HORYZONT KOSMOLOGICZNY.
Odkryte przez Hubble'a prawo ekspansji wszechświata: v = H*d sugeruje natychmiast, że istnieje pewna maksymalna odległość `d' , przy której prędkość oddalania się obiektów równa się prędkości światła (v = c) . Gdyby parametr Hubble'a był wielkością stałą w czasie (H = Ho) to obliczenie owej maksymalnej odległości byłoby trywialne . Wiadomo jednak, że H = H(t) i trzeba ten fakt uwzględniać.
W rozdziale „Prawo Hubble'a” przedstawiona była formuła Mattiga określająca obecną odległość `do' do obiektu o przesunięciu ku czerwieni równym `z'. Dla wszechświata o geometrii euklidesowej formuła ta miała postać:
(1)
Gdy to a tym samym . Jednocześnie w rozdziale „Kosmologiczne rozwiązania równań Einsteina” mieliśmy dla wszechświata „płaskiego” zależności: oraz . Dla chwili obecnej t = to , H(to) = Ho otrzymamy . I to właśnie jest odległość do horyzontu kosmologicznego w euklidesowym wszechświecie. Nazywa się go horyzontem cząstek, od których w chwili to możemy otrzymywać sygnały świetlne.
Aby rozwiązać zagadnienie horyzontu dla modeli wszechświata o innych typach geometrii (hipersferycznej lub hiperboloidalnej) rozważmy sygnał świetlny wysłany z odległej galaktyki o współrzędnych w chwili t1 i odebrany przez obserwatora w punkcie w chwili to . Przyjmijmy dla prostoty, że sygnał ten biegnie tylko wzdłuż współrzędnej radialnej czyli . Wówczas interwał czasoprzestrzenny pomiędzy wysłaniem i odbiorem tego sygnału świetlnego można zapisać:
(2)
a stąd:
(3)
Postać funkcyjna R(t) zależy od rozważanego modelu kosmologicznego a więc od wartości parametru `k'.
Zbadajmy teraz zachowanie się naszych całek, gdy chwila czyli do początku ekspansji. Gdy całka jest skończona i równa np. Co to również całka z prawej strony musi dawać w wyniku tę samą wartość liczbową Co. Musi więc wtedy istnieć górna granica tej całki - , przy której:
(4)
Właśnie ta wartość granicy całkowania jest radialną współrzędną horyzontu cząstek, natomiast odległość do tego horyzontu w chwili to wynosi:
(5)
(przypominamy, że współrzędna radialna `r' jest tu bezwymiarowa natomiast R(t) ma wymiar długości). Sprawdźmy jeszcze otrzymany rezultat na przykładzie modelu płaskiego (k = 0). Dla niego
(6)
a więc korzystając z (3) dostaniemy:
(7)
Wstawiając ten wynik do (5) przy wykorzystaniu (6) dostaniemy odległość do horyzontu - czyli tak jak z formuły Mattiga. Zwróćmy jeszcze na koniec uwagę, że rozmiar horyzontu rośnie tu szybciej niż ekspansja wszechświata a więc z biegiem czasu coraz większy obszar wszechświata staje się dostępny obserwacjom z wybranego miejsca ro . Po nieskończenie długim czasie obserwowalny może być (w modelu płaskim) cały wszechświat.
W modelu o geometrii hipersferycznej mamy skończoną objętość wszechświata i do chwili t = tmax , w której wszystkie odległości osiągają maksimum (R(tmax) = Rmax) w zasięgu horyzontu znajdzie się cała przestrzeń takiego wszechświata. Następnie, w fazie kurczenia się przestrzeni, obserwator w punkcie `ro' najdalsze obiekty będzie widział „podwójnie” - czyli z dwóch przeciwnych kierunków. Będą to obiekty położone wokół „antypodów” obserwatora i obszar ten będzie stopniowo narastał.
Natomiast w modelu hiperbolicznym nawet po nieskończonym czasie nie będzie można widzieć całej nieskończonej przestrzeni.
O problemie odległości raz jeszcze.
Przypomniano już tu powyżej, że tzw. „obecna” odległość do obiektu o przesunięciu ku czerwieni równym `z' wyraża się formułą (1) : zaś odległość w chwili emisji widocznego dziś światła d1 równa jest . Gdy światło biegnie od obiektu ku nam jednocześnie trwa ekspansja kosmologiczna. Rozważajmy przykładowo nadal model „płaski”, dla którego prawo ekspansji wyraża się formułą (6) przy czym zawsze spełniona jest formuła na „poczerwienienie kosmologiczne” Ro = R(1+z) (indeks „o” odnosi się zawsze do chwili obecnej). Podstawiając tą zależność do (6) otrzymamy
(8)
Jednocześnie w modelu płaskim mamy znane już związki: oraz , które wstawione do (8) pozwalają powiązać `z' z wiekiem wszechświata `t' w chwili emisji widocznego dziś światła:
(9)
lub
(9a)
Światło biegło więc od obiektu do „nas” przez czas i przebiegło dystans
(10)
Odległość ta nazywana bywa „odległością własną” (proper distance) obiektu o przesunięciu kosmologicznym `z'. Jest to jeszcze jeden rodzaj określania odległości obiektów w kosmologii oprócz wprowadzonych wcześniej definicji do oraz d1 .
