1. Wprowadzenie de obliczeń numerycznych
Do czego służą metody numeryczne?
Metody numeryczne służą do formułowania i rozwiązywania praktycznych zagadnień obliczeniowych oraz do przekształcania znanych modeli ciągłych do adekwatnych postaci dyskretnych.
Co to jest liczba cyfr znaczących i zaokrąglenie liczby?
Liczba cyfr znaczących jest to liczba cyfr rozwinięcia dziesiętnego mierzonej wielkości fizycznej, począwszy od pierwszej cyfry niezerowej aż do ostatniej cyfry, której wartość nie zmienia się wewnątrz przyjętego przedziału ufności.
Zaokrąglenie liczby jest to przybliżanie pewnej liczby do innej, mającej mniej cyfr znaczących.
Jakie są źródła błędów podczas rozwiązywania problemu na komputerze?
Błędy w danych wejściowych, przybliżony model zjawiska, błędy aproksymacji modelu, błędy zaokrągleń.
Jak oblicza się błąd bezwzględny a jak błąd względny?
Błąd bezwzględny:
Błąd względny:
gdzie: x0 - wartość dokładna, x - wartość mierzona, Δx - błąd bezwzględny
Co to jest algorytm?
Algorytm jest to skończony ciąg jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego rodzaju zadań. Algorytm ma przeprowadzić system z pewnego stanu początkowego do pożądanego stanu końcowego.
Jaki algorytm nazywamy stabilnym numerycznie?
Algorytm stabilny numerycznie to algorytm, który dla nieco zaburzonych danych zwraca nieco zaburzone wyniki; ASN to taki, który nie dopuszcza do sytuacji, kiedy w wyniku kumulacji poszczególnych błędów możemy uzyskać wysoce nieprawidłowy wynik.
Jaki problem nazywamy dobrze uwarunkowanym?
Problem dobrze uwarunkowany jest to problem w którym błąd reprezentacji numerycznej danego problemu wpływa w niewielkim stopniu na błąd wyniku.
W jaki sposób kodowane są liczby „na komputerze”?
Liczby w komputerze kodowane są w systemie binarnym (dwójkowym), w którym liczby reprezentowane są jako ciąg dwóch cyfr: 0 i 1.
2. Rozwiązywanie równań nieliniowych
W jakim celu przeprowadza się lokalizowanie pierwiastków?
Lokalizowanie pierwiastków przeprowadza się w celu określenia przedziałów [a, b], w których znajdują się pierwiastki równanie.
Na czym polega metoda kolejnych przybliżeń?
Metoda kolejnych przybliżeń polega na budowaniu ciągu kolejnych przybiżeń rozwiązania, zaczynając od wartości początkowej x0 odpowiednio wybranej w przedziale [a, b].
Jakie mogą być kryteria zatrzymania algorytmu?
|xn-xn-1| < ε1
|f(xn)| < ε2
- względna różnica kolejnych przybliżeń
n < Nmax gdzie N - numer iteracji, Nmax - maksymalna dopuszczalna liczba iteracji
Jaka jest różnica między metodą rekurencyjną a nierekurencyjną?
Metody rekurencyjne uwzględniają jedynie rezultaty uzyskane na poprzednim kroku iteracji (np. metoda stycznych), a metody nierekurencyjne uwzględniają wyniki uzyskane na wszystkich poprzednich etapach (np. metoda bisekcji).
Co to jest rząd metody i o czym informuje?
Rząd metody informuje o tym jak szybko ciąg zdefiniowany przez kolejne przybliżenia zbiega do rozwiązania (informuje o tym, jak szybko maleje błąd przybliżeń w kolejnych iteracjach).
Na czym polega algorytm metody bisekcji?
Punkt początkowy położony jest na środku przedziału początkowego. W każdej iteracji przedział przeszukiwania jest dzielony na połowy. W kolejnym kroku rozpatrywana jest połowa mająca różne znaki funkcji na granicach przedziału, tj. zawierająca rozwiązanie.
Na czym polega algorytm metody cięciw?
Nowe przybliżenie pierwiastka jest wyznaczone przez punkt, w którym prosta łącząca punkty o współrzędnych (a, f(a)) i (b, f(b)) przecina oś x.
