Badanie funkcji

1. Monotoniczność funkcji

R - zbiór liczb rzeczywistych

Definicje

Funkcja f(x) rosnąca lub malejąca na zbiorze A nazywa się funkcją monotoniczną na A.

Funkcja f(x) ściśle rosnąca lub ściśle malejąca na zbiorze A nazywa się funkcją ściśle monotoniczną na A.

Twierdzenie (warunek wystarczający)

• Jeżeli f′ (x) > 0 dla każdego x ∈ (a,b), to funkcja f(x) jest ściśle rosnąca w tym przedziale.

• Jeżeli f′ (x) < 0 dla każdego x ∈ (a,b), to funkcja f(x) jest ściśle malejąca w tym przedziale.

Przykład

f(x) = x³+3x²-7

f′ (x) =3x² +6x =3x(x+2)

f′ (x) =0 dla x=0 lub x=-2

f′ (x) > 0 dla x ∈ (-∞, -2) ∪ (0, +∞) -

funkcja jest ściśle rosnąca

f′ (x) < 0 dla x ∈ (-2, 0) -

funkcja jest ściśle malejąca

2. Ekstremum lokalne

Definicje

Funkcja f(x) ma w punkcie x₀ maksimum lokalny, gdy istnieje takie sąsiedztwo S(x₀, δ), że dla ∀ x ∈ S jest spełniona nierówność:

f(x) ≤ f(x₀)

Definicje

Funkcja f(x) ma w punkcie x₀ minimum lokalny, gdy istnieje takie sąsiedztwo S(x₀, δ) że dla ∀ x ∈ S(x₀, δ) jest spełniona nierówność:

f(x) ≥ f(x₀)

Maksimum i minimum lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.

Ekstremum jest nazywane właściwym, gdy zamiast nierówności nieostrej jest spełniona jest nierówność mocna, tzn.:

f (x) < f (x₀)

w przypadku maksimum właściwego, oraz

f (x) > f (x₀)

w przypadku minimum właściwego.

Warunek konieczny istnienia ekstremum:

Twierdzenie (Fermata).

Jeżeli funkcja różniczkowalna f(x) ma w punkcie x₀ ekstremum, to f ′(x₀) =0.

Przykład 1.

f(x) = x⁵

f ′(x) = 5x⁴

f ′(x)=0 ⇒ x=0

Ale w punkcie x₀ =0 funkcja f(x) nie ma ekstremum.

Przykład 2.

f(x) = | x|

Pochodna tej funkcji w punkcie x=0 nie istnieje,

ale f_min = 0.

Wniosek 1.

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x₀ i

f ′(x₀) ≠ 0, to funkcja f(x) nie ma w punkcie x₀ ekstremum lokalnego.

Wniosek 2.

Funkcja f(x) może mieć ekstremum tylko w punktach, w których pochodna nie istnieje albo jest równa zero.

Definicje

∀x ∈D_f dla którego f ′(x)=0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f (x), a wszystkie punkty stacjonarne oraz punkty w których pochodna nie istnieje, nazywamy punktami krytycznymi.

Warunek wystarczający istnienia ekstremum:

Twierdzenie.

Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x₀, jest różniczkowalna na jego sąsiedztwie i pochodna funkcji f (x) zmienia znak w sąsiedztwie tego punktu, to ma ona w tym punkcie x₀ ekstremum właściwe i jest to:

• maksimum lokalne, gdy zmienia się znak + na -

• minimum lokalne, gdy zmienia się znak - na +

Jeśli pochodna funkcji f (x) ma stały znak w sąsiedztwie punktu x₀, to funkcja f (x) w tym punkcie x₀ ekstremum nie posiada.

Przykład 3.

