Wykład nr 11: Algebra w szkole (c.d.). Matematyczne modelowanie w szkole
1. PPM w gimnazjum
Treści
Zapisywanie wyrażeń algebraicznych oraz obliczanie ich wartości liczbowych; wzory skróconego mnożenia.
Przykłady funkcji (również nie liczbowych i nie liniowych); odczytywanie własności funkcji z wykresu.
Równanie liniowe z jedną niewiadomą, nierówność liniowa z jedną niewiadomą; układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi i jego interpretacja geometryczna.
Osiągnięcia
Przeprowadzanie nieskomplikowanych rozumowań matematycznych.
Dostrzeganie, wykorzystywanie i interpretowanie zależności funkcyjnych; inter-pretowanie związków wyrażonych za pomocą wzorów, wykresów, schematów, diagramów, tabel.
W gimnazjum powtarza się algebrę ze szkoły podstawowej. Pojawiają się także nowe tematy. Oto krótkie ich omówienie.
a) Proporcje. Wielkości wprost proporcjonalne. Wielkości odwrotnie proporcjonalne.
Rozpoczyna się na przykład od takiego zadania:
Mała puszka farby wystarczy do pomalowania 4m2 powierzchni. Ile metrów kwadratowych można pomalować, mając do dyspozycji 2 puszki, 5 puszek, 20 puszek?
Definicja
Jeśli wraz ze wzrostem jednej wielkości, druga wielkość rośnie tyle samo, to mówimy, że wielkości te są wprost proporcjonalne.
Wielkości odwrotnie proporcjonalnych dotyczy zadanie:
Załóżmy, że główna wygrana w najbliższym losowaniu gry LOTO wyniesie 120 tys. zł. Jeśli szóstkę trafi jedna osoba, to wygra 120 tys. zł. Jeśli szóstkę trafią 2 osoby, to każda wygra 60 tys. zł, czyli 2 razy mniej, jeśli trafią 4 osoby, to każda z tych osób wygra 15 tys. zł, czyli 4 razy mniej.
Definicja
Gdy wraz ze wzrostem jednej wielkości druga wielkość maleje tyle samo razy, to wielkości te są odwrotnie proporcjonalne.
b) Mnożenie sum algebraicznych.
Modelowanie polega na przykład na wykorzystaniu geometrii (prostokąt z polem odpowiadającym wyrażeniu 
).
c) Wzory skróconego mnożenia.
Pojawiają się wzory: kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów.
d) Układy równań.
Pierwszy etap to wprowadzenie układów równań, metody przeciwnych współczynników i trzech typów układów, oznaczonego, nieoznaczonego i sprzecznego.
e) Funkcje.
Funkcje w szkole zaliczane są do algebry. Pojawiają się różne opisy funkcji: tabelka, graf, opis słowny, wzór, wykres. Definicja funkcji nie jest łatwa. Oto jedna ze szkolnych (gimnazjalnych) definicji:
Każdemu elementowi zbioru X przypisujemy lub, jak często mówimy, przyporządkowujemy dokładnie jeden element zbioru Y; takie przyporządkowanie nazywamy funkcją określoną na zbiorze X, o wartościach w zbiorze Y.
Pojawiają się pojęcia dziedziny funkcji i zbioru wartości funkcji. Uczniowie w gimnazjum bardzo dokładnie poznają funkcję liniową, jej zastosowanie do graficznego rozwiązywania układów równań liniowych. Ponadto podaje się przykłady innych funkcji (proste funkcje kwadratowe, funkcja 
).
Scenariusze lekcji (G)
Pierwsza lekcja na temat wielkości odwrotnie proporcjonalnych.
Pierwsza lekcja na temat kwadratu sumy i kwadratu różnicy.
Pierwsza lekcja na temat układów równań.
Pierwsza lekcja na temat interpretacji geometrycznej układów równań.
Pierwsza lekcja funkcji liniowej.
2. PPM w szkole średniej
Treści
Wielomiany i funkcje wymierne (profil ogólny)
1. Funkcja liniowa.
2. Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki. Wykres funkcji kwadratowej.
3. Rozwiązywanie zadań prowadzących do równań i nierówności stopnia drugiego.
4. Wielomiany. Działania na wielomianach.
5. Dzielenie wielomianów z resztą. Twierdzenie Bézout. Zastosowanie do znajdywania pierwiastków wielomianów metodą rozkładania na czynniki.
6. Działania na wyrażeniach wymiernych. Funkcja homograficzna.
7. Rozwiązywanie równań i nierówności z funkcją homograficzną.
Funkcje i ich własności (profil roszerzony)
1. Różnowartościowość funkcji.
2. Funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe.
3. Przekształcanie wykresu funkcji przez zmianę skali i przez symetrię względem osi.
Wielomiany i funkcje wymierne (profil roszerzony)
1. Wzory Viete'a.
2. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
3. Definicja funkcji wymiernej. Rozwiązywanie równań i nierówności wymiernych.
4. Dwumian Newtona.
Funkcje wykładnicze i logarytmiczne (profil roszerzony)
1. Potęga o wykładniku rzeczywistym.
2. Definicja i wykresy funkcji wykładniczych i logarytmicznych.
3. Proste równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
3. Algebra w geometrii
Przykład
Wysokości w trójkącie lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie.
