po podstawieniu znanych funkcji oraz
otrzymamy

Przykład 6.6. Wyznaczyć ciśnienie w dowolnym punkcie przepływu otrzymanego w wyniku nałożenia się wiru płaskiego o natężeniu Γ i źródła dodatniego, którego natężenie przepływu jest równe Q. Wir oraz źródło znajdują się w początku układ współrzędnych, a ciśnienie przepływu niezakłóconego wynosi

Potencjał prędkości wiru płaskiego określa wzór

a dla źródła dodatniego mamy

Z superpozycji tych dwóch przepływów otrzymamy

Składowe wektora prędkości wynoszą:

stąd

.

Ponieważ dla przepływu niezakłóconego ciśnienie  a prędkość zatem równanie Bernoulliego będzie miało następującą postać

wobec tego

Podstawiając zamiast
uprzednio wyznaczoną zależność otrzymujemy

Przykład 6.7. Pokazać, że inwersja przekształca okręgi i proste w płaszczyźnie z na okręgi i proste w płaszczyźnie ζ .

Inwersją nazywamy odwzorowanie konforemne określone funkcją

stąd otrzymujemy:

Rozważmy okrąg w płaszczyźnie określony równaniem

który dla A = 0 staje się prostą. Po odwzorowaniu okrąg będzie opisany równaniem

jest to również równanie okręgu i w szczególnym przypadku - dla D = 0 - równanie prostej.

Z porównania obu równań wynikają różne możliwości przekształcania okręgów i prostych:

- proste przechodzące przez początek układu współrzędnych odwzorowują się na proste także przechodzące przez początek układu współrzędnych,

- okręgi przechodzące przez początek układu współrzędnych odwzorowują się na proste nie przechodzące przez początek układu współrzędnych i odwrotnie: proste nie przechodzące przez początek układu współrzędnych odwzorowują się na okręgi przechodzące przez początek układu współrzędnych,

- okręgi nie przechodzące przez początek układu współrzędnych odwzorowują się na okręgi także nie przechodzące przez początek układu współrzędnych.

Przykład 6.8. Zbadać kształty profilów, otrzymanych przez odwzorowanie okrę-gu
za pomocą funkcji Żukowskiego (6.44).

Funkcja odwzorowująca Żukowskiego

(6.102)

przypisuje każdemu punktowi płaszczyzny zespolonej
punkt płaszczyzny zespolonej
parametr c jest liczbą rzeczywistą.

Funkcja (6.102) odwzorowuje okręgi i ich zewnętrza leżące w płaszczyźnie ζ na różne profile i ich zewnętrza leżące w płaszczyźnie z . Kształt tych profilów zależy od położenia okręgu względem początku układu współrzędnych i względem punktów osobliwych

(6.103)

pochodnej funkcji odwzorowującej (6.102)

(6.104)

Rozróżnia się pięć przypadków charakterystycznych:

1) okrąg odwzorowywany
przechodzi przez punkty osobliwe (6.103), a jego środek jest położony w początku układu odniesienia,

2) okrąg odwzorowywany ma środek położony w początku układu odniesienia, ale promień a okręgu jest większy od promienia c okręgu

3) okrąg odwzorowywany jest styczny do okręgu
w punkcie (c, 0) oraz styczny do okręgu ,

4) okrąg odwzorowywany przechodzi przez punkty osobliwe (c, 0) oraz
(−c, 0), a jego środek leży na osi η ,

5) okrąg odwzorowywany przechodzi przez jeden punkt osobliwy np.
(c, 0), a jego środek jest położony dowolnie. Kontur otrzymany w wyniku odwzorowania okręgu nazywany jest profilem Żukowskiego .

Na rys. 6.23 przedstawione zostały odwzorowywane okręgi w płaszczyźnie ζ oraz ich obrazy w płaszczyźnie z , odpowiadające pięciu omówionym przypadkom charakterystycznym.

1) c = 2, a = 2,	2) c = 2, a = 3,
3) c = 2, a = 3,	4) c = 2, a = 2.236,
5) c = 2, a = 2.550,

Rys. 6.23

Przykład 6.9. Wyznaczyć tory cząsteczek cieczy w fali monochromatycznej płaskiej dla różnych głębokości dna (rys. 6.20).

Oznaczamy położenie cząstki cieczy w stanie równowagi przez (x, y), a w rozważanym przez nas ruchu przez . Wówczas różnice:

,

są współrzędnymi przesunięcia cząstki.

Biorąc pod uwagę bardzo wolne ruchy cząstek, składowe prędkości obliczane ze wzoru (6.69) są równe

,

.

Stąd przez całkowanie względem czasu otrzymamy składowe przesunięcia:

Jeżeli wprowadzimy oznaczenia:

,

to części rzeczywiste i możemy zapisać w postaci:

Cząstki cieczy poruszają się zatem po pionowych elipsach o półosiach a i b, zależnych od głębokości y. Dla danej głębokości dwa h wszystkie elipsy mają ten sam, niezależny od głębokości mimośród ε

,

natomiast, po wykorzystaniu wzoru (6.71), widać, że stosunek półosi tych elips

maleje wraz ze wzrostem głębokości - od wartości
na powierzchni cieczy do zera na dnie, w bezpośrednim sąsiedztwie którego możliwe są, zgodnie z warunkami brzegowymi, tylko poziome ruchy cząstek.

Na podstawie ostatniego wyniku łatwo stwierdzamy, że w granicznym przypadku bardzo głębokiej wody jest
Wówczas elipsy są kołami o promieniach malejących w kierunku dna, natomiast dla płytkiej wody jest
a więc elipsy degenerują się do odcinków poziomych o długości niezależnej od głębokości. Omówione ruchy cząstek po zamkniętych krzywych przenoszą w cieczy zaburzenia z prędkością fali.

163

---