Znajdź ekstremum i przedziały monotoniczności funkcji:

f(x) = x³ -12x² +36x +8

1. D_f =R

2. f ′(x) = 3x² - 24x +36

3. D_{f ′} =R

4. f ′(x) = 0 ⇒ 3x² -24x + 36 =0 ⇒ x² - 8x + 12 =0

x₁ = 2, x₂ = 6

5. f ′(x) > 0 ⇒ x² - 8x + 12 > 0 ⇒

x ∈ (-∝, 2) ∪ (6, ∝)

6. f ′(x) < 0 ⇒ x² - 8x + 12 < 0 ⇒

x ∈ ( 2, 6)

x	(-∝, 2)	2	( 2, 6)	6	(6, ∝)
f ′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↑	Max	↓	min	↑

Dla x = 2 mamy maksimum lokalny

f_max = f( 2 )= 40

A(2, 40) - punkt maksimum lokalnego

Dla x = 6 mamy minimum lokalny

f_min = f( 6 )= 8

B(6, 8) - punkt minimum lokalnego

Odp. Funkcja rośnie w przedziałach (- ∝, 2) oraz (6, ∝) i maleje w przedziale ( 2, 6).

Funkcja posiada maksimum lokalny w punkcie A(2,40).

Funkcja posiada minimum lokalny w punkcie B(6,8).

Przykład 4.

Znajdź ekstremum i przedziały monotoniczności funkcji:

f(x) = x³ + 3x² -24x +17

1. D_f =R

2. f ′(x) = 3x² + 6x - 24

3. D_{f ′} =R

4. f ′(x) = 0 ⇒ 3x² + 6x - 24 =0 ⇒ x² + 2x - 8 =0

x₁ = - 4, x₂ = 2

5. f ′(x) > 0 ⇒ x² + 2x - 8 > 0 ⇒

x ∈ (-∝, - 4) ∪ (2, ∝)

6. f ′(x) < 0 ⇒ x² + 2x - 8 < 0 ⇒

x ∈ (- 4, 2)

x	(-∝, - 4)	- 4	(- 4, 2)	2	(2, ∝)
f ′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↑	max	↓	min	↑

Dla x = - 4 mamy maksimum lokalny

f_max = f(-4)=97

A(-4, 97) - punkt maksimum lokalnego

Dla x = 2 mamy minimum lokalny

f_min = f(2)= - 11

B(2, -11) - punkt minimum lokalnego

Odp. Funkcja rośnie w przedziałach (- ∝, - 4) oraz (2, ∝) i maleje w przedziale (- 4, 2).

Funkcja posiada maksimum lokalny w punkcie A(- 4,97).

Funkcja posiada minimum lokalny w punkcie

B(2, -11).

Przykład 5.

Znajdź ekstremum i przedziały monotoniczności funkcji:

f(x) = e^x(x² +2x +1)

1. D_f =R

2. f ′(x) = e^x(x² +2x +1) + e^x(2x + 2) = e^x(x² +4x +3)

3. D_{f ′} =R

4. f ′(x) = 0 ⇒ x² +4x +3 = 0 ⇒

x₁ = - 1, x₂ = -3

5. f ′(x) > 0 ⇒ x² + 4x + 3 > 0 ⇒

x ∈ (-∝, - 3) ∪ (- 1, ∝)

6. f ′(x) < 0 ⇒ x² + 4x + 3 < 0 ⇒

x ∈ (- 3, - 1)

x	(-∝, - 3)	- 3	(- 3, - 1)	-1	(- 1, ∝)
f ′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↑	max	↓	min	↑

Dla x = - 3 mamy maksimum lokalny

f_max = f(- 3)= 4e^-3

A(-3, 4e^-3) - punkt maksimum lokalnego

Dla x = - 1 mamy minimum lokalny

f_min = f(-1) = 0

B(-1, 0) - punkt minimum lokalnego

Odp. Funkcja rośnie w przedziałach (- ∝, - 3) oraz (-1, ∝) i maleje w przedziale (- 3, -1).

Funkcja posiada maksimum lokalny w punkcie

A(-3, 4e^-3).

Funkcja posiada minimum lokalny w punkcie

B(-1,0).

Twierdzenie.