Uzasadnienie geometryczne oraz uzasadnienie algebraiczne.
Matematyczne modelowanie w szkole
Proces matematycznego modelowania można zilustrować za pomocą następującego diagramu:
Budowanie matematycznych modeli dla demografii, meteorologii, czy epidemiologii wymaga skomplikowanego aparatu matematycznego.
Matematyczne modelowanie dociera dopiero do szkół, dobrze się stało, że w reformie szkoły położono pewien nacisk na znajdowanie przybliżonych matematycznych opisów różnych zjawisk.
1. Lekcja w pierwszej klasie gimnazjum
Przeprowadzona lekcja matematyki w pierwszej klasie gimnazjum dotyczyła następującego problemu:
Na tablicy przyklejono odcisk ręki olbrzyma (kserograficzną odbitkę ręki nauczyciela, odpowiednio powiększoną). Nauczyciel zapytał o propozycje rozwiązania problemu. Uczniowie najpierw zgadywali, po czym jeden z nich, Kuba, zaproponował ułożenie i rozwiązanie następującej proporcji (proporcję tę zapisano na tablicy):
,
gdzie 179 cm to wzrost Kuby, 19,5 cm - długość jego dłoni, 38 cm - zmierzona długość dłoni olbrzyma. W czasie lekcji uczniowie używali kalkulatorów graficznych TI-83, tak więc rachunki związane z powyższym równaniem nie nastręczały żadnego kłopotu. Nauczyciel zapytał jakie wady ma propozycja Kuby. Po długim namyśle padła odpowiedź, że Kuba może mieć nieproporcjonalnie dużą (małą) dłoń, prowadzący lekcję zaproponował więc zebranie wśród 22 uczniów tej klasy o ich wzroście i długości dłoni. Oto autentyczne dane, wpisane do tzw. tabelek statystycznych kalkulatora:
Dane te następnie umieszczono w
układzie współrzędnych, gdzie na
osi OX znajdują się długości dłoni,
na osi OY odpowiadające im wzrosty.
„Obróbka” danych - stworzenie odpowiedniego matematycznego modelu (tutaj wymyślenie wzoru funkcji, opisującej zależność miedzy wzrostem a długością dłoni) sprawiło trochę kłopotu, ponieważ jak widać na powyższym rysunku, punkty są dość rozproszone (dzieci w gimnazjum jeszcze rosną). Niektórzy uczniowie zaproponowali, aby połączyć punkty i utworzyć funkcję „łamaną” (warto z uczniami zastanowić się, dlaczego to nie jest poprawne rozwiązanie: nie zawsze łamana przedstawia wykres funkcji). Nauczyciel podpowiedział, że w tym wypadku warto poszukać funkcji liniowej. Ze względu na duże rozproszenie punktów, znalezienie wzoru funkcji liniowej takiej, aby punkty leżały najbliżej jej wykresu było trudne, wyjaśniono więc, że może to zrobić kalkulator.
Na ekranie pojawiła się prosta regresji liniowej ( nie używano tej nazwy) tzn. prosta, która leży najbliżej danych punktów.
Ostatnią część lekcji wypełniły zadania:
Obliczenie wzrostu olbrzyma ze wzoru
(271,5 cm).
Porównanie tego wyniku z wynikiem otrzymanym przez Kubę.
Dyskusja na temat, czy można jednoznacznie odpowiedzieć, że otrzymaliśmy prawdziwy wzrost olbrzyma.
Obliczenie wzrostu giganta o długości dłoni wynoszącej 120 cm.
Obliczenie długości dłoni Shaqilla O'Neala (gwiazdy NBA), którego wzrost wynosi 216,55 cm.
Wykład nr 12: Matematyczne modelowanie w szkole (c.d.)
Ogólny schemat.
Przykład 1: Ręka olbrzyma.
Rozważania teoretyczne na temat metody najmniejszych kwadratów.
Przykład 2: Dlaczego w Anglii wyginęły strzyżyki?
Przykład 3: Klasyka matematycznego modelowania.
Przykład 4: BSE i CJD.
Literatura
P.Zarzycki, O matematycznym modelowaniu, Matematyka, nr 2, 90-96, 2001
Wykład nr 13: Definiowanie matematycznych pojęć
Przykład - kłopotliwe łamane.
Definiowanie matematycznych pojęć - trochę historii.
. . .
Definiowanie matematycznych pojęć - trochę teorii.
Jakie cechy powinna mieć definicja pojęcia matematycznego używana w szkole?
Literatura
Z.Krygowaka, Zarys dydaktyki matematyki, t.3, WSiP, 1977, str.79-99
Wykład nr 14: Twierdzenia i dowody w szkole
W jakiej formie występują twierdzenia?
