2. WYBRANE WŁASNOŚCI PŁYNÓW

1. Lepkość płynu

Lepkość jest to własność płynu charakteryzująca jego zdolność do przenoszenia naprężeń stycznych. Zależy od niej opór, który towarzyszy zmianie kształtu płynu, przy czym opór ten zmienia się wraz z prędkością odkształcenia postaciowego.

Rozpatrzmy przepływ stacjonarny - patrz uproszczony rysunek poniżej, w którym ruch wszystkich elementów płynu odbywa się w tym samym kierunku. Kierunek ten wyznacza oś współrzędnych s. Zmiany prędkości występuję wyłącznie w kierunku wyznaczonym przez oś współrzędnych n, prostopadłą do osi s. W kierunku wyznaczonym przez oś u, prostopadłym do płaszczyzny sn, prędkość płynu jest równa zeru. W celu uproszczenia rysunku przepływ został przedstawiony jak przepływ płaski - oś u jest skierowana prostopadle do płaszczyzny rysunku.

Prędkość płynu opisuje jednowymiarowe pole prędkości
− zależne od jednej współrzędnej położenia n. Istnieje tylko pochodna prędkości względem zmiennej n:

, natomiast
.

Zatem:
,

gdzie: prędkość v = v_s(n) jest przedstawiona jako wielkość skalarna (miara wektora
na osi s).

W obszarze przepływu wybierzmy elementarną powierzchnię płynu dA w kształcie prostokąta o wymiarach elementarnych du×ds, której wektor kierunkowy
jest równoległy do osi n i posiada zwrot zgodny z tą osią. Powierzchnia ta jest równoległa do płaszczyzny us. Wyodrębnimy element płynu dV, który sąsiaduje bezpośrednio z elementarną powierzchnią płynu dA i w chwili t₀ ma kształt prostopadłościanu o podstawie dA i wysokości dn. Patrząc
w kierunku równoległym do współrzędnej u obserwujemy element płynu dV w postaci prostokąta ABCD. Prędkość płynu w punktach A i B jest taka sama: v_A= v_B= v. Prędkość płynu w punktach C i D jest również taka sama, ale większa od prędkości w punktach A i B ze względu na przyrost prędkości w kierunku n:

.

Po upływie elementarnego czasu dt element płynu dV zmieni swoje położenie. W chwili t=t₀+dt punkty ABCD elementu płynu przyjmą położenie A'B'C'D'. Zmieni się również kształt elementu płynu, który przybierze postać równoległościanu o tej samej, co w chwili t₀, wysokości dn. Punkty A i B elementu płynu przemieszczą się w czasie dt, równolegle do osi s do położenia A' i B', o odcinek:

.

Punkty C i D elementu płynu przemieszczą się natomiast w czasie dt, równolegle do osi s,
do położenia C' i D', o odcinek:

.

Kąt prosty *DAB zmieni się w kąt ostry *D'A'B'. Różnica: *DAB - *D'A'B' jest kątem,
o jaki obróciły się ściana AD i ściana BC elementu płynu. Przedstawia więc odkształcenie postaciowe płynu. Oznaczmy tę różnicę jako dγ. Jest to zmiana kąta elementarna, ponieważ czas dt, w którym nastąpiła, również był elementarny. Kąt dγ może zatem być wyznaczony następująco:

.

Dzieląc obustronnie przez dt otrzymamy prędkość zmiany kąta *DAB, czyli prędkość odkształcenia postaciowego płynu:

.

Jak wynika z powyższego wyrażenia prędkość odkształcenia postaciowego jest równa względnemu przyrostowi prędkości (gradientowi prędkości) w kierunku n, czyli w kierunku
do elementarnej powierzchni dA.

Zmiana kształtu elementu płynu dV wskazuje, że na element ten działają w płaszczyznach równoległych do płaszczyzny us siły styczne: siła, która „stara się” przesunąć element, pochodząca od płynu w warstwie odległej od powierzchni dA o wysokość dn oraz siła „hamująca” ruch elementu, która przedstawia oddziaływanie na ten element rozpatrywanej powierzchni płynu dA. Element płynu dV działa zatem na płaszczyznę dA siłą dF_ps równą co do wartości bezwzględnej, ale przeciwną do siły „hamującej” jego ruch. Na powierzchni płynu dA (o ukierunkowaniu
) występują zatem naprężenia styczne:

.

Newton sformułował na podstawie wyników badań eksperymentalnych hipotezę, że naprężenia styczne w płynie są proporcjonalne do prędkości odkształcenia postaciowego, która (co wykazaliśmy wyżej) jest równa gradientowi prędkości w kierunku normalnym do płaszczyzny działania tych naprężeń:

.

