatującej cząstki nukleony jądra są praktycznie swobodne i cząstka nalatująca oddziałuje bezpośrednio z wybranymi nukleonami. Jest to oddziaływanie bezpośrednie. Jego wynikiem mogą być nowe cząstki takie jak: mezony, nukleony, hiperony.

JAROSŁAW P. 27 ENERGETYKA JĄDROWA I RADIOIZOTOPY

ENERGETYKA JĄDROWA

a) reakcje rozszczepienia 1934 Enrico Ferni używa neutronów jako pocisków i bombarduje nimi jądro uranu 235 w rezultacie tego powstają bardzo aktywne źródła promieniotwórcze( Strassman i Hall stwierdzają "Produktami reakcji są jądra o liczbie atomowej ok 50 ") wniosek - jądro uranu pochłonęło neutron a następnie rozpadło się na dwie częsci a temu towarzyszy emisja neutronów. Wykryto również silne promieniowanie . Energia jest przenoszona przez to promieniowanie, fragmenty rozszczepienia i neutrony. Reakcę rozszczepienia można też uzyskać bombardując uran powolnymi elektronami (~1eV). Są one przechwytywane przez jądro jeśli znajdują się w jego pobliżu dostatecznie długo. Fragmenty rozszczepienia nie są jednoznacznie określone, wystąpić mogą następujące kombinacje:

235/92U + 1/0 n = 236/92U + 144/56Ba + 89/36Kr + 3n + energia

235/92U + 1/0 n = 236/92U + 140/54Xe + 94/38Sr + 2n + energia

235/92U + 1/0 n = 236/92U + 85/35Br+ 148/57La + 3n + energia

Fragmenty rozszczepienia nie są jądrami stabilnymi, mają za dużo neutronów jak na jądra o średnich rozmiarach. Pozbywają się tego namiaru wyrzucając neutrony w czasie 10^(-10) s neutrony .....................średnia ich liczba wynosi 2,5 następnie ulegają 2 do 4 przemianom każda taka przemiana wiąże się z zamianą wjądrze jednego neutronu w proton , zdarzają się również emisje neutronów opóźnionych po ok 10 s. Podczas reakcji rozszczepienia każdego jądra uranu uwalnia się ok 210 MeV energii unoszonej przez produkty rozszczepienia 92U w tym neutrony których natychmiastowa energia kinetyczna wynosi od 1 do 3 MeV

b) Budowa reaktoktora (RYSUNEK)

1. Paliwo 2. moderator 3. sudstancja chłodząca 5. reflaktor 6. osłona betonowa 7. kanały do naświetlania 8. rejestracja neutronów.

Zasadniczą Częścią reaktora jest rdzen w którym znajduje się paliwo jądrowe zawierające 3% uranu 238, 0.7% uranu 235 Uran 238 ulega rozszczepieniu pod wpływem neutronów szybkich o energii > 1.8 MeV . Wychwyt szybkich neutronów jest mało prawdopodobny dlatego stosuje się paliwo wzbogacane tzn. jest w nim ok 3% uranu 235 ponieważ jądro uranu 235 ulega rozszczepieniu pod wpływem neutronów tzw...................(o energii kilku eV) emituje w czasie rozszczepienia , neutrony muszą być spowolnione w tzw moderatorze (zawiera zwykle ciężką wodę lub grafit. W wyniku sprężystych zderzeń z cząstkami węgla czy deuteru neutrony muszą ulec spowolnieniu nieczytelne

c) porównanie z energią węglową

1g dowolnej substancji odpowiada energii mc^2= 9*10^13 J czyli w reakcji rozszczepienia 1 g uranu wydzieli się 9*10^12 J jst to 3mln razy więcej niż energia 2.9*10^4 J wydzielana podczas spalania 1g węgla. Z drugiej strony uran jest droższy od węgla po uwzględnieniu tego koszt paliwa dla wytworzenia 1J energii jest nadal 400 razy większy jeśli używamy węgla niż przy zastosowaniu paliwa uranowego. Z powodu dużych droższych instalacji stosunek ogólnych kosztów nie jest aż tak korzystny (np : 1974r USA 1kWh z elektrowni węglowej 1,7 centa, a jądrowej 1 cent)

d) odpady promieniotwórcze

Niezależnie od tego czy paliwo spala sie szybko w bombie, czy powoli w reaktorze powstałe substancje radioaktywne stanowią duży problem. Z każdego grama plutonu czy uranu powstaje 1g promieniotwórczych produktów rozpadu. Daje to w sumie dużą dawkę promieniotwórczości. Większa część kosztów budowy elektrowni atomowych to skomplikowany system zabezpieczeń otoczenia przy ewentualnej awarii. Istotnym problemem jest też długoterminowe przechowywanie promienitwórczych produktów rozszczepienia (odpadów jądrowych

to była str 27

Radioizotopy

a) naturalne radioizotopy

Szacując się czas istnienia Ziemi na ok 4*10^9 lat, można sądzić że pzretrwały te z pierwiastków radioaktywnych których półokres rozpadu jest porównywalny z tą liczbą lub większy. Z pojedyńczych naturalnych izotopów na uwagę zasługują 3:

POTAS 40/19Krozpowszechniony w naturalnym potasie w ilości 0.011% w niecałe 89%............. - z energią rozpadu 1.32 MeV na wapń 40/20Ca w 11% przez wychwyt k z energii rozpadu 19....... do wzudzonego stanu. jadra ...............w 0.16 % prez wychwyty k z energią 1.479 keV do stanu podstawowego 40/18Ar wreszcie 10^(-3)% przez ...3t z energią 456 keV też do podstawowego stanu argonu. Wzbudzone jądro argonu emituje kwant promieniowania gamma o energii 1.46 MeV i przechodzi do stanu podstawowego. Półokres rozpadu potasu 40 to 1.3 *10^9 lat. Ze względu ja jego dużą zawartość w litosferze ma on znaczący wpływ na jej naturalną radioaktywność. Rozpad ten jest źródłem dużej ilości argonu 40 w atm. Ziemi.

