Geoida - jest powierzchnią prawie stałego potencjału siły ciężkości, jest powierzchnią zamkniętą, otaczającą cały glob ziemski, o strukturze mocno pofałdowanej, nieregularnej. Jej struktura geometryczna pokrywa się ze strukturą geometryczną powierzchni elipsoidy, dlatego aproksymuje się ją powierzchnią elipsoidy obrotowej spłaszczonej, ale tylko wtedy gdy powierzchnia elipsoidy w stosunku do geoidy jest odpowiednio zorientowana.

Elipsoida jako powierzchnia oryginału musi spełniać warunki:

-masa elipsoidy równa masie Ziemi

-środek elipsoidy znajduje się w środku masy Ziemi

-oś obrotu elipsoidy pokrywa się z osią obrotu geoidy

-parametr metryczny a i parametr strukturalny e powierzchni elipsoidy dobrany z warunku na minimum sumy różnic wartości potencjału na elipsoidzie i na geoidzie w odpowiadających sobie punktach przyporządkowanych przez linie działania siły ciężkości

Przekroje normalne - przekroje zawierające normalną do powierzchni w danym punkcie

Przekroje normalne główne - przekroje normalne o największej i najmniejszej krzywiźnie:

-przekrój południkowy - najmniejszy promień krzywizny (największa krzywizna)

-przekrój poprzeczny - największy promień krzywizny (najmniejsza krzywizna)

Warunki aby kula była powierzchnią oryginału (elipsoida obrotowa spłaszczona):

-opracowania małoskalowe

Wyznaczenie promienia kuli:

-pole powierzchni kuli = pole powierzchni elipsoidy

-objętość kuli = objęt elipsoidy

-średnia arytmetyczna półosi elipsoidy

-średnia geometryczna promieni krzywizny przekrojów głównych

Układ współrzędnych azymutalnych:

G,G₁- 2 diametralnie przeciwległe punkty nie pokrywające się z biegunami N,S

Almukantaraty- okręgi, które powstają po przecięciu się z powierzchnią kuli płaszczyzn prostopadłych do osi GG₁ (równoległe do wielkiego koła horyzontalnego)

Wertykały- półokręgi, które powstają po przecięciu się powierzchni kuli płaszczyzną przechodzącą przez oś GG₁

h,α- współrzędne azymutalne

α ∈(0^°,360^°) h∈(0^°,90^°)

α ∈(0^°,180^°) h∈(0^°,-90^°)

Powierzchnia regularna - powierzchnia opisana równaniem wektorowym
i dla każdego punktu tej powierzchni spełniona jest nierówność
oraz wektory pochodnych cząstkowych r_u, r_v są klasy C¹ (ciągłe i 2-krotnie różniczkowalne)

Odwzorowanie powierzchni w powierzchnię - przyporządkowanie punktom jednej powierzchni punkty 2 powierzchni. Powierzchnię I nazywa się powierzchnią oryginału, a II powierzchnią obrazu w odwzorowaniu.

- funkcje odwzorowawcze:

Funkcje odwzorowawcze w odwzorowaniu regularnym:

-jednoznaczne (każdej parze wartości U,V odpowiada jedna para wartości u,v)

-ciągłe i dwukrotnie różniczkowalne

-wzajemnie niezależne, tzn. warunek
dla wszystkich par wartości U,V

Odwzorowanie kartograficzne - odwzorowanie regularne powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej lub kuli w płaszczyznę

Skala główna odwzorowania - μ₀ - wyraża stosunek zmniejszenia wymiarów liniowych, pomniejszenie powierzchni oryginału (odwzorowanie przez podobieństwo), jest liczbą rzeczywistą w postaci

Elementarna skala zniekształceń długości - jest to stosunek odpowiadających sobie elementarnych łuków na powierzchni obrazu i na powierzchni oryginału
ds- element łuku na powierzchni oryginału, ds'- element łuku na powierzchni obrazu; jest funkcją 3 zmiennych: współrzędnych (u,v) wyznaczających położenie punktu na powierzchni oryginału oraz kąta kierunkowego A elementu łuku ds na powierzchni oryginału μ=μ(u,v,A);

Elementarne zniekształcenie długości - odchylenie elementarnej skali zniekształceń długości od jedności z_μ=μ-1

I Twierdzenie Tissota - w dowolnym odwzorowaniu regularnym jednej powierzchni regularnej na drugą istnieje przynajmniej jedna, a jeśli odwzorowanie nie jest równokątne to tylko jedna siatka ortogonalna na powierzchni oryginału, której obraz na drugiej powierzchni będzie również siatką ortogonalną. Siatki te nazywamy siatkami krzywych głównych.