Proporcjonalność możemy zastąpić równością wprowadzając współczynnik proporcjonalności μ − nazywany dynamicznym współczynnikiem lepkości, lub krócej lepkością dynamiczną:

.

Lepkość dynamiczna jest to współczynnik proporcjonalności między naprężeniami stycznymi, a składową gradientu prędkości normalną do płaszczyzny, na której występują naprężenia styczne.

Płyny, które spełniają hipotezę Newtona o liniowej zależności naprężeń stycznych
od prędkości odkształcenia postaciowego są nazywane niutonowskimi. Większość płynów występujących w przyrodzie spełnia tę hipotezę (np. woda, oleje mineralne, wszystkie gazy).

Wymiar fizyczny lepkości dynamicznej w układzie SI:
. Jednostka lepkości dynamicznej nosi nazwę paskalosekunda:
. Jest również używana jednostka pochodząca z układu cgs o nazwie puaz:
.

Wygodniejszy w zastosowaniach, szczególnie do cieczy, jest kinematyczny współczynnik lepkości, zwany krócej lepkością kinematyczną:

.

Wymiar fizyczny lepkości kinematycznej w układzie SI:
. Podstawowa jednostka lepkości kinematycznej jest zbyt duża dla zastosowań technicznych. Używana jest w związku z tym legalna jednostka, która pochodzi z układu cgs i posiada nazwę stokes:
1 St =1 cm²/s =10^-4 m²/s, a zazwyczaj jeszcze mniejsza: 1 cSt =1 mm²/s =10^-2 St =10^-6 m²/s.

Lepkość płynu zmienia się wraz ze zmianami temperatury. W przypadku cieczy wzrost temperatury powoduje wzrost ruchliwości cząsteczek, co ułatwia przemieszczanie się warstw cieczy względem siebie. Lepkość cieczy zmniejsza się w związku z tym wraz ze wzrostem temperatury. Lepkość gazów rośnie wraz ze wzrostem temperatury − teoretycznie propor-cjonalnie do pierwiastka kwadratowego z temperatury. Wynika to z mechanizmu powstawania naprężeń stycznych w gazach. Wiążę się on z wymianą pędu między cząsteczkami gazu zderzającymi się ze sobą. Można wykazać bezpośredni związek pomiędzy lepkością gazu i jego przewodnością cieplną λ. Wzrost temperatury powoduje wzrost prędkości cząsteczek i zwiększenie częstotliwości zderzeń. Wzrasta wtedy przewodność cieplna gazu i jego lepkość dynamiczna.

Wpływ zmian ciśnienia na zmiany lepkości jest nieznaczny i zwykle jest pomijany.

2. Ściśliwość cieczy

Ściśliwość jest to zdolność cieczy do zmian objętości w wyniku zmian ciśnienia.

Zmiany objętości cieczy, a tym samym również jej gęstości, spowodowane nawet znacznymi zmianami ciśnienia, są niewielkie. W większości zagadnień mechaniki płynów i jej zastosowań technicznych ciecze są w związku z tym traktowane jako płyn nieściśliwy, którego gęstość ρ:=const. Uproszczenie takie nie zawsze może być jednak zastosowane. Analiza tzw. uderzeń hydraulicznych w przewodach, jako efektu gwałtownego zatrzymania przepływu, czy też zagadnienia dynamiki wysokociśnieniowych urządzeń hydraulicznych wymagają uwzględnienia ściśliwości cieczy.

Miarą ściśliwości cieczy jest współczynnik ściśliwości β, definiowany jako granica,
do której dąży stosunek względnego spadku objętości cieczy (-∆V/V) do przyrostu ciśnienia ∆p, gdy przyrost ciśnienia dąży do zera:

.

Stosując przejście graniczne otrzymujemy zależność:

.

Znak minus w powyższym wzorze wynika stąd, że dodatniemu elementarnemu przyrostowi ciśnienia dp towarzyszy zmniejszenie objętości cieczy dV<0 („przyrost ujemny”).

Zmianę objętości cieczy ∆V=V₂-V₁<0, która towarzyszy wzrostowi ciśnienia ∆p=p₂-p₁ możemy określić całkując obie strony powyższego wyrażenia w odpowiadających sobie przedziałach zmian ciśnienia i objętości. Przyjmuje się przy tym założenie upraszczające,
że w przyjętym przedziale zmian ciśnienia wartość współczynnika β=const:

.

