Analiza wahan sezonowych, materiały z roku 2011-2012, Semestr II, Statystyka opisowa - ćwiczenia


Analiza wahań sezonowych

Jednym z podstawowych zadań składnikowej analizy szeregów czasowych jest estymacja wahań sezonowych.

Do zjawisk sezonowych należą takie zjawiska, w rozwoju których występuje stały cykl zmian, powtarzający się bardziej lub mniej regularnie z miesiąca na miesiąc, z kwartału na kwartał itp.

U podstaw występowania sezonowości leżą tzw. podstawowe czynniki sezonowe. Przez te czynniki rozumieć należy czynniki klimatyczno-przyrodnicze oraz tzw. czynniki kalendarzowe.

Do najważniejszych należą: czas trwania dnia i nocy, temperatura oraz opady, a także następstwo pór roku.

Wpływają one na zachowanie człowieka kształtując w wielu przypadkach jego nawyki i zwyczaje. Można wymienić wiele zjawisk, które wykazują wahania sezonowe. Są to np.:

− zużycie energii elektrycznej czy cieplnej w gospodarstwach domowych,

− spożycie napojów chłodzących,

− produkcja odzieży sezonowej, akcesoriów do uprawiania sportów

− zbiory płodów rolnych,

− przetwórstwo owocowo-warzywne, itp.

Statystyczna analiza wahań sezonowych polega na pomiarze natężenia i kierunku fluktuacji sezonowych w poszczególnych podokresach składających się na roczny cykl tych wahań.

Sposób postępowania przy analizie wahań sezonowych zależy od dwóch czynników:

Najczęściej stosowaną w tej analizie metodą jest metoda wskaźnikowa. Polega ona na wyznaczaniu dla poszczególnych faz cyklu wskaźników sezonowości.

Gdy amplitudy wahań badanego zjawiska (tj. różnice między rzeczywistymi wartościami tego zjawiska a odpowiadającymi im wartościami teoretycznymi uzyskanymi z modelu trendu) w analogicznych fazach cyklu są takie same (oczywiście w przybliżeniu) to mówimy o wahaniach bezwzględnie stałych. Jeśli natomiast amplitudy wahań zmieniają się mniej więcej w tym samym stosunku, to mówimy o wahaniach relatywnie stałych.

W pierwszym przypadku do opisu kształtowania się badanego zjawiska w czasie używa się modelu addytywnego w drugim zaś (zdecydowanie częściej) multiplikatywnego.

Ogólnie biorąc proces analizy wahań sezonowych obejmuje następujące etapy:

  1. prezentacja graficzna szeregu czasowego,

  2. wyodrębnienie w szeregu czasowym trendu czyli tendencji rozwojowej.

Można przy tym zastosować metodę średnich ruchomych lub metodę analityczną.

Szczególnie często jako aproksymantę trendu stosuje się funkcję liniową:

0x01 graphic

  1. eliminacja trendu z szeregu czasowego.

0x01 graphic

0x01 graphic

W wyniku eliminacji trendu otrzymujemy tzw. surowe odchylenia sezonowe.

  1. obliczanie surowych wskaźników sezonowości ;

0x01 graphic

gdzie: i - numer sezonu ( i = 1, 2, ..., m),

p - liczba lat badanych.

0x01 graphic

  1. eliminacja wahań przypadkowych:

0x01 graphic

0x01 graphic

  1. obliczanie oczyszczonych wskaźników sezonowości:

0x01 graphic
przy czym 0x01 graphic

0x01 graphic
przy czym 0x01 graphic

Mnożąc te wskaźniki przez 100 wyrażamy je w %.

Obliczone w wyniku zastosowania przedstawionej procedury wskaźniki sezonowości mają prostą interpretację. I tak:

Czasami może zdarzyć się, że w szeregu czasowym nie występuje trend.

Wówczas proces analizy wahań sezonowych znacznie się upraszcza i obejmuje następujące fazy:

  1. obliczanie średniego poziomu badanej zmiennej w analizowanym przedziale czasowym:

0x01 graphic

  1. obliczenie średnich poziomów badanej zmiennej dla jednoimiennych podokresów sezonowych:

0x01 graphic

  1. obliczenie wskaźników sezonowości dla poszczególnych sezonów:

0x01 graphic

Mnożąc te wskaźniki przez 100 wyrażamy je w procentach.

Oszacowane wskaźniki sezonowości można wykorzystać w prognozowaniu zmiennej sezonowej. Prognostyczną wartość tej zmiennej na okres prognozowany Ti wyznaczamy następująco:

Obie prognozy są prognozami punktowymi. W związku z tym, w celu zmniejszenia ryzyka prognostycznego można wprowadzić korektę obliczając wyrażenie:

0x01 graphic

gdzie:

0x01 graphic
− odchylenie standardowe składnika resztowego szeregu czasowego,

0x01 graphic
− wartości teoretyczne szeregu czasowego, przy czym:

0x01 graphic

lub 0x01 graphic

W rezultacie takiego postępowania otrzymujemy prognozę przedziałową zmiennej sezonowej w postaci:

0x01 graphic
>

Przykład 1.

Sprzedaż konserw rybnych (w tys. sztuk) w poszczególnych kwartałach lat 2004-2006 przedstawia następujący szereg czasowy:

Lata

Kwartały

I

II

III

IV

2004

2005

2006

23,8

23,6

24,2

27,2

27,2

27,4

11,6

13,2

13,8

24,6

24,0

26,0

  1. Przeprowadź analizę wahań sezonowych badanej zmiennej.

  2. Oszacuj sprzedaż konserw rybnych w czwartym kwartale 2007 roku.

Rozwiązanie:

ad a) Sporządzamy wykres szeregu czasowego:

0x01 graphic

Na podstawie wykresu stwierdzamy, że w szeregu czasowym występują:

W związku z powyższym dla wyznaczenia wskaźników sezonowości zastosujemy metodę odchyleń od średnich.

