Def. Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej S.=lim S_n ( Szereg zbieżny posiada sumę, rozbieżny jej nie posiada )

Def. Równość dwóch szeregów. Uwaga!! Z równości szeregów wynika równość ich sum, ale nie na odwrót.

Sa_n=Sb_n =Λa_n=b_n

Def. Iloczynu przez liczbę. aSa_n=S(aa_n) gdzie a- stała

Def. Szereg S (a_n+b_n) nazywamy sumą szeregów S a_n , S b_n

Tw. Jeżeli szeregi S a_n; S b_n są zbieżne, a ich sumy wynoszą odpow. S₁ i S₂ to suma S (a_n+ b_n ) wynosi S₁+S₂ natomiast S a a_n= a S₁. (Tw. To działa tylko w tą stronę)

Tw Warunek konieczny zbieżności szeregu: Jeżeli szereg Sa_n jest zbieżny, to lim a_n=0

Dowód:

a_n=S_n-S_n-1 ; lim a_n= lim (S_n-S_n-1) = lim S_n - lim S_n-1 = S-S=0

Szereg geometryczny:

Saq^n-1 lub Saq^k

1. Jeżeli a=0 to szer. zb. & S= 0

2. Jeżeli a≠0 to szer. geom.

-dla q<1 szer. geom. zb. i S=a/1-q

-dla q>1 szer. geom. rozb.

Szereg Dirchleta. S1/n^a , a∈R, dla α>1 sz zbieżny; dla a ≤1 sz rozbieżny.

Szereg naprzemienny Szereg Σ(-1)ⁿ⁺¹a_n, gdzie a_n>0 dla n=1,2,3,… nazywamy szer naprzemiennym.

Tw. Jezeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieżny.

Dowód:

S_n=a₁+ a₂+ a₃+…+ a_n Λ a_n≥0, ciąg S_n jest ciągiem niemalejącym, ciąg ograniczony z góry z założenia. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny ⇒ S_n -jest zbieżny.

Kryterium porównawcze:

Jeżeli wyrazy szeregów Σ a_n i Σ b_n są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna n₀ , że n> n₀ i spełniona jest nierówność a_n≤ b_n, to:

- ze zbieżności szer b_n wynika zbieżność szeregu a_n

- z rozbieżności szeregu a_n wynika rozb szeregu b_n

Dowód:

S_n=Σ a_n - chcemy pokazać, że jest zbieżny.

S_n = S_n0+Σa_k ≤ S_n0 +Σb_k ≤ S_n0 + B;

k= n₀ +1 ciąg sum częściowych S_n =S_n0 + B jest ograniczony stąd wynika zbieżność Σb_k\n z założenia zbieżny i równy B.

Kryterium d'Alamberta:

Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim a_n+1/a_n, to szereg Σa_n o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.

Kryterium Cauchyego:

Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim n√a_n, to szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.

Kryterium całkowe:

Niech funkcja f(x) będzie funkcją ciągłą, malejącą i dodatnią dla x≥ n₀∈N wówczas war koniecznym i dostatecznym zbieżności takiego szeregu jest zbieżność całki n₀∫^∞ f(x)dx

Kryterium Leibniza:

Jeżeli ciąg {a_n} jest nierosnący oraz lim a_n=0, to szereg naprzemienny jest zbieżny.

[Ciąg nierosnący Λa_n+1≤a_n ]

Kryterium Weierstrassa:

Jeżeli Σa_n liczb. jest zbież i jeżeli
spełniona jest nierówność f_n(x)≤a_n to Σ funkcyjny jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w zbiorze A. Σa_n nazywamy majorantą Σ funkcyjnego.

Dowód:

Σa_n jako zbieżny musi spełniać warunek:

- war. konieczny i dostateczny zb Σ funkcyjnego.

Def: Szereg Σa_n , nazywamy bezwzględnie zbieżnym

jeżeli jest zbieżny Σ złożony z bezwzględnych wartości. Jeżeli Σa_n jest zb. bezwzględnie, to jest zbieżny. (Σa_n )=Σ (a_n). Jeżeli Σ jest zbieżny to nazywamy go warunkowo zbieżnym.

Def. Iloczyn Caychy'ego szeregów:

Szereg Σa_n, gdzie a_n = Σ a_k b_n-k+1; n=1,2...- nazywamy iloczynem Cauchy'ego szeregów Σa_n i Σb_n tzn:

(Σa_n ) (Σb_n ) = Σa_n

(Σa_n ) (Σb_n ) = Σa_n a_k =Σa_k b_n - _k

Twierdzenie: Jeżeli szeregi Σa_n i Σb_n s --> [Author:AS] ą zbieżne i chociaż jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn jest zbieżny.

Def. Ciąg funkcyjny:

Ciąg funkcyjny w zbiorze A jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokł. jednej określonej na tym zbiorze. Funkcję przyporządkowaną liczbie naturalnej n ozn. f_n(x) natomiast cały ciąg będziemy oznaczać {f_n (x) } który po napisaniu daje: (f₁ (x) i f₂ (x), ...). Jeżeli ciąg funkcyjny {f_n(x)}jest określony w A, to dla każdego x₀∈A do funkcji granicznej z ciągu funkcyjnego, otrzymamy konkretny ciąg liczbowy {f_n(x₀)}, który jest zbieżny lub rozbieżny.

