Tomasz Pajączkowski

14.03.2001

Ćwiczenie nr 15.

Temat: Wyznaczanie lepkości cieczy metodą Stokesa.

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie dynamicznego współczynnika lepkości gliceryny metodą Stokesa.

	r [ m ]	t [ s ]	η [ Pa·s ]	ε [ Pa·s ]
1	0,00170	2,66	0,28	0,06
2	0,00160	2,35	0,22	0,00
3	0,00158	2,24	0,21	0,01
4	0,00155	2,19	0,19	0,03
5	0,00158	2,20	0,20	0,02
6	0,00160	2,23	0,21	0,01
7	0,00163	2,19	0,21	0,01
8	0,00173	2,28	0,25	0,03
9	0,00164	2,26	0,22	0,00
10	0,00164	2,19	0,21	0,01
	Σ 0,01625	Σ 22,79	Σ 2,2	Σ 0,0062

Teoria zjawiska:

Ciecz zwilżająca pokrywa cienką warstwą ciała w niej zanurzone np. kulkę metalową. W przypadku, gdy kulka jest w ruchu, tarcie występuje wewnątrz samego płynu pomiędzy jego warstwami między kulką i płynem. Kulka unosi ze sobą warstwę przylegającego płynu, a ten na skutek tarcia wewnętrznego wprawia w ruch następne warstwy.

Jeżeli w dwóch stykających się ze sobą warstwach rzeczywistych płynów prędkości przepływającego płynu są różne, to obserwujemy stan przejściowy, podczas którego zachodzą procesy dążące do wyrównania prędkości w obu warstwach. Procesy te noszą nazwę tarcia wewnętrznego lub lepkości.

Przyłożona zewnętrzna siła F podtrzymująca stałą różnicę prędkości jest proporcjonalna do poruszających się warstw płynu S i do dv/dl : F=η·S·dv/dl gdzie: η-współczynnik lepkości.

Ponieważ lepkość wiąże się z przekazywaniem pędu, więc zgodnie z II zasadą mechaniki:

dp =FTdt co pociąga zasobom, że dp/dt =FT, gdzie FT =-F dp/dt =-η·S·dv/dl

Korzystając z powyższych wzorów można wyprowadzić wzór, znany prawem Poiseuille'a.

Wzór ten podaje, jaka objętość cieczy o współczynniku lepkości η przepływa w czasie t przez rurę o promieniu R i długości l, przy różnicy ciśnień na końcach rury p₁-p_2.

Korzystając z tego wzoru, można określić wielkość siły tarcia na jakie napotyka ciecz płynąca w rurze z średnią prędkością cząsteczek v_śr w przypadku przepływu laminarnego. Siła ta hamuje prędkość przepływu cieczy. Wzór ten ma postać:

Z lepkością cieczy wiąże się też zjawisko hamowania ruchu ciał poruszających się w lepkiej cieczy.

W przypadku gdy ciałem tym jest kulka, poruszająca się na tyle wolno, aby ruch opływającej ją cieczy był laminarny jak na tym rysunku 1 a nie turbulentny jak na rysunku 2

rys. 1. rys. 2.

siłę tę opisuje prawo Stokesa:

Opis metody:

Aparatura składa się z cylindra szklanego o wysokości ok. 60cm i promieniu R = 3cm. Cylinder wypełniamy badaną cieczą, poczym wrzucamy do niego kulkę ołowianą o niedużej średnicy w taki sposób, aby spadała mniej więcej wzdłuż osi cylindra, mierząc czas jej spadania na drodze l. Początek drogi l powinien znajdować się w odległości kilku centymetrów od powierzchni cieczy, gdyż w pierwszej chwili kulka nie porusza się jeszcze ruchem jednostajnym. Koniec drogi obieramy w pobliżu dna naczynia.

Wzory robocze:

Siła oporu jaki płyn stawia poruszającej się kulce zależy od współczynnika lepkości płynu i wyraża się wzorem Stokesa FT = 6πηrv .

Ruch kulki następuje na skutek działania siły ciężkości FG = mg =VρKg = 3/4πr³ρKg .

Ponieważ kulka spada w ośrodku płynnym, działa na nią siła wyporu ( zgodnie z prawem Archimedesa) FW =-VρPg =- 4/3 πr³ρPg.

Sumując wszystkie siły działające na kulkę, otrzymujemy:

F = 3/4πr³ρKg - 4/3 πr³ρPg - 6πηrv

Kulka porusza się ruchem jednostajnym, gdy F jest równe zeru ( I zasada dynamiki).

0 = 3/4πr³ρKg - 4/3 πr³ρPg - 6πηrv

3/4πr³g( ρK - ρP) = 6πηrv

η =2r²g(ρK - ρP)/9v

Uwzględniając, że v = l/t powyższy wzór przyjmuje postać:

η =2r²g(ρK - ρP)t/9l ( 1 )

Powyższe równania są słuszne tylko w przypadku, gdy kulka porusza się w ośrodku o nieograniczonej szerokości i gdy mamy do czynienia z ruchem laminarnym. W przypadku, gdy kulka porusza się w rurze o promieniu R, wypełnionej cieczą, należy uwzględnić poprawkę, wtedy równanie Stokesa przyjmuje postać:

FT = 6πηrv(1-r/R)^{- n}

η =2r²g(ρK - ρP)t (1-r/R) ⁿ / 9l

ρ odczytana z Tablic Chemicznych (Wydanie II, zmienione i rozszerzone Warszawa 1997)

ρK =11,34 g/cm³, ρP =1,2582 g/cm³

Opis przeprowadzonego eksperymentu.

