Analiza wahań sezonowych
Jednym z podstawowych zadań składnikowej analizy szeregów czasowych jest estymacja wahań sezonowych.
Do zjawisk sezonowych należą takie zjawiska, w rozwoju których występuje stały cykl zmian, powtarzający się bardziej lub mniej regularnie z miesiąca na miesiąc, z kwartału na kwartał itp.
U podstaw występowania sezonowości leżą tzw. podstawowe czynniki sezonowe. Przez te czynniki rozumieć należy czynniki klimatyczno-przyrodnicze oraz tzw. czynniki kalendarzowe.
Do najważniejszych należą: czas trwania dnia i nocy, temperatura oraz opady, a także następstwo pór roku.
Wpływają one na zachowanie człowieka kształtując w wielu przypadkach jego nawyki i zwyczaje. Można wymienić wiele zjawisk, które wykazują wahania sezonowe. Są to np.:
− zużycie energii elektrycznej czy cieplnej w gospodarstwach domowych,
− spożycie napojów chłodzących,
− produkcja odzieży sezonowej, akcesoriów do uprawiania sportów
− zbiory płodów rolnych,
− przetwórstwo owocowo-warzywne, itp.
Statystyczna analiza wahań sezonowych polega na pomiarze natężenia i kierunku fluktuacji sezonowych w poszczególnych podokresach składających się na roczny cykl tych wahań.
Sposób postępowania przy analizie wahań sezonowych zależy od dwóch czynników:
typu modelu szeregu czasowego (addytywny lub multiplikatywny),
występowania (bądź nie występowania) w szeregu czasowym tendencji rozwojowej.
Najczęściej stosowaną w tej analizie metodą jest metoda wskaźnikowa. Polega ona na wyznaczaniu dla poszczególnych faz cyklu wskaźników sezonowości.
Gdy amplitudy wahań badanego zjawiska (tj. różnice między rzeczywistymi wartościami tego zjawiska a odpowiadającymi im wartościami teoretycznymi uzyskanymi z modelu trendu) w analogicznych fazach cyklu są takie same (oczywiście w przybliżeniu) to mówimy o wahaniach bezwzględnie stałych. Jeśli natomiast amplitudy wahań zmieniają się mniej więcej w tym samym stosunku, to mówimy o wahaniach relatywnie stałych.
W pierwszym przypadku do opisu kształtowania się badanego zjawiska w czasie używa się modelu addytywnego w drugim zaś (zdecydowanie częściej) multiplikatywnego.
Ogólnie biorąc proces analizy wahań sezonowych obejmuje następujące etapy:
prezentacja graficzna szeregu czasowego,
wyodrębnienie w szeregu czasowym trendu czyli tendencji rozwojowej.
Można przy tym zastosować metodę średnich ruchomych lub metodę analityczną.
Szczególnie często jako aproksymantę trendu stosuje się funkcję liniową:
eliminacja trendu z szeregu czasowego.
dla modelu addytywnego:
dla modelu multiplikatywnego:
W wyniku eliminacji trendu otrzymujemy tzw. surowe odchylenia sezonowe.
obliczanie surowych wskaźników sezonowości ;
dla modelu addytywnego:
gdzie: i - numer sezonu ( i = 1, 2, ..., m),
p - liczba lat badanych.
dla modelu multiplikatywnego:
eliminacja wahań przypadkowych:
dla modelu addytywnego:
dla modelu multiplikatywnego:
obliczanie oczyszczonych wskaźników sezonowości:
dla modelu addytywnego:
przy czym
dla modelu multiplikatywnego:
przy czym
Mnożąc te wskaźniki przez 100 wyrażamy je w %.
Obliczone w wyniku zastosowania przedstawionej procedury wskaźniki sezonowości mają prostą interpretację. I tak:
informują o ile jednostek mianowanych (np. zł, ton, itp.) zmienia się w poszczególnych sezonach poziom badanej zmiennej w porównaniu z zaobserwowaną w tych sezonach tendencją rozwojową.
pokazują natomiast o ile procent, na skutek występowania wahań sezonowych, poziom badanego zjawiska odchylał się w poszczególnych sezonach od poziomu określonego przez tendencję rozwojową.