Na czym polega algorytm metody stycznych?
Kolejne przybliżenie pierwiastka jest wyznaczone przez punkt, w którym styczna do krzywej w danym punkcie funkcji przecina oś x.
Z jakich przyczyn algorytm może nie zbiegać się do rozwiązania?
Bywa, że metoda jest rozbieżna na przykład kiedy punkt początkowy jest zbyt daleko od szukanego rozwiązania lub gdy punkt początkowy znajduje się w przegięciu funkcji.
Podaj przykład zadania z mechaniki wymagający rozwiązania równania nieliniowego.
Ściskanie/rozciąganie sprężyny o nieliniowej charakterystyce sztywności (np. sprężyna talerzowa lub paraboloidalna) lub zginanie belki po przekroczeniu granicy sprężystości (uplastycznienie materiału).
3. Układy algebraicznych równań liniowych
Kiedy układ równań liniowych Ax=b nie posiada rozwiązania?
Układ jest sprzeczny (nie posiada rozwiązań) jeżeli rząd macierzy głównej jest mniejszy od rzędu macierzy rozszerzonej.
Jak rozwiązujemy układy gdy macierz A jest diagonalna?
Jak rozwiązujemy układy gdy macierz A jest trójkątna (dolna lub górna)?
Jaka jest różnica między metodami bezpośrednimi a iteracyjnymi?
Metody bezpośrednie generują rozwiązanie w skończonej liczbie operacji, a metody iteracyjne tworzą ciąg wektorów dążący do dokładnego rozwiązania x ale rozwiązanie uzyskuje się przybliżone.
Na czym polega metoda eliminacji Gaussa?
Metoda eliminacji Gaussa polega na przekształceniu układu równań liniowych Ax=b do równoważnego układu równań Ux=c, gdzie U jest macierzą trójkątną górną. Otrzymany układ równań rozwiązuje się procedurami przystosowanymi do macierzy trójkątnych.
Na czym polega metoda eliminacji Gaussa-Jordana?
Metoda eliminacji Gaussa-Jordana polega na przekształceniu początkowego układu równań Ax=b do układu o macierzy diagonalnej SAx=Sb gdzie SA jest macierzą jednostkową. Procedura transformacji do macierzy jednostkowej jest dokonywana w n etapach, z których każdy składa się z fazy normalizacji, po której następuje faza redukcji.
Jak wyznaczamy macierz odwrotną?
Macierz A-1 można uzyskać po jednej transformacji do macierzy diagonalnej stosując macierz rozszerzoną, składającą się z n linii i 2n kolumn
. Kolumny macierzy odwrotnej A-1 zajmują miejsca kolumn wstępnie zajmowanych przez odpowiednie wektory bazowe ei.
Czy symetria macierzy A ułatwia rozwiązanie układu Ax=b?
Tak, ponieważ gdy macierz A jest symetryczna, to w układzie Ax=b można zapisać A=BBT . Rozwiązanie takiego układu sprowadza się do rozwiązania dwóch prostszych układów By=b oraz BTx=y.
W jaki sposób rozwiązujemy Ax=b metodami iteracyjnymi?
W metodach iteracyjnych tworzony jest ciąg wektorów zbieżnych do rozwiązania x(1), x(2), ... x(...) zdefiniowany jako x(0)- wektor zadany, x(k+1) = Bx(k)+c, gdzie k = 1, 2,..., B- macierz kwadratowa, a c jest wektorem. Macierz B i wektor c będą zdefiniowane przez taki rozkład A aby ciąg x(k) zbiegał się do rozwiązania układu wyjściowego.
Jakie trudności sprawia rozwiązywanie układu źle uwarunkowanego?
Złe uwarunkowanie układu wymaga przeprowadzenia uwarunkowania macierzy A, co polega na zastąpieniu rozwiązania Ax=b rozwiązaniem równoważnym układu równań C-1Ax=C-1b gdzie C-1 musi być dobrana tak, aby cond(C-1A) był znacznie mniejszy niż cond(A)
Podaj przykłady zagadnień z mechaniki wymagające rozwiązania układu równań liniowych.
Ciąg mas na sprężynach, obliczenia MES w zakresie sprężystości materiału...
4. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych
Na czym polega metoda kolejnych przybliżeń?
Metoda kolejnych przybliżeń (iteracji) polega na znajdowaniu kolejnych przybliżeń pierwiastka równania, za pomocą funkcji zbieżnej postaci x=ϕ(x), otrzymanej z przekształcenia badanego równania, dla której różnica wartości kolejnych przybliżeń jest coraz mniejsza. Użytkownik podaje pierwsze przybliżenie, dla którego obliczamy wartość funkcji zbieżnej. Wynik staje się kolejnym przybliżeniem. Kroki powtarzamy, aż uzyskamy żądaną dokładność.
Jakie algorytmy wykorzystuje się do rozwiązywania układów równań nieliniowych?
Metody: Newtona-Raphsona, quasi newtonowskie, kierunków sprzężonych, sieczno-newtonowskie
Czy czym polega algorytm metody Newtona?
Wpierw wybiera się początkową macierz przybliżenia rozwiązania x0. Następnie dla każdego przybliżenia xi+1, i = 0, 1, 2... oblicza się wartość wektora funkcji f(xi) w punkcie xi, oblicza składowe macierzy Jacobiego J(xi) w punkcie xi (będącego macierzą pochodnych cząstkowych), oblicza wektor poprawek Δxi korzystając z układu równań liniowych J(xi)Δxi = f(xi). (i+1)-te przybliżenie rozwiązania wynosi xi+1 = xi-Δxi.
5. Interpolacja wielomianowa
Na czym polega zadanie interpolacji?
Zadaniem funkcji interpolacyjnej jest określenie przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będących węzłami i oszacowanie błędu tego przybliżenia.
Co to jest interpolacja wielomianowa?
Interpolacja wielomianowa jest to metoda przybliżania funkcji wielomianem Lagrange'a stopnia n, przyjmując w n+1 punktach, zwanych węzłami interpolacji wartości takie same jak przybliżana funkcja.
Jakie właściwości mają wielomiany Lagrange'a?
Wielomiany Lagrange'a
Wielomiany Li są stopnia n i mają właściwość
Wtedy wielomian interpolacyjny
Dlaczego w problemach praktycznych wykorzystuje się interpolację funkcjami sklejanymi?
Ponieważ w interpolacji wielomianowej nawet niewielka zmiana wartości funkcji w pojedynczym węźle może powodować dużą zmianę zachowania całego wielomianu interpolacyjnego. Funkcje sklejane tylko lokalnie są wielomianami sklejonymi w taki sposób, by globalnie zachować pewien stopień gładkości, tzn. różniczkowalność zadaną liczbę razy.
6. Aproksymacja
W jakim zagadnieniach stosuje się aproksymację?
Aproksymacja umożliwia opracowanie danych eksperymentalnych jeżeli chcemy na przykład dopasować do nich prawo empiryczne lub jeśli chcemy wyznaczyć parametry prawa teoretycznego tak, aby odtworzyć wyniki doświadczalne.
Jaka jest różnica między interpolacją a aproksymacją?
Interpolacją nazywamy zadanie znalezienia krzywej przechodzącej przez zadane punkty, a aproksymacją znalezienie przybliżenia funkcji przez zastępowanie jednych wartości innymi, wygodniejszymi z jakiś względów.
Jak można zmierzyć błąd dopasowania w zadaniu aproksymacji?
Na czym polega metoda najmniejszych kwadratów?
Polega na znalezieniu współczynników prostej, która przechodzi możliwie najbliżej punktów doświadczalnych polegająca na minimalizacji sumy:
Co to jest regresja liniowa?
Regresja liniowa jest to aproksymacja danych w postaci linii prostej.
Podaj przykłady zagadnień inżynierskich w którym występuje konieczność aproksymacji.
Rozkład temperatury w belce mając wartości z ograniczonej liczby czujników,
7. Wartości i wektory własne
Co to jest wartość własna i wektor własny macierzy?
Wartość własna macierzy A jest to liczba λ∈C, dla której istnieje niezerowy wektor x∈Cn zwany wektorem własnym taki, że Ax=λx lub inaczej (A-λI)x=0.
Dlaczego normalizujemy wektory własne?