Def. Zbieżność ciągu funkcyjnego do funkcji granicznej:

Ciąg funkcyjny {f_n(x)} jest zbieżny w A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy lim_n→∞f_n(x)-f(x) lub f_n(x) _n^e_→∞→ f(x) ⇔ ^Λ_ε>0 ^Λ_x∈Α ^V_s ^Λ_n>s. f_n(x)- f(x)<ε oprócz zbieżności ciągu funkc. mówimy o jego zbieżności jednostronnej, którą ozn. symbolem: Λf_n(x) ^A⇒f(x) ⇔ ^Λ_ε>0 ^V_δ ^Λ_x∈A f_n(x)- f(x)<ε

Dla zb. zwykłej liczba δ ma istnieć dla każdego ε>0 i x∈A

Dla zb. jednostronnej ma mieć jednakową wartość dla całego zbioru A

Ze zbieżności jednostronnej wynika zbieżność zwykła

[f_n(x) ^A⇒ f(x)] ⇒ [f_n(x) ^e→ f(x)]

Tw. Granica jednostajnie zb. ciągu f. ciągłych jest f. ciągłą

Warunek Cauche'go:

Na to aby ciąg f_n(x) był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby Λ_ε>0 V_r że Λ_n>r zachodzi [f_n(x) - f_r(x)]<ε

Tw. Całkowanie szeregu funkcyjnego:

Jeżeli Σf_n(x) o wyrazach ciągłych w przedziale <a,b> jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny to ₀∫^b[Σf_n(x)]dx=Σ₀∫^bf_n(x)dx.

Tw. Różniczkowanie szeregu funkcyjnego:

Jeżeli wyrazy sz. Funkcyjnego mają ciągłe pochodne f^'_n(x) w przedziale <a,b>, Σ funkcyjny Σf_n(x) jest zbieżny w przedziale <a,b> a ponadto sz.Σf'_n(x) jest jednostajnie zbieżny w przedziale <a,b> to:

Def. Promień szeregu potęgowego:

Promieniem R zbieżności Σ potęgowego Σa_nxⁿ nazywamy kres górny zbioru bezwzględnych wartości x dla Σ ten jest Σ zbieżnym.

Tw. Promień szeregu potęgowego:

Jeżeli istnieje granica:

to promień zbieżności szeregu Σa_nxⁿ wynosi:

Tw. Całkowanie szeregu potęgowego:

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału Σ pot. Σ a_nxⁿ tzn. x∈(-R,R) to całka:

przy czym pr. zb. tego szer. jest taki jak szer. wyjściowego.

Dowód: Założenia o całkowaniu szeregu są spełnione dla:

Tw. Różniczkowanie szeregu potęgowego:

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zb. Σ pot. Σ a_nxⁿ to pochodna:
- promień zb. tego Σ jest taki sam jak Σ wyjściowego.

Uzasadnienie: zał. Tw. o różniczkowaniu Σ funkcyjnego są spełnione czyli możemy różniczkować wyraz po wyrazie:

Szereg Taylora:

Niech f będzie funkcją, która ma w pewnym otoczeniu Q punktu x₀ wszystkie pochodne, tzn. jest klasy C^∞. Funkcję taką dla każdego x∈Q-{x₀} i każdego n∈N możemy rozwinąć w Σ Taylora:

Tw. o reszcie Taylora:

Jeżeli istnieje liczba M.>0, że

Spełniona jest nierówność:

czyli funkcja daje się rozwinąć w otoczeniu Q w Σ Taylora.

Dowód:

szacujemy moduł z reszty.

badamy zbieżność Σ z d'Alamberta:

Szereg Fouriera:

Weźmy rodzinę funkcji:

Szereg funkcyjny postaci:

, gdzie a_n i b_n są dowolnymi stałymi nazywamy szeregiem trygonometrycznym. Szereg ten ma okres T=2l.

Warunki Dirchleta:

Mówimy że funkcja f:<a,a+2l)→R ograniczona spełnia w przedziale <a;a+2l>Warunki Dirchleta jeżeli a) funkcja ta jest przedziałem monotoniczna: b) funkcja fest cuągła za wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów w których ma nieciągłość pierwszego rodzaju

Nieciągłość usuwalna Nieciągłość nieusuwalna

Lim f(x)= lim f(x)≠f(x₀) Lim f(x)= lim f(x)

^Χ→X₀^{- Χ→X}₀^{+ Χ→X}₀^{- Χ→X}₀⁺

Twierdzenie: Trygonometryczny szereg Fouriera dla funkcji f. która działa w przedziale f;<a;a+2l>→R spełniająca warunki Dirchleta, jest zbieżny w każdym punkcie przedziału <a; a+2l> przy czym w dowolnym punkcie x₀∈(a;a+2l) w którym f. f: fest ciągła suma szeregu wynosi f(x) natomiast w punktach x₀∈(a;a+2l) w któryvh funkcja f jest nieciągła suma szeregu wynosi
-śr. arytmet. granic jednostronnych

Na krańcach przedziału suma szer. wynosi

---