O warunku koniecznym, warunku dostatecznym.
Definicja dowodu z „Encyklopedii Szkolnej. Matematyka”.
Pięć typów dowodów matematycznych.
Co to jest rozumowanie indukcyjne?
Pięć równoważnych postaci aksjomatu indukcji.
Aksjomat indukcji (I)
Jeśli S jest dowolnym zbiorem takim, że:
dla dowolnego n , jeśli
, to
to 
.
Zasada maksimum (II)
W każdym niepustym ograniczonym podzbiorze zbioru liczb naturalnych istnieje element największy.
Zasada minimum (III)
W każdym niepustym podzbiorze zbioru liczb naturalnych istnieje element najmniejszy.
Zasada indukcji matematycznej zupełnej (IV)
Niech każdej liczbie naturalnej n przyporządkowane będzie zdanie logiczne p(n). Wówczas z założeń:
zdanie p(1) jest prawdziwe,
dla każdego
, jeśli zdanie p(n) jest prawdziwe, to zdanie p(n+1) jest prawdziwe,
wynika prawdziwość zdań p(n) dla każdego 
.
Zasada indukcji matematycznej zupełnej (V)
Niech każdej liczbie naturalnej n przyporządkowane będzie zdanie logiczne p(n). Wówczas z założeń:
zdanie p(1) jest prawdziwe,
dla każdego
, jeśli zdania p(1), p(2), ..., p(n) są prawdziwe, to zdanie p(n+1) jest prawdziwe,
wynika prawdziwość zdań p(n) dla każdego 
.
UWAGA. 
Przykłady dowodów indukcyjnych.
Wykład nr 15: Twierdzenia i dowody w szkole (c.d.)
Przykłady dowodów indukcyjnych („początek” indukcji, ostrożnie z początkiem, wszystkie koty są czarne, błędy w dowodach indukcyjnych).
Dowody dedukcyjne.
Z 
T
,
Dowody redukcyjne.
Dowód nie wprost.
prawo kontrapozycji
Trudności uczniów związane z dowodzeniem twierdzeniem.
Uczeń przyzwyczajony jest do sprawdzania twierdzeń na kilku przykładach i nie odczuwa potrzeby dowodu rozumowego o ogólnym charakterze.
Na zajęciach z matematyki dowodzi się czegoś, co jest wiadome lub oczywiste.
Trudności z założeniem i tezą. Warto czasami niektóre twierdzenia zapisywać w postaci implikacji.
Złożoność procesu myślowego.
Rozpoznanie tezy i założenia.
Uzasadnienie poprawności każdego kroku.
Przypomnienie stosowanych twierdzeń i definicji.
Opanowanie kolejnych ogniw dowodu.
Opanowanie schematu dowodu.
Ogólny charakter rozważań.
Rozumowania zamiast eksperymentów.
Skróty w dowodach.
Zawiłość dowodu.
Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa w szkole
PPM - treści.
Eksperymenty.
Przykładowe zadania egzaminacyjne.
Przykład 1 (PISA 2003)
Przykład 2 (matura 2005 - profil podstawowy)
Przykład 3 (matura 2005 - profil podstawowy)
Przykład 4 (matura 2005 - profil rozszerzony)
Symulacje
Prognozowanie
Profilaktyka
Opis podobnych zjawisk
Zjawisko
Obserwacje
Dane statystyczne
Matematyczny Model
zastosowania
matematyzacja
Naukowa ekspedycja pracująca w lasach Amazonii znalazła odcisk ręki olbrzyma. Wśród uczestników trwały zażarte dyskusje na temat wzrostu wielkoluda. Zaproponuj swoje rozwiązanie tego problemu.
Definicje
Twierdzenia
Definicje
Twierdzenia
Pojęcia pierwotne
Aksjomaty
DOWÓD - skończony ciąg zdań lub funkcji zdaniowych, który rozpoczyna się od twierdzeń przyjętych jako założenia (tj. od aksjomatów lub twierdzeń teorii, które już w niej udowodniono) i zawiera zdania lub wyrażenia uzyskane z tych założeń zgodnie z prawami logiki; dowód kończy zdanie dowodzone, które staje się twierdzeniem teorii.
Dedukcja [łac.], dedukcyjne wnioskowanie, log. rozumowanie, którego kierunek jest zgodny z kierunkiem → wynikania logicznego, tj. polega na tym, że gdy dana jest racja jako zdanie uznane (za prawdziwe), na jej podstawie uznaje się następstwo; rozumowanie dedukcyjne stanowi zasadę konstruowania → dedukcyjnego systemu.
Redukcja [łac.], redukcyjne wnioskowanie, log. dobieranie do zdania uznanego za prawdziwe (tj. do następstwa) takiego zdania (tj. racji), z którego to pierwsze zdanie wynika; r. jest rodzajem → wnioskowania zawodnego, w którym prawdziwość przesłanek nie gwarantuje prawdziwości wniosku; kierunek tego wnioskowania jest niezgodny z kierunkiem → wynikania logicznego.
Wyszukiwarka