3.5 Asymptoty funkcji

Asymptota pionowa i ukośna

Definicje (asymptota pionowa funkcji)

Prosta x=a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f, jeżeli:

(3.5.1)

Prosta x=a jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f, jeżeli:

(3.5.2)

Prosta x=a jest asymptotą pionową funkcji f, jeżeli jest jednocześnie jej asymptotą lewostronną i prawostronną:

(3.5.3)

Twierdzenie (O lokalizacji asymptot pionowych funkcji)

Funkcja elementarna może mieć asymptoty pionowe jedynie w skończonych krańcach dziedziny, które do niej nie należą.

Definicje (asymptota ukośna funkcji)

Prosta y = A₊x + B₊ jest asymptotą ukośną funkcji f w +∞ ⇔

(3.5.4)

Prosta y = A_-x + B_- jest asymptotą ukośną funkcji f w -∞ ⇔

(3.5.5)

Uwagi:

Jeżeli współczynnik A_±=0, to asymptotę ukośną nazywamy poziomą. Asymptota ukośna może przecinać wykres funkcji nieskończenie wiele razy.

3.5 Asymptoty funkcji

Warunki istnienia asymptot ukośnych i poziomych

Twierdzenie (Warunek istnienia asymptoty ukośnej)

Prosta y = A₊x + B₊ jest asymptotą ukośną funkcji f w +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

(3.5.6)

Prosta y = A_-x + B_- jest asymptotą ukośną funkcji f w -∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

(3.5.7)

Uwaga:

Jeżeli funkcja f ma asymptotę w ∞, to kąt α(x) nachylenia siecznej łączącej punkty (0,0) i (x,f(x)) dąży, gdy x→∞, do kąta α₀ nachylenia asymptoty.

Twierdzenie (Warunek istnienia asymptot poziomych)

Prosta y = B₊ jest asymptotą poziomą funkcji f w +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

(3.5.8)

Prosta y = B_- jest asymptotą poziomą funkcji f w -∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

(3.5.9)

3.5 Asymptoty funkcji

Asymptota pionowa i pozioma

Przykład 1 Zbadać istnienie asymptot funkcji:

Odpowiedź:

Istnieją 2 asymptoty pionowe x=-2, x=2 i asymptota pozioma y=0.

3.5 Asymptoty funkcji

Asymptota pionowa i pozioma

Przykład 2 Zbadać istnienie asymptot funkcji:

Odpowiedź:

Istnieją 2 asymptoty pionowe x=-2, x=2 i asymptota pozioma y=0.

3.5 Asymptoty funkcji

Asymptota pionowa i pozioma

Przykład 3 Zbadać istnienie asymptot funkcji:

Odpowiedź:

Istnieją 2 asymptoty pionowe x=-2, x=2 i asymptota pozioma y=1.

3.5 Asymptoty funkcji

Asymptota pionowa i ukośna

Przykład 4 Zbadać istnienie asymptot funkcji:

Odpowiedź:

Istnieją 2 asymptoty pionowe x=-2, x=2 i asymptota ukośna y=x.

3.5 Asymptoty funkcji

Przykłady 1 i 2

Wykresy funkcji:

3.5 Asymptoty funkcji

Przykłady 3 i 4

Wykresy funkcji:

3.5 Asymptoty funkcji

Przykład 5 Zbadać istnienie asymptot funkcji:

Odpowiedź:

Istnieje asymptota pozioma y=0.

Interpretacja geometryczna

3.5 Asymptoty funkcji

Przykład 6 Zbadać istnienie asymptot funkcji:

Odpowiedź:

Istnieje asymptota pozioma y=1.

Interpretacja geometryczna

---