Niech funkcja f (x) jest ciągła i ma ciągłe pochodne aż do rzędu n włącznie w przedziale (a,b). Jeśli x₀ ∈(a,b)

oraz

f ′(x₀) = f ′′ (x₀) = … = f^(n-1) (x₀) =0,

ale f⁽ⁿ⁾ (x₀) ≠ 0. Wtedy

• jeśli n jest liczbą parzystą, to w punkcie x₀ funkcja osiąga ekstremum lokalne (maksimum, gdy f⁽ⁿ⁾ (x₀) < 0 oraz minimum, gdy f⁽ⁿ⁾ (x₀) > 0);

• jeśli n jest liczbą nieparzystą, to w punkcie x₀ funkcja nie osiąga ekstremum.

Przykład 6.

Znajdź ekstremum funkcji:

f(x) = x³ + 3x² -24x +17

1. D_f =R

2. f ′(x) = 3x² + 6x - 24

3. f ′(x) = 0 ⇒ 3x² + 6x - 24 =0 ⇒ x² + 2x - 8 =0

x₁ = - 4, x₂ = 2

4. f ′′(x) =6x+6;

5. f ′′(x₁) = f ′′(-4) =-18 < 0, n=2 ⇒

Dla x₁ = -4 mamy maximum lokalny.

f_max = f(-4) = 97

A(-4, 97) - punkt maximum lokalnego.

6. f ′′(x₂) = f ′′(2) =18 > 0, n=2 ⇒

Dla x₂ = 2 mamy minimum lokalny.

f_min = f(2)= - 11

B(2, -11) - punkt minimum lokalnego.

2. Wklęsłość i wypukłość wykresu funkcji

Definicje 1

Funkcja f(x) jest wypukła (odp. wklęsła) na przedziale (a,b), jeśli odcinek łączący dwa dowolne punkty wykresu tej funkcji leży nad tym wykresem (odp. pod wykresem) z wyjątkiem końców odcinka.

Definicje 2

Funkcja f(x) jest wypukła (odp. wklęsła) w punkcie x₀, jeśli istnieje takie sąsiedztwo S=S(x₀, δ), że dla ∀(x ∈S)

punkty P(x, f(x)) wykresu leżą powyżej (odp. poniżej) stycznej poprowadzonej do wykresu w punkcie o odciętej x₀.

1. funkcja jest wklęsła

2. funkcja jest wypukła

Definicje 3

Funkcja f(x) jest wypukła (odp. wklęsła) na przedziale

(a,b), jeśli jest wypukła (odp. wklęsła) w każdym punkcie x ∈ (a,b).

1. funkcja jest wklęsła

2. funkcja jest wypukła

Twierdzenie.

Niech funkcja f (x) jest dwukrotnie różniczkowana na przedziale (a,b). Jeśli

• f ′′ (x) > 0 dla ∀x ∈(a,b), to f(x) jest wypukła na tym przedziale;

• f ′′ (x) < 0 dla ∀x ∈(a,b), to f(x) jest wklęsła na tym przedziale.

Przykład 7.

Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:

f(x) = x⁴ - 6x²

1. D_f =R

2. f ′(x) = 4x³ - 12x

3. f ′′(x) = 12x² -12 = 12(x² - 1) = 12 (x-1)(x+1)

f ′′(x) > 0 dla x ∈ (- ∝, -1) ∪ (1, ∝)

4. f ′′(x) < 0 dla x ∈ (-1, 1)

X	(- ∝, -1)	(-1, 1)	(1, ∝)
f ′′(x)	+	-	+
f(x)	∪	∩	∪

Odp. Funkcja jest wypukła dla x ∈ (- ∝, -1) ∪ (1, ∝)

i jest wklęsła dla x ∈ (-1, 1).

Przykład 8.

Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:

f(x) = x lnx

1. D_f =R⁺ = {x ∈R : x>0}

2. f ′(x) = lnx +x ⋅1/x= 1 + lnx

3. D_{f ′} =R⁺ = {x ∈R : x>0}

4. f ′′(x) = 1/x

5. f ′′(x) > 0 dla ∀x (x ∈ D_f )

Odp. Funkcja jest wypukła dla ∀x (x ∈ D_f ).