Obliczamy więc:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

a następnie:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Interpretacja:

Na skutek występowania wahań sezonowych sprzedaż konserw rybnych była większa od przeciętnej kwartalnej sprzedaży:

mniejsza natomiast od tej przeciętnej była w kwartale trzecim aż o 42,08 %.

ad b) Prognozę konstruujemy korzystając ze wzoru: 0x01 graphic

stąd: 0x01 graphic

Interpretacja:

W czwartym kwartale 2007 roku można oczekiwać sprzedaży konserw na poziomie 24,87 tys. ton.

Przykład 2.

Produkcja pewnego wyrobu w tys. sztuk w poszczególnych kwartałach lat 2004-2006 kształtowała się w przedsiębiorstwie „M” w Poznaniu następująco:

Lata

Kwartały

I

II

III

IV

2004

2005

2006

95

100

105

80

90

100

70

90

95

110

130

150

  1. Przeprowadź analizę wahań sezonowych produkcji tego wyrobu.

  2. Oszacuj przypuszczalne rozmiary produkcji tego wyrobu w III i IV kwartale 2007r.

Rozwiązanie:

ad a) Sporządzamy wykres szeregu czasowego:

0x01 graphic

Na podstawie wykresu stwierdzamy, że w szeregu czasowym występują:

Przede wszystkim wyznaczamy tendencję rozwojową. Na podstawie wykresu można przyjąć, że będzie to tendencja liniowa.

Hipotetyczny model trendu ma postać:

0x01 graphic

W celu wyliczenia parametrów strukturalnych wykonujemy potrzebne obliczenia w tabeli roboczej:

Lata

Kwartały

yt

t

t2

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2004

2005

2006

I

II

III

IV

I

II

III

IV

I

II

III

IV

95

80

70

110

100

90

90

130

105

100

95

150

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

4

9

15

25

36

49

64

81

100

121

144

95

160

210

440

500

540

630

1040

945

1000

1045

1800

81,73

85,28

88,83

92,38

95,93

99,48

103,03

106,58

110,13

113,68

117,23

120,78

116,24

93,81

78,80

119,07

104,24

90,47

87,35

121,97

95,34

87,97

81,04

124,19

86,00

77,36

73,17

112,42

100,95

90,24

84,87

129,70

115,89

103,12

96,56

146,98

81,00

6,97

10,05

5,86

0,90

0,06

26,32

0,09

118,59

9,73

2,43

9,12

X

X

1215

78

650

8405

X

X

X

271,12

Oceny parametrów strukturalnych obliczamy korzystając ze wzorów:

0x01 graphic

0x01 graphic

Mamy więc:

0x01 graphic

Zakładamy, że mamy do czynienia ze związkiem multiplikatywnym, stąd liczymy surowe odchylenia sezonowe według wzoru;

0x01 graphic
(kolumna 8 tabeli)

Wyliczone surowe odchylenia sezonowe porządkujemy według jednoimiennych podokresów w celu wyliczenia surowych wskaźników sezonowości:

Lata

Kwartały

I

II

III

IV

2004

2005

2006

116,24

104,24

95,34

93,81

90,47

87,97

78,80

87,35

81,04

119,07

121,97

124,19

0x01 graphic

105,27

90,75

82,40

121,74

W celu wyeliminowania wahań przypadkowych liczymy współczynnik korygujący:

0x01 graphic

(Uwaga: ponieważ wskaźniki podane były w % stąd w mianowniku mamy: 0x01 graphic
).

Obliczamy oczyszczone wskaźniki sezonowości:

0x01 graphic

Interpretacja:

Produkcja badanego wyrobu ma zdecydowanie sezonowy charakter. Najwyższy poziom osiąga każdego roku w czwartym kwartale i jest wówczas przeciętnie o 21,69% wyższa od wartości wynikającej z tendencji rozwojowej.

Najniższy poziom osiąga produkcja w trzecim kwartale i jest niższa przeciętnie o 17,63 % od produkcji wyliczonej na podstawie funkcji trendu.

ad b) Budujemy prognozę.

W przypadku modelu multiplikatywnego korzystamy z relacji: 0x01 graphic
.

Dla kwartału III 2007 r. mamy: t = 15 oraz oczyszczony średni wskaźnik sezonowości = 0,8237 (w procentach było to 82,37 ).

Stąd:

0x01 graphic

Dla kwartału IV 2001 r. mamy: t = 16 oraz oczyszczony średni wskaźnik sezonowości = 1,2169 (w procentach było to 121,69).

Stąd:

0x01 graphic

Obie prognozy są prognozami punktowymi. W związku z tym, w celu zmniejszenia ryzyka prognostycznego obliczamy odchylenie standardowe składnika resztowego według wzoru:

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic

Ostatecznie możemy więc stwierdzić, że jeżeli kwartalna tendencja rozwojowa i natężenie wahań sezonowych zaobserwowane w poszczególnych kwartałach lat 2004-2006 utrzymają się nadal to produkcja w trzecim kwartale 2007 r. powinna być zawarta w przedziale < 106,26 - 5,21; 106,26 + 5,21 > tys. sztuk, a w kwartale czwartym 2007 r. w przedziale <164,26 - 5,21; 164,26 + 5,21> tys.sztuk.

11



Wyszukiwarka