RUBID 87/37Rb o rozpadzie - z energią rozpadu 275 keV i półokresem 5.8*10^10 pzrechodzi w 37/38Sr Pomiary ilościowe rubidu i strądu służą do określania wieku skał - metoda geochronologii

OŁÓW 204/ Pb okres półrozpadu 1.7*10^17 jądrem końcowym jest 200/ Hg Większość naturalnych izotopów zgrupowano w tzw szeregi promieniotwórcze Szereg torowy naturalny 232/90Th jest radioaktywny z półokresem 1.39 *10^10 .Po rozpadzie od energii przejścia 1MeV przechodzi w Rad 228 ten izotop też jest radioaktywny itd występuje cały łańcuch rozpadów kończący się na ołowiu 208. Drugi ważny szereg to szereg uranowy w którym występuje rad, lantan 226 wykryty pierwszy raz przez Marię Curie-Skłodowską. Trzeci szereg to szereg aktyno-uranowy początek szeregom uranu, aktyno-uranu ............. naturalne izotopy uranu występujące w ................ 238/ U 99.28% i 235/ U 0.72% w wypisanych szeregach rozgałęzień jest wiele, ale zebrano je razem ze względu na małe ................ ........... Wielu rozpadom towarzyszy emisja promieniowania gamma ( np w szegeru uranowym)..........................................................................................................

238/ U -()-> 234/ Th -(-)-> 234/ Pa -(-)-> 234/ U -()-> 230/ Th -()-> 226/ Ra -()-> 222/ Rn -()-> 218/ Po --> 214/ Pb -(-)-> 214/ Bi --> 214/ Po -()-> ....../ Pb

235/ U -()-> 231/ Th -(-)-> 231/ Pa -()-> 227/ Ac -()-> 227/ Th -()-> 223/ Ra -()-> 219/ Rn -()-> 215/ Po --> 211/ Pb -(-)-> 211/ Bi -()-> 207/ Tl -(-)-> 207/ Pb

Inna grupa naturalnych izotopów to te które ciągle produkuje promieniowanie kosmiczne.Węgiel C 14 rozpad o energii rozpadu 0.156 MeV półokres rozpadu 730 lat. Radioaktywny węgiel wraz ze zwykłym węglem wchodzi w skład roślin i organizmów żywech , po zakończeniu wegetacji czy życia ilość węgla radioaktywnego maleje, na tej podstawie oparta jest chronologia metodą metodą węgla c-14 Tryt ...... powstaje w reakcjach n + 14/ N --> 3/ H + ...C rozpad - energia rozpadu 0.18 MeV półokres rozpadu 12.2 lata. Silne radioizotopy produkowane pzrez promieniowanie kosmiczne to 7/ Be, 10/ Be, 22/ Na, 32/ P. etc.

b) oddziaywaiie promieniowania jądrowego z materią Końcowem efektem pochłaniania promieniowania gamma w materii jest przedewszystkim jonizacja atomów, bo taki jest efekt zjawiska fotoelektrycznego, Comptona, hamowanie elektronów. W przypadku promieniowania i ostatecznem i dominującym efektem jest też jonizacja atomów . Występuje też fluorescencja rentgenowska, a dla wysokoenergetycznych cząstek również reakcje jądrowe. Szybkość strat energii na ....... jest wprost proprcjonalna do kwadratu ładunku cząstki i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu jej prędkości........................Promieniowanie korpuskularne przeczodząc pzrez ciało stałe, krystaliczne, w procesie zderzeń sprężystych z atomami powodują wybijanie atomów z węzłów sieci a więc defektowanie struktury krystalicznej materiału, a to z kolei powoduje zmiany jego własności, w tym własności mechanicznych i wytrzymałościowych ( na ogółna niekorzyść) średnia energia tracona na wybicie jednego atomuz węzła sieci wynosi 20-25 eV. Jonizacja atomów inicjuje niszczenie monekuł w komórkach żywych, a co za tym idzie organizmu.

c) dawki promieniowania jądrowego 1C/kg - dawka ekspozycyjna - w kg substancji wytworzonu jest ładunek każdego znaku równy 1C -dawka pochłoniętego promieniowania- miara pochłoniętej energii w jednostce masy J/kg lub tzw Grey [Gy] dawka ekspozycyjna 1e=9.5mGy - biologiczny równiważnik dawki pochłoniętej Współczynnik skuteczności biologicznej WSB Siwerk [Sv] 1Sv=1 J/kg lub Q*1rad=1 rem = 100erg/g (Rentgen Equalvalent Man)wartość średnich równoważników dawki promieniowania z różnych źródeł pzrez człowieka w ciągu 1roku:naturalna radioaktywność Ziemi 75 mRem

promieniowanie kosmiczne (0m n.p.m.) 50 mRem

zdjęcie rentgenowskie w medycynie 50 mRem

prom. rent. z odborników TV 2 mRem

z ścian budynków 90 mRem

z 40/ K i .../ C w organiźmnie człowieka 20 mRem

Razem 287 mRem/rok

Dozwolona wartość dawki dla ludzi to 500 mRem/rok dla przcujących zawodowo z izotopani 5000 mRem

W razie jakichkolwiek uwag i niejasności zwracać się bezpośrednio do autorów tematów, własnych notatek, literatury naukowej, posiadanej wiedzy lub komendy Policji, a mnie dupy nie zawracać.

Pyton

Katowice 13 czerwca 1994

2

---