3. Punkty przegięcia wykresu funkcji

Definicje

Punkt P(x₀, f(x₀)) nazywamy punktem przegięcia krzywej o równaniu y=f(x), jeżeli funkcja f(x) jest ciąga w punkcie x₀ oraz jest wklęsła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x₀ i wypukła w pewnym prawostronnym jego sąsiedztwie albo na odwrót.

Twierdzenie.

Warunkiem koniecznym na to, aby punkt P(x₀, f(x₀)) był punktem przegięcia krzywej o równaniu y=f(x), jest

f ′′(x₀) =0

Twierdzenie (warunek wystarczający).

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀, dwukrotnie różniczkowalna na sąsiedztwie tego punktu i druga pochodna funkcji f(x) zmienia znak przy przejściu przez x₀, to punkt P(x₀, f(x₀)) jest punktem przegięcia krzywej o równaniu y=f(x).

Przykład 9.

Wyznaczyć punkty przegięcia funkcji

f(x) = x⁴e^-x

f ′(x) = 4x³e^-x -x⁴e^-x = (4x³ -x⁴ )e^-x

f ′′ (x) = (12x²-4x³)e^-x - (4x³ -x⁴ )e^-x = (x⁴- 8x³+ 12x²)e^-x = x²(x² - 8x + 12)e^-x

f ′′ (x) = 0 dla x=0, x=2, x=6.

f ′′ (x) < 0 dla (x² - 8x + 12) < 0 ⇒ x ∈ (2,6)

f ′′ (x) > 0 dla (x² - 8x + 12) > 0 ⇒

x ∈ (- ∝, 2) ∪ (6, ∝), x ≠0

x	(- ∝, 0)	0	(0, 2)	2	(2,6)	6	(6, ∝)
f ′′ (x)	+	0	+	0	-	0	+
f (x)	∪	0	∪	p.p.	∩	p.p.	∪

f(2)= 16e^-2, f(6) = 6⁴e^-6.

Odp. Punkty P₁(2, 16e^-2) oraz P₂(6, 6⁴e^-6 ) są punktami przegięcia funkcji f(x).

Twierdzenie (warunek wystarczający).

Jeżeli funkcja f(x) spełnia następujące założenia:

Ma w pewnym sąsiedztwie punktu x₀ pochodne do rzędu n (n ≥ 3) włącznie;

• f⁽ⁿ⁾(x) jest ciągła w punkcie x₀;

• f ′′ (x₀) = f ′′′ (x₀) = … = f ^(n-1)(x₀)= 0;

• f⁽ⁿ⁾(x₀) ≠ 0;

• n jest liczbą nieparzystą,

to punkt P(x₀, f(x₀)) jest punktem przegięcia krzywej o równaniu y=f(x).

Przykład 10.

Wyznaczyć punkty przegięcia funkcji

f(x) = x⁵ - x + 3

f ′(x) = 5x⁴ - 1

f ′′ (x) = 20x³

f ′′′ (x) = 60x²

f⁽⁴⁾(x) = 120x

f⁽⁵⁾(x) = 120

Dla x=0

f ′(x) = f ′′ (x) = f ′′′ (x) = f⁽⁴⁾(x) =0

oraz

f⁽⁵⁾(x) = 120 ≠ 0

n=5 - liczba nieparzysta ⇒ punkt P(0,3) jest punktem przygięcia wykresu funkcji f(x).

4. Asymptoty wykresu funkcji

Definicje

Jeśli funkcja f(x) jest określona w przedziale ( -∝, m), gdzie m ∈R, to prosta y = cx+d jest asymptotą ukośną (lub poziomą, gdy c=0) lewostronną wykresu funkcji y=f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy

Definicje

Jeśli funkcja f(x) jest określona w przedziale ( m, ∝), gdzie m ∈R, to prosta y = ax+b jest asymptotą ukośną (lub poziomą, gdy a=0) prawostronną wykresu funkcji y=f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy

Definicje

Prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną (albo poziomą, gdy a=0) obustronną krzywej y=f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ukośną (poziomą) lewostronną i prawostronną tej krzywej.

Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczający).

Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby wykres funkcji f(x) miał asymptotę ukośną y = ax+b, jest istnienie dwóch granic właściwych:

1)
oraz

lub

2)
oraz

Przykład 11.