Pomiary wykonane zostały dla 10 prób przy użyciu kulek ołowianych. Za pomocą śruby mikrometrycznej wyznaczyłem średnicę każdej kulki. Następnie puszczałem je swobodnie do rury wiskozymetru Stokesa, mierząc czas opadania dla każdej kulki w sposób opisany powyżej w punkcie: opis metody. Otrzymane wartości zebrałem w powyższej tabeli, a następnie na ich podstawie wyznaczyłem wartość średnią współczynnika lepkości i oszacowałem błąd pomiaru. Swoje obserwacje i spostrzeżenia umieściłem poniżej w końcowych wnioskach.

Obliczenia wykonane na podstawie wyników eksperymentu.

Korzystając z wzoru ( 1 ) obliczyłem współczynnik lepkości dla gliceryny technicznej.

η =2r²g(ρK - ρP)t/9l =2·(0,001625)²·9,81·(11340-1258,2)·2,279/9·0,6 =0,22 Pa·s

Przy wyznaczaniu współczynnika lepkości zaniedbałem poprawkę związaną z tym, że kulka porusza się w rurze o ograniczonej szerokości. Było to możliwe , gdyż wartość poprawki dla dwóch skrajnych wartości r, obliczona poniżej, w przybliżeniu równa jest jedności.

n = log [(r-t)/(r'-t')]/ log [(R-r')/(R-r)] = -0,056

( 1- r/R)ⁿ =0,998 = 1

Współczynnik ten można wyznaczyć również z zalerzności:

η = 1/n Ση =0,22 Pa·s

Otrzymana wartość liczbowa η jest wartością średnią dla temperatury 23,5°C.

Szacowanie niepoprawności pomiaru.

UB(t) =0,01/3^1/2 =0,00577 s ðη/ðr =4rg(ρK - ρP)t/9l =271,43

UB(l) =0,001/3^1/2 =0,00057 m ðη/ðg =2r²(ρK - ρP)t/9l =0,02248

UB(ρK) =1/ 3^1/2 =0,577 kg/m³ ðη/ðρK=2r²gt/9l =0,0000219

UB(ρP) =0,1/3^1/2=0,0057 kg/m³ ðη/ðρP=2r²gt/9l =0,0000219

UC(r) = 0,00001/3^1/2=5,77·10^-6 m ðη/ðt =2r²g(ρK - ρP)/9l =0,0967

UB(g) =0,01/ 3^1/2=0,00577 m/s² ðη/ðl =-2r²g(ρK - ρP)t/9l² =-0,368

UC(η) = [(ðη/ðr)²U²(r)+(ðη/ðρK )²U²(ρK)+(ðη/ðρP)²U²(ρP)+(ðη/ðt)²U²(t)+(ðη/ðg)²U²(g)+(ðη/ðl)U²(l)] ^1/2 = 271,43²·(5,77·10^-6)²+0,0000219²·0,577²+0,0000219²·0,0577²+0,02248²·0,00577²+0,0967²·0,00577²+

+0,368²·0,000577²= 2,8·10^-6

U = 2·( 2,8·10^-6 ) =5,6·10 ^-6 dla α =0,95

η =( 0,22 ± 5,6·10^-6 ) Pa·s

Wnioski

Wartość współczynnika lepkości wyznaczona metodą Stokesa wynosi: η = ( 0,22 ± 5,6·10^-6 ) Pa·s.

Ewentualne błędy wynikać mogą z krótkiego czasu spadania kulki, co skutkować może, przy małej wprawie w posługiwaniu się stoperem, odchyleniami mającymi znaczący wpływ na końcowy wynik pomiaru. Również niemałe znaczenie ma wystąpienie tzw. błędu paralaksy ( wynikającego z różnego ustawienia oka względem podziałki - tu: poziomów pomiędzy którymi poruszała się kulka ).Wynika on przedewszystkim z dużych gabarytów aparatury i szybkim opadaniem kulki. Powyższy błąd jest tym bardziej znaczący, gdy weźmie się pod uwagę, że ćwiczenie wykonywane było przez dwa zespoły, co skutkuje innym przybliżeniem otrzymanych wartości. Na dokładność pomiaru ma również wpływ użycie różnych kulek.

Wszystko to sprawia, że dokonane pomiary nie są zbyt dokładne i mogą odbiegać od wartości rzeczywistych.

Wiskozymetr Stokesa jest urządzeniem mało dokładnym, przeznaczonym głównie do pomiaru współczynnika lepkości dla cieczy o dużych wartościach η. W przeciwnym wypadku pomiary są mało dokładne. Na niekorzyść wiskozymetru Stokesa przemawia fakt niemożności utrzymania temperatury, różnej od pokojowej, na stałym poziomie i tym samym wykonywania pomiarów w zależności od temperatury. Do wad należą również gabaryty.

---