Czasami może zdarzyć się, że w szeregu czasowym nie występuje trend.
Wówczas proces analizy wahań sezonowych znacznie się upraszcza i obejmuje następujące fazy:
obliczanie średniego poziomu badanej zmiennej w analizowanym przedziale czasowym:
obliczenie średnich poziomów badanej zmiennej dla jednoimiennych podokresów sezonowych:
obliczenie wskaźników sezonowości dla poszczególnych sezonów:
Mnożąc te wskaźniki przez 100 wyrażamy je w procentach.
Oszacowane wskaźniki sezonowości można wykorzystać w prognozowaniu zmiennej sezonowej. Prognostyczną wartość tej zmiennej na okres prognozowany Ti wyznaczamy następująco:
dla modelu addytywnego:
dla modelu multiplikatywnego:
Obie prognozy są prognozami punktowymi. W związku z tym, w celu zmniejszenia ryzyka prognostycznego można wprowadzić korektę obliczając wyrażenie:
gdzie:
− odchylenie standardowe składnika resztowego szeregu czasowego,
− wartości teoretyczne szeregu czasowego, przy czym:
lub
W rezultacie takiego postępowania otrzymujemy prognozę przedziałową zmiennej sezonowej w postaci:
>
Przykład 1.
Sprzedaż konserw rybnych (w tys. sztuk) w poszczególnych kwartałach lat 2004-2006 przedstawia następujący szereg czasowy:
Lata |
Kwartały |
|||
|
I |
II |
III |
IV |
2004 2005 2006 |
23,8 23,6 24,2 |
27,2 27,2 27,4 |
11,6 13,2 13,8 |
24,6 24,0 26,0 |
Przeprowadź analizę wahań sezonowych badanej zmiennej.
Oszacuj sprzedaż konserw rybnych w czwartym kwartale 2007 roku.
Rozwiązanie:
ad a) Sporządzamy wykres szeregu czasowego:
Na podstawie wykresu stwierdzamy, że w szeregu czasowym występują:
stały poziom zmiennej (brak trendu),
wahania sezonowe,
wahania przypadkowe.
W związku z powyższym dla wyznaczenia wskaźników sezonowości zastosujemy metodę odchyleń od średnich.
Obliczamy więc:
a następnie:
Interpretacja:
Na skutek występowania wahań sezonowych sprzedaż konserw rybnych była większa od przeciętnej kwartalnej sprzedaży:
w kwartale pierwszym o 7,42 %,
w kwartale drugim o 22,73 %,
w kwartale czwartym o 11,93 %,
mniejsza natomiast od tej przeciętnej była w kwartale trzecim aż o 42,08 %.
ad b) Prognozę konstruujemy korzystając ze wzoru:
stąd:
Interpretacja:
W czwartym kwartale 2007 roku można oczekiwać sprzedaży konserw na poziomie 24,87 tys. ton.
Przykład 2.
Produkcja pewnego wyrobu w tys. sztuk w poszczególnych kwartałach lat 2004-2006 kształtowała się w przedsiębiorstwie „M” w Poznaniu następująco:
Lata |
Kwartały |
|||
|
I |
II |
III |
IV |
2004 2005 2006 |
95 100 105 |
80 90 100 |
70 90 95 |
110 130 150 |
Przeprowadź analizę wahań sezonowych produkcji tego wyrobu.
Oszacuj przypuszczalne rozmiary produkcji tego wyrobu w III i IV kwartale 2007r.
Rozwiązanie:
ad a) Sporządzamy wykres szeregu czasowego:
Na podstawie wykresu stwierdzamy, że w szeregu czasowym występują:
tendencja rozwojowa rosnąca,
wahania sezonowe,
wahania przypadkowe.