Wyznaczyć asymptoty funkcji

f(x) =

1)

a=1

2)

b=0

Zatem a=1, b=0. Prosta y=x jest asymptotą ukośną obustronną.

Definicje

Prostą o równaniu x=a nazywamy asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji f(x), gdy:

lub

Definicje

Prostą o równaniu x=a nazywamy asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji f(x), gdy:

lub

Definicje

Prostą o równaniu x=a nazywamy asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji f(x), gdy jest jednocześnie asymptotą pionową prawostronną i lewostronną.

Przykład

f(x) = 2^1/x

y = 1 - asymptota pozioma obustronna

x = 0 - asymptota pionowa prawostronna

Przykład

x=π/2+πk ( k∈Z) - asymptoty pionowe obustronne

Przykład

x = x₀ - asymptota pionowa obustronna

Przykład 12.

Wyznaczyć asymptoty funkcji

D_f = R \ {-1}

oraz

Zatem prosta x=-1 jest asymptotą pionową obustronną funkcji f(x).

5. Ogólny schemat badania przebiegu funkcji

I. Analiza funkcji.

• Dziedzina funkcji.

• Szczególne własności funkcji: parzystość, nieparzystość, okresowość itp.

• Punkty przycięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych.

• Ustalenie znaku funkcji.

• Granice funkcji na końcach przedziałów określoności.

• Punkty nieciągłości funkcji.

• Asymptoty funkcji.

II. Analiza pierwszej pochodnej.

• Obliczamy pierwszą pochodną.

• Dziedzina pierwszej pochodnej i jej punkty nieciągłości.

• Przedziały monotoniczności.

• Ekstrema lokalne funkcji.

III. Analiza drugiej pochodnej.

• Obliczamy drugą pochodną.

• Dziedzina drugiej pochodnej i jej punkty nieciągłości.

• Przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji.

• Punkty przegięcia wykresu funkcji.

IV. Ostateczny szkic wykresu funkcji.

Przykład 13.

f(x) = xe^x

1. Df=R - funkcja jest ciąłga

2. f(-x) = -xe^-x ≠ f(x) - funkcja nie jest parzystą

3. f(-x) = -xe^-x ≠ - f(x) = -xe^x - funkcja nie jest nieparzystą

4. 
   

5. 
   

6. f(x)=0 ⇒ xe^x = 0 ⇒ x=0 ⇒ (0,0) - punkt przecięcia funkcji z osiami układu współrzędnych.

7. Ponieważ f(x) jest ciągła, nie posiada asymptot pionowych.

8. Ponieważ

a=0

,

b=0

y=0 jest asymptotą poziomą lewostronną.

9. Ponieważ

funkcja nie posiada asymptoty ukośną.

10. Obliczamy pierwszą pochodną:

f ′(x) = e^x + xe^x = (1+x)e^x.

Ponieważ e^x > 0 dla ∀x,

a) f ′(x) = 0 ⇔ 1 +x=0 ⇔ x = -1;

b) f ′(x) > 0 ⇔ 1+x >0 ⇔ x ∈(-1, ∝)

c) f ′(x) < 0 ⇔ 1+x <0 ⇔ x ∈(- ∝, -1)

funkcja rośnie dla x ∈(-1, ∝)

funkcja maleje dla x ∈(- ∝, -1)

x=-1 - punkt minimum lokalnego

f_min = f(-1) = -e^-1.

11. Obliczamy drugą pochodną:

f ′′ (x) = e^x + (1+x)e^x = (2+x)e^x.

a) f ′′ (x) = 0 ⇔ 2 +x=0 ⇔ x = -2;

b) f ′′ (x) > 0 ⇔ 2+x >0 ⇔ x ∈(-2, ∝)

c) f ′′ (x) < 0 ⇔ 2+x <0 ⇔ x ∈(- ∝, -2)

funkcja f(x) jest wypukła dla x ∈(-2, ∝)

funkcja f(x) jest wklęsła dla x ∈(- ∝, -2)

x=-2 - jest punktem przegięcia

Przykład 14.

---