Nr ćwicz. 104	Data 27.03.03	Paweł Matuszak	wydział elektryczny	Semestr II	E9 1
mgr Janusz Rzeszutek		przygotowanie:	wykonanie:	ocena:

Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu

metodą badania przesunięcia fazowego

Rozchodzenie się dźwięku odbywa się w postaci fali mechanicznej i może mieć miejsce tylko w ośrodku sprężystym. Jeżeli pewien element ośrodka, którego cząstki są ze sobą wzajemnie związane, pobudzimy do drgań, wówczas energia drgań tego elementu będzie przekazywana do punktów sąsiednich i wywoła w nich drgania. Proces rozchodzenia się drgań nazywamy falą . Charakter fali rozchodzącej się w ośrodku zależy od jego właściwości sprężystych. Najczęściej spotykanym ruchem drgającym jest ruch harmoniczny, w którym wychylenie y zmienia się w czasie t wg. równania:

gdzie: A-amplituda, ω-częstość kołowa, - faza początkowa

Faza początkowa określa stan ruchu w chwili t=0 i jest obierana w dowolny sposób. Jeżeli fala biegnie w kierunku osi x , wówczas kolejne punkty ośrodka pobudzane są do drgań i osiągają tę samą fazę z pewnym opóźnieniem. Prędkość przesuwania się wychylenia(zaburzenia)o stałej fazie jest prędkością rozchodzenia się fali.

Wychylenie y dowolnej cząstki w chwili t, w odległości x od źródła drgań opisane jest funkcją falową :

gdzie: ω- częstość kołowa ; - liczba falowa,

- długość fali, - faza w punkcie x=0 i w chwili t=0.

Równanie fali jest podwójnie okresowe: względem czasu i przestrzeni. Przy ustalonej wartości x opisuje ono drgania cząstki wokół położenia równowagi - drgania te są periodyczne z okresem T. Ustalając w poprzednim równaniu czas otrzymujemy zależność wychylenia cząstek od ich położenia w określonej chwili - zależność ta przedstawia kształt fali. Odległość między najbliższymi punktami posiadającymi tę samą fazę nazywamy długością fali.

Związek między długością i okresem jest prędkością fali:

Prędkość fali w powietrzu

Ogólne wyrażenie określające prędkość rozchodzenia się fal podłużnych w ośrodku ciągłym ma postać:

gdzie: E- moduł Younga ośrodka, - jego gęstość.

Przekształcając podstawową postać prawa Hook'a możemy napisać: (1)

gdzie oznaczają różniczkowe zmiany ciśnienia i objętości gazu o objętości V

Drgania dźwiękowe zachodzą tak szybko, że ściskanie i rozrzedzanie gazu można uważać za procesy adiabatyczne, wobec czego zmiana stanu gazu zachodzi zgodnie ze wzorem Poissona:

gdzie - jest stosunkiem ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości.

Różniczkując powyższy wzór otrzymujemy:

Podstawiając uzyskaną wartość do równania (2), a następnie uwzględniając otrzymaną w ten sposób postać modułu Younga w równaniu (1), wyrażamy prędkość fali podłużnej wzorem:

Stosując równanie stanu gazu doskonałego we wzorze na gęstość otrzymamy:

gdzie: n - ilość moli gazu, R - stała gazowa, T - temperatura.

n można wyrazić jako stosunek całej masy gazu m do masy 1 mola μ : n = m / μ.

Uwzględniają powyższe w ostatnim równaniu wstawiamy do równania (3) i otrzymujemy wzór określający prędkość dźwięku w zależności od rodzaju gazu i temperatury:

Aby obliczyć prędkość skorzystamy ze wzoru :

Częstotliwość odczytamy bezpośrednio z generatora akustycznego. Długość fali obliczymy dzięki zjawisku figur Lissajous obserwowanych na oscyloskopie, a których kształt zależy od stosunku częstotliwości różnicy faz drgań składowych. W tym przypadku częstotliwości obu drgań są równe, więc o kształcie figur decyduje różnica faz głośnika i mikrofonu. Kształt figury Lissajous'a będzie on taki sam dla wszystkich położeń mikrofonu różniących się o całkowitą wielokrotność długości fali.

Wybieramy odpowiednią częstotliwość, a następnie przesuwając mikrofon w stosunku do głośnika znajdujemy położenia, w których obraz na ekranie oscyloskopu jest linią prostą o takim samym współczynniku nachylenia. Odnotowujemy położenia mikrofonu, następnie obliczamy długość fali jako różnicę pomiędzy takimi samymi obrazami, obliczamy średnią, a następnie prędkość dźwięku z powyższego wzoru.

Obliczenia

Dla dźwięku o częstotliwości f = 2 [kHz]

l [m]	λ = ln-1 - ln [m]	v = λ * f [m/s]
0,188	-	-
0,360	0,172	344
0,534	0,174	348
0,706	0,172	344
0,885	0,179	358

Dla dźwięku o częstotliwości f = 4 [kHz]

l [m]	λ = ln-1 - ln [m]	v = λ * f [m/s]
0,083	-	-
0,203	0,120	480
0,313	0,110	440
0,414	0,101	404
0,499	0,085	340
0,602	0,103	412
0,699	0,097	388
0,828	0,129	516
0,929	0,101	404

Dla dźwięku o częstotliwości f = 3,5 [kHz]

l [m]	λ = ln-1 - ln [m]	v = λ * f [m/s]
0,086	-	-
0,222	0,136	476
0,360	0,138	483
0,476	0,116	406
0,594	0,118	413
0,729	0,135	472,5
0,859	0,130	455

Dla dźwięku o częstotliwości f = 4,5 [kHz]

l [m]	λ = ln-1 - ln [m]	v = λ * f [m/s]
0,091	-	-
0,172	0,081	364,5
0,259	0,087	391,5
0,346	0,087	391,5
0,429	0,083	373,5
0,515	0,086	387
0,597	0,082	369
0,709	0,112	504
0,780	0,071	319,5
0,877	0,097	436,5

Trzy ostatnie pomiary odrzucam jako błędy grube

średnia szybkość dźwięku
≈ 400,48 [m/s]

odchylenie standardowe średniej szybkości dźwięku:

= 22,72 [m/s]

Obliczam prędkość dźwięku ze wzoru:

Przyjmuję:

[m/s] gdzie

Wnioski

Wartość uzyskana pomiarami: v = 400,48 ± 22,72 [m/s]

Wartość obliczona ze wzoru: v = 346,34 ± 0,06 [m/s]

Wartości najbliższe wystąpiły dla f = 2 kHz i f = 4,5 kHz

Otrzymane wynik odbiega od wartości tablicowej. Przyczyny tego należy szukać w metodzie przeprowadzania doświadczenia a także w niedokładności pomiarów. Odczyt położenia mikrofonu względem źródła dźwięku jest ma*o dokładny. Okienko w którym odczytujemy położenie powinno być wyposażone w cienki drut umiejscowiony po środku okienka zamiast szczerbinki względem której obecnie odczytujemy położenie. Ponadto każdy odczyt był przeprowadzany jednorazowo, co nie uwzględniało błędu przypadkowego przy pomiarze. Błąd przypadkowy mógł również być spowodowany przyjętym sposobem liczenia, gdzie długość fali była różnicą dwóch sąsiednich pomiarów. Błąd ten można by zmniejszyć, licząc długość fali z różnicy pomiaru aktualnego i pierwszego.

---