Błażej Gierszon 26.03.07

Wydział Elektroniki

Elektroniki i Telekomunikacji

Prowadzący: mgr. inż. A. Borkowski

Ćwiczenie numer 3

Statystyczna analiza wyników pomiarów.

1)

Zestaw przyrządów:

Suwmiarka cyfrowa

-błąd graniczny suwmiarki: 0,03 mm

Trójkąt pomiarowy nr 4

2)

Tabele pomiarowa oraz tabele wyników obliczeń:

Tabela wyników pomiarów wymiarów liniowych trójkąta nr 4.

Nr studenta	a[mm]	b[mm]	c[mm]	ha[mm]	hb[mm]	hc[mm]
1	93,36	83,04	75,45	64,00	71,49	79,11
2	93,34	83,03	75,43	64,01	71,95	79,31
3	93,37	83,05	75,44	64,04	71,96	79,22
4	93,32	83,04	75,30	64,05	71,43	79,16
5	93,37	83,05	75,46	64,04	71,97	79,21
6	93,37	83,05	75,45	64,14	72,00	79,00
7	93,33	83,03	75,45	64,02	72,25	79,24
8	93,36	83,03	75,44	64,07	71,88	79,13
9	93,36	83,03	75,45	64,05	71,95	79,11
10	92,87	82,64	75,06	63,67	71,57	78,79
11	93,37	83,05	75,43	64,03	71,97	79,42
12	93,30	83,01	75,39	64,02	71,89	79,11
13	93,22	81,43	74,43	64,11	71,92	79,31
14	93,29	82,86	74,81	63,40	71,30	78,58
15	93,28	82,98	75,30	63,98	71,94	79,19
16	93,36	83,05	75,45	64,03	71,95	79,22
17	93,33	82,97	75,47	64,02	71,69	79,35
‾x [mm]	93,31	82,90	75,31	63,98	71,83	79,14
S [mm]	0,12	0,40	0,30	0,19	0,26	0,20

Tabela wyników pomiaru pośredniego pola trójkąta nr 4.

Nr studenta	Pa[mm²]	Pb[mm²]	Pc[mm²]	PH[mm²]
1	2987,347	2987,004	2991,177	2978,163
2	2989,707	2988,139	2988,178	2979,455
3	2988,573	2965,774	2980,374	2974,037
4	2989,707	2988,554	2988,593	2980,083
5	2994,376	2989,8	2980,275	2979,769
6	2987,493	2999,459	2989,329	2978,639
7	2990,788	2984,098	2984,784	2978,78
8	2989,854	2987,004	2984,425	2979,094
9	2956,516	2957,272	2956,989	2949,284
10	2989,241	2988,554	2995,325	2979,141
11	2986,533	2983,794	2982,051	2975,778
12	2988,167	2928,223	2951,522	2902,796
13	2957,293	2953,959	2939,285	2953,452
14	2984,027	2984,791	2981,504	2971,865
15	2988,92	2987,724	2988,575	2979,618
16	2987,493	2974,06	2994,272	2977,696
17	2984,91	2977,438	2980,054	2970,428
‾x [mm]	2985	2978	2980	2969,9
S [mm]	11	12	14	9,8

Wzory i obliczenia:

Obliczenie pola trójkąta:

gdzie:

P_a, P_b, P_c - powierzchnia obliczona z wykorzystaniem odpowiedniej podstawy

P_H- powierzchnia obliczona ze wzoru Herona

h_a, h_b, h_c - wysokości opuszczone na odpowiednie boki

a, b, c - długości boków

Obliczenie średnich arytmetycznych dla wszystkich boków i wysokości oraz pola powierzchni trójkąta:

Przykładowe obliczenia:

Obliczenie odchyleń standardowych dla pomiarów wartości długości boków i wysokości oraz dla obliczonych wartości pola powierzchni:

Przykładowe obliczenia:

a)

Zbadanie, czy są pomiary obciążone błędem grubym i przeprowadzenie eliminacji lub

korekty tych wyników. Wyznaczenie wartości parametrów

statystycznych w skorygowanej serii pomiarów.