Wróćmy jeszcze raz do wielkości . Zapiszmy ją w postaci jawnej
(11)
Promień horyzontu RH w chwili `t' jest RH(t) = 3ct co biorąc pod uwagę (9a) pozwala napisać
(12)
Porównując to z (11) możemy napisać
(11a)
i dla z>3 mamy d1>RH , czyli obiekt taki był w chwili emisji widocznego dziś światła poza „naszym” ówczesnym horyzontem kosmologicznym (ściślej mówiąc - poza horyzontem miejsca o naszych stałych współekspandujących współrzędnych). Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami rozmiar horyzontu narasta jak zaś tempo ekspansji jest (czyli wolniejsze) więc obiekt ten w chwili obecnej to jest już w naszym zasięgu widoczności (choć widzimy światło sprzed wielu, wielu lat).
Łatwo też sprawdzić, że funkcja d1(z) z formuły (11) ma ekstremum dla z = 1.25 .
Prześledzimy to w poniższej tabelce (biorąc przykładowo to = 10 mld. lat).
z |
d1(z) [mld. lat ś.] |
0 |
0 |
0.1 |
1.27 |
0.5 |
3.67 |
1 |
4.39 |
1.25 |
4.44 |
1.5 |
4.41 |
2 |
4.226 |
3 |
3.75 |
5 |
2.96 |
Jak wiadomo, rozmiar kątowy obiektu, , (np. galaktyki) o pewnych ustalonych rozmiarach liniowych `l' zależy od odległości, z której go oglądamy - im dalsza odległość tym mniejszy rozmiar kątowy. Liczy się tu jednak odległość w chwili wysłania widocznego potem światła albowiem ten obraz później zobaczy obserwator. W sytuacji kosmologicznej naszą podstawową obserwablą jest wielkość `z'. Początkowo, dla z<=1 faktycznie ze wzrostem z narasta odległość d1 a więc średni (typowy) rozmiar kątowy galaktyki maleje ze wzrostem `z'. Jednak począwszy od wielkość d1 znowu maleje a to oznacza, że rozmiar kątowy rośnie. Odległość d1 określona formułą (11) nazywana bywa „odległością kątową” obiektu właśnie ze względu na jej związek z kątowymi rozmiarami obserwowanego obiektu. Przytoczyliśmy tu rozwiązanie dla modelu płaskiego (k=0). Podobny jakościowo efekt zachodzi także dla modeli hipersferycznych (k=+1) oraz hiperboloidalnych (k=-1).
Jakościowo ilustruje to powyższy rysunek. Teoretycznie jest więc szansa aby analizując kątowe rozmiary dalekich galaktyk wybranego typu rozstrzygnąć, który typ geometrii realizuje się w naszym wszechświecie. W praktyce jednak jest to bardzo trudne i niepewne. Po pierwsze, trudno zdefiniować „typowy” rozmiar liniowy galaktyki a ponadto, mierząc kątowe rozmiary dalekich obiektów trudno jest określić gdzie jest ich brzeg na otrzymanym obrazie. Najsilniej bowiem świecą centralne części galaktyki i to one wyjdą najwyraźniej na zdjęciach. Obszary brzegowe mogą się słabo wyeksponować i pomiar rozmiarów takiego obiektu będzie zafałszowany.
Jednak metoda powyższa znalazła pewne zastosowanie przy analizie fluktuacji promieniowania reliktowego (patrz rozdział - „Era dominacji promieniowania”). Promieniowanie reliktowe jest „obiektem” o największej wartości `z' (rzędu z=1000) i wykazuje fluktuacje temperatury na poziomie Analizowano bardzo starannie rozmiary kątowe tych fluktuacji (a ściślej - widmo tych rozmiarów kątowych). Można teoretycznie (przy pewnych rozsądnych założeniach) określić jakie rozmiary kątowe fluktuacji powinny dominować w zależności od geometrii wszechświata. Dla modelu płaskiego powinno to być . I taki właśnie rezultat otrzymano z analizy danych dla promieniowania reliktowego. Jak więc widać, tzw. „odległość kątowa” okazała się wielce przydatną wielkością i pozwoliła na stwierdzenie, że - z dużym poziomem ufności - wszechświat jest płaski.