Prognozowanie i stymulacje - lab. 19.10.2003

WYKŁAD 2

Dr hab. profesor WSEI

Bartłomiej Beliczyński

http://acn.waw.op/barbel

Prognozowanie na podstawie szeregów czasowych

WYGŁADZANIE WYKŁADNICZE (inercja; dyskretna inercja

filtr inercyjny pierwszego rzędu)

zmienna objaśniająca u_t x_t zmienna objaśniana

zmienna wejściowa zmienna wyjściowa

sygnał wejściowy sygnał wyjściowy

x_t = au_t-1 + (1 - a) x_t-1

a - parametr

Model inerci (model bez wartości)

t = 0,1,2, → chwile czasowe

x_t - wartość zmiennej X w chwili t.

x_t-1 - wartość zmiennej X w chwili t-₁.

T - okres - stały okres.

a - stały współczynnik (parametr) np. a =0,5

t - 0 T, 2 T, 3 T.

t - 0, 1, 2 ,

u_t = 0

x_t - zakładamy wartość np. 0 warunek początkowy przyjmujemy

początkowy x np.0

równanie regurencyjne

t	ut	ut-1	aut-1	xt	xt-1	(1 - a) xt-1
0	1 ^U^0	0	0	0 ^x^0	0	0
1	1 ^U^1	1 ^U^0	0,5	0,5 ^x^1	0 ^x^0	0
2	1	1 ^U^1	0,5	0,75 ^x^2	0,5 ^x^1	0,25
3	1	1	0,5	0,875 ^x^3	0,75 ^x^2	0,375
4	1	1	0,5	0,937 ^x^4	0,875^x^3	0,437

Model wygładzania wykładniczego

Model jednostkowej zmiennej

1

0

-2 -1 1 2 3 4 czas

Aby dokładnie wygładzić należy zmniejszyć a (parametr)

1

0

-2 -1 1 2 3 4 czas

a=0,5

0

1 2 3 4

a=0,8

0,5

0,4

0,2 a=0,5

0

1 2 3 4 5 6

y = ex (0,05 t) = 0,5 sin (10 t)

-0,5 5 10 15 20 25 30 35 40

-0,5 5 10 15 20 25 30 35 40

T= 0,01 a = 0,01

a= 0

x_t = x_t-1

Sygnał czasowy u nie zależy od wyjścia.

a=1 x_t = u_t-1 podstawiamy a=1 do wzoru

x_t = au_t-1 = (1-a) x_t-1

x_t = 1u_t-1 = (1-1) x_t-1

0

x_t = 1u_t-1

a=-1 x_t = - u_t-1+2x_t-1 → x_t = 2x_t-1 jest dwa razy większe

x₀ = 1

t	xt
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16

u_t

1

0

-2 -1 1 2 3 4 czas

x_t

0

-2 -1 1 2 3 4 czas niestabilność

NIESTABILNOŚĆ

Niech a=-1, x₀=1, u_t=0

Model jest niestabilny, jeśli dla pewnego ograniczonego sygnału wejściowego, sygnał wyjściowy wraz z czasem dążą do nieskończoności - sygnał wyjściowy wraz z czasem jest nieograniczony.

Model jest stabilny, jeżeli dla każdego ograniczonego sygnału wejściowego i każdych warunków początkowych odpowiedź modelu (sygnał wyjściowy) jest ograniczona.

x_t = au_t-1 + (1 - a) x_t-1

W przypadku, kiedy x_t jest z prawej strony to model jest niestabilny.

Model średniej ważonej nie ma rekurencji.

X wyliczone może wzrastać na podstawie tzw. pętli czasowej.

x_t = x_t-1

-1 ≤ ≤1 warunek stabilności równania wygładzania wykładniczego

dla modelu

-1≤ 1 i 1-a ≤1

a≤ 2 i a≥ 0

WARUNEK STABILNOŚCI

aЄ [ 0,2] → to nie będzie otrzymywać dziwnych zachowań (należy zapisać w Solwerze).

Ważniejsza jest stabilność

y_t = a₁y_t-1 + b₁u _t-1 + b₂u_t-1 równanie ARMA

U Y

U - wejście

Y - wyjście

A1 - decyduje o stabilności.

y_{t -} jest niestabilne - bo jest regulencja dlatego jest niestabilne

Jaki jest warunek stabilności?

-1 ≤ a₁ ≤ 1 - warunek stabilności

Na egzaminie napisać model ARMA i podać warunek stabilności.

y_t = a₁y_t-1 + b₁u _t-1 + b₂u_t-1

-1 ≤ a₁ ≤ 1 - warunek stabilności

y_t = a₁y_t-1 + a₂u _t-1 + by_t-1

1,5

0,5

0,5

0 1 2 3 4 5 6

Prognozowanie na podstawie modelu wygładzania wykładniczego.

y_t* = ay_t-1 + (1 - a) y_t-1 *

y_t* - prognoza zmiennej Y wyznaczona na moment lub okres t.

y_t - wartość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie t.

y₁ y₁*

y₂ y₂*

. .

y= . y*= .

. .

y_n y_n*

n - teraźniejszość

* - to co z gwiazdką to przeszłość (oznacza prognozę)

y₁ - y₁*

y₂ - y₂*

.

y- y*= .

.

y_n - y_n*

w = │ y- y*│²

w - wskaźnik odległości dwóch krzywych

w minimalizujemy względem a uzyskując parametr a_0.

PROGNOZA NA JEDEN KROK W PRZÓD

y*_n-1= a₀y_n +(1 - a) y_n *

Prognozowanie PROGNOZA NA JEDEN KROK W PRZÓD

Dany wektor realizacji wartości y dla kolejnych chwil czasowych.:

1. Wyliczamy aЄ [ 0,2] i wyprowadzamy wektor y*_t wskaźnik jakości

w = │ y- y*│²

2. Używając Solvera wyznaczamy a= a₀ minimalizujące w (min w).

3. Dla a obliczamy w dwa tj. a₀ wyznaczamy równanie prognozy.

y*_n+1= a₀y_n +(1 - a₀) y *_n

ŚREDNIA RUCHOMA (WARZONA)

y*_t = w₁y_{t - 1} + w₂y_{t - 2} + w₃y_{t - 3}

_n

∑ w₁= 1

ⁱ⁼¹

Równanie nie rekurencyjne nie ma problemu stabilności.

Nie ma rekurencji.

Wejście Wyjście

y y*

y_t = c

t - constans (stała) 0,1,2....n

to y*_t = c t = 0, ........

c = w₁ c + w₂ c + . . . + w_n c / c

1 = w₁ + w₂ + . . . + w_n

MODEL HOLTA

F_{t - 1} = ay_{t - 1} + (1 - a) (F_{t - 2} + S _{t - 2} )

S _{t - 1} = b (F_{t - 1} - F _{t - 2} ) + (1 - b) S _{t - 2}

F_{t - 1} - wygładzona wartość prognozowania

S _{t - 1} - wygładzona wartość przyrostu trendu

a, b - parametry

ALTERNATYWNY MODEL TYPU HOLTA

F_{t - 1} = ay_{n - 1} + (1 - a) F_{t - 2}

S _{t - 1} = b (F_{t - 1} - F _{t - 2} ) + (1 - b) S _{t - 2}

a, b - parametry z przydziału [0,2]

RÓWNANIE PROGNOZY

Możemy robić prognozę na więcej niż jeden krok w przód.

y*_t = F_n +(t - n) S_n t > n

1

Model

Równanie

matematyczne

(1- a) aaa)

(1- a) aaa)

---