Przede wszystkim wyznaczamy tendencję rozwojową. Na podstawie wykresu można przyjąć, że będzie to tendencja liniowa.
Hipotetyczny model trendu ma postać:
W celu wyliczenia parametrów strukturalnych wykonujemy potrzebne obliczenia w tabeli roboczej:
Lata |
Kwartały |
yt |
t |
t2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
2004
2005
2006 |
I II III IV I II III IV I II III IV |
95 80 70 110 100 90 90 130 105 100 95 150 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
1 4 9 15 25 36 49 64 81 100 121 144 |
95 160 210 440 500 540 630 1040 945 1000 1045 1800 |
81,73 85,28 88,83 92,38 95,93 99,48 103,03 106,58 110,13 113,68 117,23 120,78 |
116,24 93,81 78,80 119,07 104,24 90,47 87,35 121,97 95,34 87,97 81,04 124,19 |
86,00 77,36 73,17 112,42 100,95 90,24 84,87 129,70 115,89 103,12 96,56 146,98 |
81,00 6,97 10,05 5,86 0,90 0,06 26,32 0,09 118,59 9,73 2,43 9,12 |
X |
X |
1215 |
78 |
650 |
8405 |
X |
X |
X |
271,12 |
Oceny parametrów strukturalnych obliczamy korzystając ze wzorów:
Mamy więc:
Zakładamy, że mamy do czynienia ze związkiem multiplikatywnym, stąd liczymy surowe odchylenia sezonowe według wzoru;
(kolumna 8 tabeli)
Wyliczone surowe odchylenia sezonowe porządkujemy według jednoimiennych podokresów w celu wyliczenia surowych wskaźników sezonowości:
Lata |
Kwartały |
|||
|
I |
II |
III |
IV |
2004 2005 2006 |
116,24 104,24 95,34 |
93,81 90,47 87,97 |
78,80 87,35 81,04 |
119,07 121,97 124,19 |
|
105,27 |
90,75 |
82,40 |
121,74 |
W celu wyeliminowania wahań przypadkowych liczymy współczynnik korygujący:
(Uwaga: ponieważ wskaźniki podane były w % stąd w mianowniku mamy:
).
Obliczamy oczyszczone wskaźniki sezonowości:
Interpretacja:
Produkcja badanego wyrobu ma zdecydowanie sezonowy charakter. Najwyższy poziom osiąga każdego roku w czwartym kwartale i jest wówczas przeciętnie o 21,69% wyższa od wartości wynikającej z tendencji rozwojowej.
Najniższy poziom osiąga produkcja w trzecim kwartale i jest niższa przeciętnie o 17,63 % od produkcji wyliczonej na podstawie funkcji trendu.
ad b) Budujemy prognozę.
W przypadku modelu multiplikatywnego korzystamy z relacji:
.
Dla kwartału III 2007 r. mamy: t = 15 oraz oczyszczony średni wskaźnik sezonowości = 0,8237 (w procentach było to 82,37 ).
Stąd:
Dla kwartału IV 2001 r. mamy: t = 16 oraz oczyszczony średni wskaźnik sezonowości = 1,2169 (w procentach było to 121,69).
Stąd:
Obie prognozy są prognozami punktowymi. W związku z tym, w celu zmniejszenia ryzyka prognostycznego obliczamy odchylenie standardowe składnika resztowego według wzoru:
gdzie:
Ostatecznie możemy więc stwierdzić, że jeżeli kwartalna tendencja rozwojowa i natężenie wahań sezonowych zaobserwowane w poszczególnych kwartałach lat 2004-2006 utrzymają się nadal to produkcja w trzecim kwartale 2007 r. powinna być zawarta w przedziale < 106,26 - 5,21; 106,26 + 5,21 > tys. sztuk, a w kwartale czwartym 2007 r. w przedziale <164,26 - 5,21; 164,26 + 5,21> tys.sztuk.
11