Ortogonalizacja Grama-Schmidta

Zastosowanie metody przedstawimy na przykładach. Teorię można znaleźć w podręcznikach z algebry liniowej czy w internecie (np.http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Grama-Schmidta).

Spis przykładów

• Przykład 1 w 
  

• Przykład 2 w 
  

• Przykład 3 w 
  

• Przykład 4 w 
  

• Przykłady z Forum

Przykład 1
Dane są wektory 

w przestrzeni wektorowej 
 ze standardowym iloczynem skalarnym. Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako 
 i zapisujemy:

Obliczamy iloczyny skalarne:

Nową bazę stanowią wektory:

Przykład 2
Dane są wektory

w przestrzeni wektorowej 
 ze standardowym iloczynem skalarnym. Przeprowadź ortonormalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy (na razie tylko ortogonalnej, normalizację przeprowadzimy później) oznaczamy jako 
 i zapisujemy:

Wpierw wyznaczamy wektor 
, w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:

Zapisujemy wektor 
:

Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na 
:

Możemy zatem zapisać wektor 
:

Następnie obliczamy normy wektorów 
:

Bazę ortonormalną oznaczamy przez 
 i zapisujemy:

Przykład 3
Dane są wektory

w przestrzeni wektorowej 
 z iloczynem skalarnym 
. Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako 
 i zapisujemy:

Wpierw wyznaczamy wektor 
, w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:

Zapisujemy wektor 
:

Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na 
:

Możemy zatem zapisać wektor 
:

Przykład 4
Dane są wektory

w przestrzeni funkcji ciągłych 
 z iloczynem skalarnym

Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako 
 i zapisujemy:

Wpierw wyznaczamy wektor 
, w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:

Zapisujemy wektor 
:

Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na 
:

Możemy zatem zapisać wektor 
:

---