II Twierdzenie Tissota - w dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej regularnej powierzchni na drugą obrazem jednostkowego okręgu wyznaczonego w płaszczyźnie stycznej w dowolnym punkcie powierzchni oryginału jest elipsa, której półosie są równe elementarnym skalom długości w kierunkach głównych. Jest to elipsa Tissota - elipsa zniekształceń odwzorowawczych. Promień wodzący tej elipsy jest elementarną skalą zniekształceń długości.

Elipsa zniekształceń odwzorowawczych - równanie elipsy:

μ- promień wodzący elipsy, elementarna skala zniekształceń długości w kierunku A

m,n- półosie elipsy, ekstremalne skale zniekształceń długości

A_e'- kąt orientacji elipsy, kąt ekstremalnych zniekształceń długości

I Twierdzenie Appoloniusza - μ₁²+μ₂²=m²+n² - suma kwadratów półśrednic sprzężonych elipsy jest równa sumie kwadratów półosi

m²=Pcos²A_e+Qsin2A_e+Rsin²A_e

n²=Psin²A_e-Qsin2A_e+Rcos²A_e

m²+n²=P+R=μ₁²+μ₂²

II Twierdzenie Apoloniusza -
- pole równoległoboku, zbudowanego na półśrednicach sprzężonych elipsy, jest równe polu prostokąta, zbudowanego na osiach elipsy

Elementarna skala zniekształceń pól - stosunek odpowiadających sobie elementarnych pól na powierzchni obrazu i na powierzchni oryginału,
dP- elementarne pole na powierzchni oryginału; dP'- elementarne pole na powierzchni obrazu

Elementarne pole na powierzchni: równanie

Zniekształcenia kątów - Zniekształceniem dowolnego kąta A nazywamy różnicę pomiędzy odpowiadającymi sobie kątami na powierzchni obrazu i powierzchni oryginału; ω=A'-A, gdzie A-kąt pomiędzy krzywymi na powierzchni oryginału; A'-kąt pomiędzy obrazami tych krzywych na powierzchni obrazu

Linia geodezyjna - krzywa na danej powierzchni, taka że w każdym jej punkcie normalna główna tej krzywej jest jednocześnie normalną do powierzchni w tym punkcie. Krzywizna geodezyjna tej linii w każdym jej punkcie jest równa zero. Przebieg linii geodezyjnej na danej powierzchni określa równanie Clairauta rsinA=const

Odwzorowanie geodezyjne - odwzorowania, w których obrazami linii geodezyjnych są linie geodezyjne

Redukcje odwzorowawcze geodezyjne - różnice lub ilorazy zachodzące pomiędzy odpowiadającymi sobie parametrami metrycznymi figury geodezyjnej zlokalizowanej na powierzchni oryginału i odpowiednika redukcyjnego tej figury na powierzchni obrazu. Dotyczą one długości boków, kątów wewnętrznych lub azymutów boków, a także pól figur geodezyjnych

Klasyfikacja odwzorowań kartograficznych w zależności od lokalnych zniekształceń odwzorowawczych:

1. Odwz. Izometryczne

-nie występują zniekształcenia

-dla każdego punktu i kierunku w tym punkcie spełniony jest warunek

-pomiędzy powierzchnią elipsoidy, kuli i płaszczyzną odwzorowania nie występują

-w odwzorowaniach nieizometrycznych mogą istnieć punkty lub pojedyncze linie, dla których kryterium izometrii może być spełnione, zniekształcenia są małe

P=R=1, Q=0

m=n=1

-elipsy zniekształceń - okręgi o promieniu równym 1

2. Odwz. Równokątne

-nie występują zniekształcenia kątów

-dla każdego punktu na powierzchni oryginału spełniony jest warunek A'=A

-elipsy zniekształceń odwzorowawczych mają postać okręgów (promień zależny od położenia punktów)

3. Odwz. Równopolowe

-nie występują zniekształcenia pól

-dla każdego punktu na powierzchni oryginału spełniony jest warunek:

-długość jednej półosi elipsy zniekształceń odwzorowawczych jest równa odwrotności drugiej półosi

4. Odwz. Równoodległościowe

-w pewnym kierunku nie ma zniekształceń długości

Np. w kierunku południka μ_u=1⇒ E'=E - południki zachowują swoją długość

W kier. Równoleżnika μ_v=1⇒ G'=G - równoleżniki zachowują długość

Klasyfikacja odwzorowań kartograf. W zależności od kształtu siatek kartograficznych:

1. Odwz. Azymutalne

-obraz równoleżnika B=const - okręgi kół koncentrycznych o środkach w początku układu współrzędnych prostokątnych płaskich xoy i promieniach ρ(B) zależnych od parametru B

-obraz południka L=const - odcinki linii prostych

2. Odwz. Walcowe

-obraz równoleżników B=const - odcinki linii prostych równoległych do osi y układu współrzędnych prostokątnych płaskich boy

-obraz południków L=const - odcinki linii prostych równoległych do osi x układu współrzędnych prostokątnych płaskich boy

3. Odwz. Stożkowe

-obraz równoleżników B=const - łuki okręgów kół koncentrycznych o środkach w punkcie o współrzędnych x=ρ(B₀), y=0 i promieniach ρ(B) zależnych od parametru B.