Dokonaliśmy 17 pomiarów i w związku z tym do określenia czy pomiary są obciążone błędami grubymi musimy skorzystać z rozkładu t-Studenta:

Dla P=0,997 i n=17 współczynnik t=3,43.

a Є <‾a-t(n,P)*s; ‾a+t(n,P)*s>

a Є < 93,31mm±0,41mm>

b Є < 82,9mm± 1,4mm>

c Є <75,3mm±1,1mm>

haЄ < 63,98± 0,64>

hbЄ < 71,83± 0,88>

hcЄ < 79,14± 0,69>

Dla trójkąta nr.4 uzyskane wyniki pomiarów nie zawierają błędów grubych, z wyjątkiem boku a, który nie należy do wyznaczonego przedziału prawdopodobieństwa. Pomiar obarczony błędem grubym został usunięty a wartość średnią dla boku, pola trójkąta oraz ich odchylenia standardowe policzono od nowa. Pozostałe odchylenia mieszczą się w spodziewanych przedziałach.

Obliczenia po wyeliminowaniu błędów grubych:

Bok:

‾x= 93,333 mm

s=0,043 mm

Pole:

‾x= 2984 mm²

s=11 mm²

b)

błąd przypadkowy pomiaru przy założonej ufności P=0,997 obliczono ze wzoru:

gdzie: s - odchylenie standardowe, n - liczba pomiarów, wartość 3,43 odczytano z tabeli

Błędy dla poszczególnych boków trójkąta oraz ich wysokości:

Δa = 3,46 * 0,043*(1/
) = ±0,038 mm

Δb = 3,43 * 0,400684*(1/
) = ±0,34 mm

Δc = 3,43 * 0,293528*(1/
) = ±0,25 mm

Δha = 3,43 * 0,185151*(1/
) = ± 0,16 mm

Δhb = 3,43 * 0,253845 *(1/
) = ± 0,22 mm

Δhc = 3,43 * 0,198921*(1/
) = ± 0,17 mm

Obliczenia błędów względnych:

c)

Porównując wartości błędów przypadkowych z błędem granicznym suwmiarki wynoszącym 0,03 mm stwierdzono, że wartości błędów przypadkowych są dużo większe niż błąd graniczny.

Jako wartość przedziału niepewności przyjęto:

Wielkości	Wynik pomiarów z uwzględnieniem przedziałów niepewności
a±Δa	93,333±0,068 [mm]
b±Δb	82,90±0,37 [mm]
c±Δc	75,31±0,28 [mm]
ha±Δha	63,91±0,19 [mm]
hb±Δhb	71,83±0,25 [mm]
hc±Δhc	79,14±0,20 [mm]

d)

Błąd pomiaru pola wyliczonego ze wzoru P = ½ a⋅h (P - wartość średnia) obliczamy z zależności:

a=0,5*(93,33313mm*0,067195mm+63,98118mm*0,184026597mm)=9,1mm²

Analogicznie:

b= 25mm²

c=19mm²

Błąd pomiaru pola wyliczonego ze wzoru Herona obliczamy z zależności:

(Różniczka zupełna liczona przy pomocy programu matematycznego Derive)

| a·(a^2 - b^2 - c^2 ) |

|⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯|
a+

| 2·√(- (a + b + c)·(a + b - c)·(a - b - c)·(a - b + c)) |

| b·(a^2 - b^2 + c^2 ) | |⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯|
b+

| 2·√(- (a + b + c)·(a + b - c)·(a - b - c)·(a - b + c)) |

| c·(a^2 + b^2 - c^2 ) |

|⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯|
c

|2·√(- (a + b + c)·(a + b - c)·(a - b - c)·(a - b + c)) |

Ph=2970(+/-)19mm²

Pa=2985,0(+/-)9,1mm²

Pb=2977(+/-)25mm²

Pc=2980(+/-)19mm²

Wnioski:

Błędy pomiarów długości poszczególnych boków i wysokości wynikają przede wszystkim z błędu podstawowego zastosowanego narzędzia pomiarowego. Studenci mierzący długość boków oraz wysokości mieli trudności z zachowaniem odpowiedniego przyłożenia suwmiarki do mierzonego przedmiotu. Błędy grube, które miałyby wpływ na wynik pomiaru zostały wcześniej wyeliminowane.

Błędy popełnione podczas pomiaru są stosunkowo niewielkie. obarczone są wyniki. Najmniejszy błąd otrzymano licząc pole ze wzoru P_a. Generalnie nie ma większej różnicy pomiędzy błędami liczonymi z podstawowych wzorów na pole trójkąta jakimi są P_a, P_b, P_c, a błędami otrzymanymi z przeliczenia wzoru Herona.

---