Normalizację wektorów własnych przeprowadza się aby przekształcić go w wektor jednostkowy.
Na czym polega metoda potęgowa i odwrotna metoda potęgowa?
Metoda potęgowa stosowana jest w celu znajdowania wartości własnej o największym module i odpowiadającego jej wektora własnego. Polega na wielokrotnym przybliżaniu rozwiązania równania wyrażonego przez [A]{x}=λ{x}
Zaś odwrotna metoda potęgowa pozwala na obliczenie przybliżonej wartości własnej o najmniejszym module oraz odpowiadającego jej wektora własnego.
Jakie inne metody wykorzystuje się do rozwiązywania problemu na wartości własne?
Dekompozycja QR, Macierz Householdera,
W jakich zagadnieniach z mechaniki wyznaczane są wartości i wektory własne?
Wyznaczanie częstości drgań własnych konstrukcji...
8. Całkowanie numeryczne
Na czym polega całkowanie numeryczne funkcji?
Całkowanie numeryczne polega na przybliżeniu funkcji w określonym przedziale za pomocą wielomianu, który jest łatwy do scałkowania i na jego podstawie obliczamy przybliżoną wartość całki.
Na czym polega metoda trapezów ?
Przedział całkowania dzielony jest na skończoną liczbę podprzedziałów, a następnie w każdym z podprzedziałów krzywa jest zastępowana odcinkiem prostym. Wartość całki stanowi sumę pól trapezów utworzonych w ten sposób.
Na czym polega całkowanie z wykorzystaniem formuł Newtona-Cotes'a?
Formuły Newtona-Cotes'a wykorzystują interpolację funkcji za pomocą wielomianów Lagrange'a budowanych na węzłach równoodległych. (na przykład metoda trapezów dokonuje interpolacji funkcji za pomocą odcinka prostej (wielomian pierwszego stopnia))
Na czym polega metoda punktów Gaussa i w jakich przypadkach można ją zastosować?
Metodę punktów Gaussa można stosować przy całkowaniu wielomianów w granicach [-1, +1]. Całka obliczana jest jako suma wartości wielomianu wyznaczanych w tzw. punktach całkowania, mnożonych przez współczynniki wagowe.
W jakich zagadnieniach z mechaniki liczone są numerycznie wartości całek?
MES
9. Równania różniczkowe zwyczajne
Jak jest sformułowane zagadnienie początkowe (zagadnienie Cauchy'ego)?
Polega na znalezieniu funkcji spełniającej równanie różniczkowe y(p)(x) = f(x, y(x), y'(x), y''(x), ..., y(p-1)(x)) oraz spełniającej odpowiednio sformułowane warunki początkowe.
Jakie warunki początkowe należy podać dla równania różniczkowego?
Dla równania rzędu p: y(x0) oraz wartości pierwszych (p-1) pochodnych funkcji y w punkcie x0 czyli, y'(x0), y''(x0), ... y(p-1)(x0)
Na czym polega rozwiązywanie numeryczne równania różniczkowego zwyczajnego?
Polega na znalezieniu dla funkcji wyrażonej przez
i warunku początkowego y(x0)=y0 rozwiązania y(x). Rozwiązanie sprowadza się do dyskretyzacji funkcji (...).
Jak jest różnica między metodą o pojedynczym kroku a metodą wielokrokową?
W metodach jednokrokowych yi+1 jest obliczana w funkcji wartości yi, xi i pozostałych danych. Konstruowany jest ciąg przybliżeń yi ≈ y(xi).
W metodach wielokrokowych yi+1 jest obliczana na podstawie wcześniej obliczonych wartości yi, yi-1, yi-2 ...
Na czym polega metoda Eulera (stycznej)?
Krzywa przechodząca przez (xi, yi) jest zastępowana przez jej styczną- rozwinięcie Taylora funkcji y w otoczeniu punktu xi. Służy oszacowaniu przebiegu funkcji.
Jak się rozwiązuje układy równań różniczkowych zwyczajnych?
Układ równań różniczkowych można przeprowadzić podobnie jak pojedyncze równanie pierwszego rzędu stosując metody Eulera, RK lub podobne.
1
Wyszukiwarka