-obraz południków L=const - odcinki linii prostych

4. Odwz. Pseudoazymutalne

- obraz równoleżnika B=const - okręgi kół koncentrycznych o środkach w początku układu współrzędnych prostokątnych płaskich xoy i promieniach ρ(B) zależnych od parametru B

-obraz południka L=const - odcinki linii krzywych

5. Odwz. Pseudowalcowe

-obraz równoleżników B=const - odcinki linii prostych równoległych do osi y układu współrzędnych prostokątnych płaskich boy

-obraz południka L=const - odcinki linii krzywych

6. Odwz. Pseudostożkowe

- obraz równoleżnika B=const - odcinki okręgów kół koncentrycznych o środkach w punkcie o współrzędnych x=ρ(B₀), y=0 i promieniach ρ(B) zależnych od parametru B.

-obraz południka L=const - odcinki linii krzywych

7. Odwz. Wielostożkowe

- obraz równoleżnika B=const - odcinki okręgów kół ekscentrycznych o środkach w punktach o współrzędnych x=ρ(B₀), y=0 i promieniach ρ(B) zależnych od parametru B.

-obraz południka L=const - odcinki linii krzywych

Odwzorowania ukośne

Wzory - wprowadzenie w miejsce współrzędnych geograficznych współrzędne azymutalne

Wyznaczenie kształtu obrazów południków i równoleżników układu geograficznego (ϕ,λ) na tle siatki układu (h,α)

Etap I - odtworzenie kształtu siatki obrazów pseudopołudników α=const i pseudorównoleżników h=const w płaszczyźnie odwzorowania

Etap II - wyznaczenie i naniesienie punktów charakteryzujących tzw. Kanwę obrazu układu ϕ=const, λ=const

Etap III - konstrukcja kanwy - obrazów charakterystycznych południków i równoleżników układu geograficznego (ϕ,λ) na tle uprzednio odtworzonej na płaszczyźnie siatki obrazu układu azymutalnego (h, α)

Etap IV - konstrukcja siatki kartograficznej układu (ϕ,λ) całej sfery ziemskiej w płaszczyźnie

Kanwa układu geograficznego:

Składa się z:

-obrazu równika ϕ=0 i obrazu biegunów geograficznych N i S

-obrazu równoleżnika o wartości ϕ=ϕ_G

-obrazu równoleżnika o wartości ϕ=-ϕ_G

-obrazu południka o wartości λ=λ_G

-obrazu południka o wartości λ=λ_G-π

-obrazu południka o wartości λ=λ_G+π/2

-obrazu południka o wartości λ=λ_G-π/2

Punkty charakterystyczne:

-bieguny geograficzne N i S

-2 punkty ekstremalnego oddalenia bieżącego punktu równika ϕ=0 od linii h=0

-2 punkty przecięcia się równika ϕ=0 z linią h=0

-punkt ekstremalnego oddalenia bieżącego punktu równoleżnika ϕ=ϕ_G od linii h=0

-punkt ekstremalnego oddalenia bieżącego punktu równoleżnika ϕ=-ϕ_G od linii h=0

-2 punkty przejścia równoleżnika o wartości ϕ=ϕ_G przez biegun G

-2 punkty przejścia równoleżnika o wartości ϕ=-ϕ_G przez biegun G

-2 punkty przejścia południka o wartości λ=λ_G przez biegun G

-2 punkty przejścia południka o wartości λ=λ_G-π przez biegun G

Współrzędne izometryczne - łuk przedstawiony w postaci
,gdzie σ(u,v) jest dowolną funkcją rzeczywistą parametrów u,v, które są współrzędnymi izometrycznymi. Warunki: F=0 (siatka linii parametrycznych musi być ortogonalna na danej powierzchni, E=G. Właściwości:

-długość elementarnego łuku południka v=const:

-długość elementarnego łuku równoleżnika u=const:

Jeżeli u,v są izometryczne (F=0, E=G), to jednakowe przyrosty parametrów u=v powodują jednakowe przesunięcia punktów wzdłuż lini parametrycznych i odwrotnie.

