PROJEKT III

SIŁY PRZEKROJOWE W USTALONYM PRZEKROJU α-α

I. PODSTAWY TEORETYCZNE

Siły wewnętrzne - siłami wewnętrznymi w danym przekroju nazywamy zredukowany układ sił wewnętrznych, występujących w tym przekroju (przekrój musi być przyporządkowany do jednej lub drugiej części konstrukcji, które utworzyły dany przekrój). Punktem redukcji jest środek masy tego przekroju, a układ współrzędnych, w którym redukujemy, jest takim układem, którego jedna oś jest równoległa do osi pręta, a dwie pozostałe zawierają się w przekroju poprzecznym (zakładamy, że te osie są osiami głównymi centralnymi przekroju poprzecznego).

Układ sił przekroju, przyporządkowany przekrojowi należącemu do części I, jest równoważny układowi sił zewnętrznych (czynnych i biernych), przyłożonych do części II i na odwrót.

Układ własny przekroju poprzecznego.

Przy poszukiwaniu sił przekrojowych (poprzez redukcję obciążenia zewnętrznego) rezygnuje się z globalnego układu współrzędnych (x,y) na rzecz układu lokalnego związanego z układem poprzecznym. Układ taki (dla zagadnień płaskich) nosi nazwę układu własnego przekroju poprzecznego.

Punktami charakterystycznymi nazywać będziemy początek i koniec pręta; punkty przyłożenia sił i momentów skupionych (w tym siły bierne, t.j. reakcje więzów); początek i koniec obciążenia ciągłego; punkty, w których pochodna funkcji opisującej oś pręta jest nieciągła.

Przedziałem charakterystycznym nazywamy przedział zawarty pomiędzy dwoma kolejnymi punktami charakterystycznymi.

II. ALGORYTM

1. Zadany przekrojem α-α układ należy podzielić w sposób jednoznaczny na dwie części (na dwie, dokładnie dwie i tylko dwie).

2. Każdej z obu części konstrukcji przyporządkowujemy w sposób jednoznaczny siły działające na tę część konstrukcji. W ten sposób wszystkie siły czynne i bierne działające na całą konstrukcję muszą być przyporządkowane do jednego z dwóch zbiorów rozłącznych.

3. Wybieramy układ sił, który będziemy redukować tak, aby rachunki były najprostsze.

4. Wyznaczamy układ współrzędnych, w którym będziemy przeprowadzać redukcję - w zadaniach płaskich będzie to układ własny przekroju poprzecznego.

5. Pierwsza oś, którą nazywamy podłużną N, jest zgodna do normalnej zewnętrznej przekroju (prostopadła do przekroju, równoległa do osi pręta i zwrócona na zewnętrz przekroju). Siła podłużna równa się sumie rzutów na oś N wszystkich sił zewnętrznych działających na drugą część konstrukcji.

6. Druga oś powstaje przez obrót siły podłużnej N zgodnie z ruchem wskazówek zegara o 90^O. Nazywamy ją poprzeczną i oznaczamy przez Q. Jest ona równa sumie rzutów na płaszczyznę przekroju wszystkich sił zewnętrznych działających na drugą część konstrukcji.

7. Przyjmujemy taki zwrot momentu, aby wyróżnione włókna (spody) były rozciągane dodatnim momentem. Moment zginający M równa się sumie momentów względem środka ciężkości tego przekroju od wszystkich sił zewnętrznych działających na drugą część konstrukcji.

8. Narysować układ współrzędnych.

9. Zredukować.

III.PRZYKŁAD LICZBOWY

Temat: Obliczyć siły przekrojowe N, Q, M w punkcie C zadanej belki:

Obliczenie reakcji:

Sprawdzenie:

Siły przekrojowe w punkcie C można znaleźć redukując zadaną belkę z lewej lub prawej strony, otrzymując ostatecznie ten sam wynik:

Redukując od prawej:

Redukując od lewej ( orientacja osi ulegnie zmianie):

N = 40 kN

Q = - 10 - 12 = - 22 kN

M = - 10 *1 - 12 * 2 = - 34 kNm

FUNKCJE I WYKRESY FUNKCJI SIŁ PRZEKROJOWYCH

I. ALGORYTM

1. Całą konstrukcję podzielić na przedziały charakterystyczne, tzn. przedziały między punktami charakterystycznymi, takimi jak np. początek albo koniec pręta, podpory, początek i koniec obciążenia ciągłego.

2. Aby wyznaczyć siły przekrojowe w jednym przedziale charakterystycznym należy wyznaczyć wartości tych sił na końcach tego przedziału jako granicę lewo lub prawostronną.

3. Jeżeli funkcja ma przedziale ekstremum lokalne to należy go wyznaczyć. Korzystając z zależności różniczkowych możemy narysować wykresy typowych funkcji bez pisania równań:

Q'(x) = - q(x)

M(x)' = Q(x)

• M(x)'' = - q(x)

Poniższa tabela zestawia jak wyglądają wykresy sił przekrojowych Q i M w zależności od obciążenia ciągłego q (z w/w zależności różniczkowych):

q	0	const	funkcja liniowa
Q	Const	funkcja liniowa	parabola stopnia drugiego
M	funkcja liniowa	parabola stopnia drugiego	parabola stopnia trzeciego

Przy rysowaniu wykresów sił przekrojowych przyjmujemy następujące zasady:

1. Rzędne wykresu momentów rysujemy zawsze po stronie włókien rozciąganych;

2. Nieważne jest, po której stronie rysujemy wykresy sił podłużnych lub poprzecznych, ważne są natomiast znaki tych sił na wykresie.

3. Wynik redukcji nie zależy od „strony redukcji”.

3. PRZYKŁAD LICZBOWY:

Temat: Dla zadanej belki napisać równania i narysować wykresy sił przekrojowych N, Q, M

1.Obliczenie sił biernych Ha, Va oraz Vb :

 Sprawdzenie:

∑Z= 0

22-10 ∙ 4 - 10 + 68 - 10 ∙ 4

90 - 10 - 40 - 40 = 0

2. Wyznaczenie funkcji sił przekrojowych:

Przedział 0 < x < 4 :

4 < x < 6 :

6 < x < 8 :

8 < x < 10 :

M(x)= 68*(10 - x) - 10*4*(12 - x) = 680 - 68x-480 + 40x = - 28x + 200

Q(x)= - 28

N(x)= -20kN = const

10 < x < 14 :

M(x) = - 10*(14 - x)*(14 - x)*0,5 = (- 140 + 10x)*( 7 - 0,5x) = -980 + 70x + 70x - 5x²

Q(x) = 10*(14 - x) = 140 - 10x

N(x) = -20 kN = const

4. Narysowanie wykresów:

Wyznaczenie ekstremów:

W przedziale AC funkcje ma ekstremum - maksymalny moment zginający, który jest w odległości x₀ od początku belki:

Q(x) = - 10x + 22 = 0

x₀ = 2.2 m

Wartość tego maksymalnego momentu zginającego:

---