I. Sposób Clebscha jednolitego zapisu równań momentów zginających

1. Równania momentów zginających we wszystkich przedziałach charakterystycznych muszą być zapisane w tym samym układzie współrzędnych (M, x)

1. W każdym kolejnym przedziale charakterystycznym muszą być powtórzone człony z przedziału poprzedniego.

1. Wszystkie człony równania momentów muszą zawierać mnożniki typu ( x - a_i )^m, gdzie : m - potęga zależna od obciążenia, a_i - współrzędna punktu początkowego i+1 przedziału charakterystycznego.

1. Całkowanie odbywa się względem całych członów ( x - a_i ).

2. W przypadku działania obciążenia rozłożonego w sposób ciągły kończącego się w określonym punkcie belki, spełnienie warunku (2) wymaga przedłużenia tego obciążenia do końca belki jednoczesnym dodaniem na tym odcinku równoważnego mu obciążenia o zwrocie przeciwnym (rys. 1.1).

3. W przypadku działania momentu skupionego należy wprowadzić w równanie momentów również współrzędną tego momentu. Na rys. 1.2 przedstawiono belkę, obciążoną momentem skupionym K. Równanie momentów dla przedziału 2 można napisać
   ; w celu wprowadzenia współrzędnej momentu skupionego, należy je napisać w następujący sposób
   , co oczywiście jest równoważne poprzedniej postaci.

1.1) Przykładowe zadanie wykorzystujące metodę Clebscha do obliczenia osi ugięcia belki.

- warunki brzegowe (w celu wyznaczenia stałych całkowania
.

2.

II. OBLICZANIE UGIĘĆ METODĄ MOHRA

• metoda oparta na formalnej analogii między równaniami różniczkowymi momentów zginających M(x) i równaniem różniczkowym ugiętej osi belki w(x).

+ statyczne warunki brzegowe

+ kinematyczne warunki brzegowe

• przy wyznaczaniu momentów zginających zamiast korzystać z metody całkowania równania różniczkowego (lewa kolumna), korzystaliśmy z twierdzenia o równoważności układu sił zewnętrznych i wewnętrznych - momenty zginające znajdywaliśmy poprzez redukcję obciążenia zewnętrznego. Podobną metodę zastosujemy w odniesieniu do ugięć.

• wprowadźmy następujące oznaczenie:

obciążenie fikcyjne

wówczas :

fikcyjna siła poprzeczna

fikcyjny moment zginający

• pełna analogia równania momentów i równania ugięć wymaga ponadto zgodności stałych całkowania tzn. A i C oraz B i D. Uzyskuje się to poprzez zastąpienie belki rzeczywistej belką fikcyjną (na którą działa obciążenie fikcyjne q^f ) o schemacie statycznym tak dobranym, aby „fikcyjne” statyczne warunki brzegowe (dotyczące Q^f i M^f) dla tej belki odpowiadały kinematycznym warunkom brzegowym (dotyczącym w i w^') belki rzeczywistej.

2.1. Dobór belki fikcyjnej dla belki rzeczywistej.

BELKA RZECZYWISTA		BELKA FIKCYJNA
war. kinematyczne	schemat	schemat	war. Statyczne

Uwaga: Nie zajmujemy się przemieszczeniami poziomymi, stąd




(podpora przegubowo przesuwna jest równoważna podporze przegubowo nieprzesuwnej) itp.

2.2. Tok postępowania w przypadku obliczania ugięć metodą Mohra.

1. Narysować wykres momentów zginających dla belki rzeczywistej (po podzieleniu przez EI będzie to obciążenie fikcyjne belki fikcyjnej).

Uwaga:

-jeżeli
na całej długości belki wówczas obciążenie fikcyjne belki możemy przyjąć jako równe momentom zginającym, a dopiero moment fikcyjny i siłę fikcyjną podzielić przez EI.

- jeżeli
dla poszczególnych elementów belki, musimy pamiętać, by rysując obciążenie fikcyjne belki fikcyjnej, musimy podzielić momenty zginające belki rzeczywistej przez odpowiednie dla każdego elementu EI.

1. Narysować schemat belki fikcyjnej.

1. Nanieść wykres momentów zginających na belkę fikcyjną w taki sposób, aby momenty „dodatnie”, tzn. leżące po stronie przyjętych „spodów” były skierowane zgodnie z przyjętym za dodatni zwrotem osi ugięć. ( przyjmujemy - jak w statyce - że zwrot obciążenia rysujemy do osi belki np.
   
   

1. Rozwiązać w „standardowy” sposób belkę fikcyjną .

• Ugięcia osi belki

• Kąty obrotu osi belki

5

3

3

1

4

2

1.5

P

M

R_A

R_B

q

x

M, w

A

B

C

D

E

K

M,w

x

q(x)

q

a

Rys. 1.1

a

q

-q

q

q

-q

M_K

R_B

R_A

---