Odwzorowania konforemne- twierdzenie:

Jeżeli na powierzchni oryginału wprowadzimy współrzędne izometryczne u i V oraz na powierzchni obrazu współrzędne izometryczne ξ i η to dowolne odwzorowanie konforemne jest określone związkiem ξ +iη=f(z)=f(u+iv), gdzie f(u+iv) jest funkcją analityczną zmiennej zespolonej o pochodnej różnej od zera.

Etapy konstruowania:

-odbiór współrzędnych izometrycznych (u,v) na powierzchni oryginału

-odbiór współrzędnych izometrycznych (ξ ,η) na powierzchni obrazu

-odbiór funkcji analitycznej ξ +iη=f(u+iv)

-rozdzielenie tej funkcji na część rzeczywistą i urojoną

Odwzorowanie Gaussa-Krugera - odwzorowanie konforemne powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę spełniające 2 warunki: -południk osiowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej; - elementarna skala zniekształceń długości na południku osiowym jest stała i równa jedności

Interpretacja geometryczna: równokątne, styczne, poprzeczne odwzorowanie elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę

Siatka kartograficzna: Południk osiowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej. Pozostałe południki odwzorowują się na krzywe symetryczne względem prostoliniowego obrazu południka

Rozkład zniekształceń: Izolinie zniekształceń długości tworzą linie równoległe do obrazu południka osiowego, μ=1 na południku osiowym, poza μ>1 - szybko rośnie

Układ współrzędnych prostokątnych płaskich: x pokrywa się z obrazem południka osiowego, y z obrazem równika, liczba układów współrzędnych prostokątnych równa liczbie pasów południkowych

Zastosowanie: mapy topograficzne, układy 1942, 1965, 1992, 2000; wąskie pasy południkowe 3°, 6°, w 1992 pas 10°

Quasi-stereo: metode podał Roussilhe, tworzac odw rownokątne i azymutalne, definicja: jest odwz konforemnym azymutalnym pow EOS w płaszczyzne, odpowiada ono stereograficznemu odw kuli o promieniu R^2=MN PARAMETRY: punkt główny (B,L) oraz elementalrna skala długosci w tym pkt. ROZKŁAD: izolinie zniekształcen maja postac zblizoną do koncentrycznych okręgów wokół obrazu punktu głównego, jeśli w pkt gł skala =1 to poza nim >1. W przypadku przyjęcia w pkt głównym elemenatrnej skali zniekształcen długości <1 w odz obszarze nastepuje zmniejszenie zniekształcen. UKŁAD: poczatek ukladu w pkt głównym, południk osiowy odw się na odcinek linii prostej, os x pokrywa się z obrazem osiowego ZAStosowanie: 65+gugik80

UTM: def: ...konforemnym pow EOS w P, w którym osiowy odwz się na odcinek linii prostej oraz elemenatrna skala zniekszt dł na osiowym jest stała i mniejsza od 1WSPÓŁ: można wyznaczyc na podst wspol wyznaczonych w GK z zaleznosci Xutm=Mo*Xgk oraz Yutm..., gdzie Mo to elementarna skala znieszt dł na pol osiowym. INTER GEOM:rownokatne walcowe poprzeczne sieczne odwz EOS w P, SIATKA oraz UKŁAD:jest podobna jak w przypadku odwz GK, ZAST: wojskowe mapy topo. W zastosowaniach wojskowych jest to odwz 6st pasow poludnikowych. Skala 0.9996.uzyskuje się wtedy koła sieczne rownolegle do plaszczyzny polud osiowego odwzorowujące się bez zniekształcen. W obszarze pomiedzy tymi kołami elementarna skala zniekszt długościjest <1, nastepuje kurczenie, natomiast na zewnatzr >1, wystepuje rozciaganie.

MERCATOR: 1569 rok Mercator sporzadzil mape swiata w rownokątnym odwz walcowym normalnym kuli w płaszczyzne. Odwzorowanie normalne mercatora pow kuli w plaszczyzne, gdy wale jest styczny do rownika można predst wzorami: y=Rλ, x=Rlntan(pi/4+φ/2) SIATKA: obrazami rownoleznikow sa odcinki linii prostych rownoległych do osi y ukladu wsp prost płaskich xoy.obrazami poludnikow sa odcinki linii prostych rownoleglych do osi x ukladu wsp prost plaskich xoy. ROZKŁAD: linie jednakowych znieksztalcen dlugosci w odwz mercatora pokrywaja się z obrazami rownoleznikow. W odzw normalnym stycznym do rownika bez zniekształ odwzorowuje się rownik. W miare oddalania się od rownika na poludnie i polnoc zniekształcenia szybko rosną, loksodoroma (linia przecinająca poludniki pod tym samym kątem) odwzorowuje się na prostą przecinającą obrazy poludników pod tym samym kątem ZASTOSOWANIE: nawigacja do tworzenia map morskich.

---