Otrzymamy wyrażenie:
, skąd:
.

Prawą stronę ostatniego wyrażenia rozwiniemy w szereg potęgowy Maclaurina:

Dla spotykanych w praktyce różnic ciśnienia iloczyn β(p₂-p₁) jest wielkością bardzo małą względem jedności − patrz zamieszczone dalej przykładowe wartości współczynnika ściśliwości. Można w związku z tym zadowolić się dokładnością do dwóch pierwszych wyrazów szeregu:

.

Otrzymamy stąd:
,

oraz
.

W zależności od tego, czy zmiana objętości cieczy odbywa się przy stałej temperaturze,
czy w warunkach adiabatycznych (bez wymiany ciepła z otoczeniem), rozróżnia się [3]:

• izotermiczny współczynnik ściśliwości β_T,

• izentropowy współczynnik ściśliwości β_s.

Związek pomiędzy nimi wyraża zależność:
, gdzie:
przedstawia wykładnik izentropy, c_p - ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, c_v - ciepło właściwe przy stałej objętości.

Przykładowe wartości izotermicznego współczynnika ściśliwości:

woda:
; oleje hydrauliczne:
.

W zagadnieniach technicznych, np. hydraulice siłowej, zazwyczaj jest używana odwrotność współczynnika ściśliwości, która jest nazywana modułem sprężystości cieczy:

.

Zmiana gęstości cieczy wynikająca ze zmiany objętości może być wyznaczona z warunku niezmienności masy:

,

skąd otrzymamy:
.

Iloczyn β(p₂-p₁) jest wielkością bardzo małą względem jedności. Rozwijając otrzymane wyrażenie w szereg Taylora-Maclaurina i zadawalając się dokładnością do dwóch pierwszych wyrazów szeregu otrzymamy ostatecznie:

.

1. Rozszerzalność cieplna cieczy

Zmiany objętości cieczy w wyniku zmian temperatury są niewielkie, podobnie jak
w przypadku zmian będących efektem zmian ciśnienia, są jednak od nich większe. Zmiany temperatury, które występują w większości zagadnień mechaniki płynów, są nieznaczne, toteż ich wpływ na zmiany gęstości cieczy może być pominięty. Uwzględnienie tych zmian jest konieczne tylko w szczególnych przypadkach, na przykład przy dokładnych pomiarach ciśnienia za pomocą manometrów cieczowych.

Miarą rozszerzalności cieplnej cieczy jest współczynnik rozszerzalności objętościowej (przy stałym ciśnieniu) definiowany analogicznie do współczynnika ściśliwości:

, gdzie: K - stopień Kelvina.

Po zastosowaniu przejścia granicznego otrzymamy zależność opisującą elementarną względną zmianę objętości cieczy dV/V jako efektu elementarnej zmiany temperatury dT:

.

Postępując analogicznie jak w przypadku wyznaczania zmian objętości pod wpływem zmian ciśnienia, otrzymamy następujące zależności opisujące zmiany objętości i gęstości cieczy
w wyniku zmiany temperatury od wartości T₁ do T₂:

;

.

2. Zmiany gęstości gazu pod wpływem zmian ciśnienia
   i temperatury

W mechanice płynów stosuje się zazwyczaj model gazu doskonałego termodynamicznie, dla którego zależność między gęstością ρ, ciśnieniem p i temperaturą T (wyrażoną w stopniach Kelvina) ujmuje równanie stanu Clapeyrona:

,

gdzie: R = B/μ - indywidualna stała gazowa [m²/(s²K)],

B = 8314
- uniwersalna stała gazowa,

μ - masa cząsteczkowa gazu [kg/kmol].

Literatura:

1. Prosnak W.: Mechanika płynów, tom I, część pierwsza, rozdział 4, PWN, Warszawa 1970,

2. J. Bukowski, P. Kijkowski: Kurs mechaniki płynów, rozdział 1 pkt 1.3, PWN, Warszawa 1980.

3. E. Tuliszka: Mechanika płynów, rozdział 6, PWN, Warszawa 1980,

4. S. Stryczek: Napęd hydrostatyczny, część pierwsza, rozdział 2, pkt 2.3 ÷ 2.6, WNT,

Warszawa1984.

Dr inż. Janusz Bidziński Mechanika płynów - materiały pomocnicze dla studiów niestacjonarnych

1

Chwila t₀+dt

Chwila t₀

s

n

dγ

dA

dF_ps

dF_ps

dV

dA

dn

v

v

D'A

C'A

B'A

A'

DA

CA

BA

A

Rozkład prędkości

v=v_s(n)

---