Wyklad6ALG2001, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych rocznikow algebra, Jakieś wykłady itp


WYKŁAD 6

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Przykład

Rozwiązać układ równań liniowych

0x01 graphic

Krok 1. Mnożymy pierwsze z równań przez 1/3
i odejmujemy od równania drugiego

0x01 graphic

Mnożymy pierwsze z równań przez 2/3
i odejmujemy od równania trzeciego

0x01 graphic

Krok 2. Mnożymy drugie z równań przez 1/11

i odejmujemy od równania trzeciego

0x01 graphic

Krok 3. Z równania trzeciego wyliczamy wartość

z = 0x01 graphic

Krok 4. Wyliczoną wartość z wstawiamy do równania drugiego i znajdujemy wartość y

0x01 graphic
, 0x01 graphic

Krok 5. Wartości z i y wstawiamy do równania pierwszego i obliczamy x

0x01 graphic
, 0x01 graphic

Rozwiązanie układu równań: 0x01 graphic

Ogólna postać układu m - równań liniowych algebraicznych z n - niewiadomymi

0x01 graphic

niewiadome: 0x01 graphic

Macierzą układu równań nazywamy tabelę A, w której wpisane są współczynniki układu równań

A=0x01 graphic

Macierzą wyrazów wolnych układu równań nazywamy tabelę B postaci

B = 0x01 graphic

Macierzą rozwiązań układu równań nazywamy tabelę X w postaci

0x01 graphic
X = 0x01 graphic

Układ równań liniowych w postaci macierzowej

A X = B

Przyklad

0x01 graphic

A = 0x01 graphic
B = 0x01 graphic
X = 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
= 0x01 graphic

A0x01 graphic
X = B

Definicja

Macierzą (liczbową rzeczywistą lub zespoloną)

o wymiarze m x n nazywamy funkcję odwzorowującą iloczyn kartezjański (1,....,m) 0x01 graphic
(1, ..., n) w zbiór K, (liczb rzeczywistych gdy K = R; lub liczb zespolonych, wtedy K = C), co zapisujemy

(i, k) 0x01 graphic
(1, ..., m) 0x01 graphic
(1, ..., n), (i, k) 0x01 graphic
0x01 graphic
K

lub też

A = 0x01 graphic

Definicja

i - tym wierszem macierzy A nazywamy taki ciąg jej elementów 0x01 graphic
, w którym i jest jedną z liczb 1, 2, ..., m.

Definicja

k - tą kolumną macierzy A nazywamy taki ciąg jej elementów 0x01 graphic
, w którym k jest jedną z liczb 1, 2, ...,n.

Definicja

Wymiar macierzy - para uporządkowana m0x01 graphic
n,

gdzie: m - ilość wierszy macierzy

n - ilość kolumn macierzy

Macierz kwadratowa stopnia n 0x01 graphic

macierz o wymiarze n0x01 graphic
n.

Macierz kolumnowa (macierz jednokolumnowa) 0x01 graphic

macierz o wymiarze m0x01 graphic
1.

Macierz wierszowa (macierz jednowierszowa) 0x01 graphic

macierz o wymiarze 10x01 graphic
.

Macierz jednostkowa wymiaru n 0x01 graphic

I0x01 graphic

Przykład

Macierz kolumnowa o wymiarze 30x01 graphic
1 0x01 graphic
0x01 graphic

Macierz wierszowa o wymiarze 10x01 graphic
4 0x01 graphic
[2 - 4 7 3]

Macierz o wymiarze 20x01 graphic
3

0x01 graphic

Definicja

Macierze A i B nazywamy równymi, co zapisujemy A=B, jeżeli mają ten sam wymiar m0x01 graphic
n i jeżeli 0x01 graphic
dla i = 1, ..., m oraz k = 1, ..., n.

Przykład

A 0x01 graphic
, B = 0x01 graphic

A = B 0x01 graphic
x = -3, y = 0, z = 6

Definicja

Macierzą zerową, oznaczoną symbolem 0, nazywamy każdą macierz, której wszystkie elementy są zerami.

Definicja

Macierzą diagonalną nazywamy macierz, która ma wszystkie elementy, poza tymi które znajdują się na przekątnej, równe 0.

Przykład

0x01 graphic
0x01 graphic

Przykład

Przedstawienie danych w postaci macierzy - zestawienie odległości pomiędzy miastami

Londyn Madryt Nowy Jork Tokio

0x01 graphic

Definicja

Sumą macierzy 0x01 graphic
i 0x01 graphic
wymiaru m0x01 graphic
n, nazywamy macierz C = 0x01 graphic
wymiaru m0x01 graphic
n taką, że

0x01 graphic

Przykład

0x01 graphic

0x01 graphic
=

= 0x01 graphic

Definicja

Dla macierzy0x01 graphic
i liczby rzeczywistej c

0x01 graphic
.

Mnożąc macierz A przez liczbę c, mnożymy każdy wyraz macierzy przez c.

Układ równań liniowych n0x01 graphic
n możemy zapisać w postaci

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Przykład

0x01 graphic

Definicja

Jeżeli A = 0x01 graphic
jest macierzą wymiaru m0x01 graphic
p oraz

B = 0x01 graphic
jest macierzą wymiaru p0x01 graphic
n to iloczynem macierzy A i B nazwiemy macierz C=0x01 graphic
wymiaru m0x01 graphic
n określoną jako

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic

inaczej A B = 0x01 graphic
0x01 graphic

Praktyczny sposób mnożenia macierzy

Ważne !

Przykład

A = 0x01 graphic
, B = 0x01 graphic

A B = 0x01 graphic
B A = 0x01 graphic

A B 0x01 graphic
B A

Przykład

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

=0x01 graphic

= 0x01 graphic

Twierdzenie

Działania dodawania i mnożenia macierzy mają następujące własności:

  1. A+ B=B+A (przemienność dodawania)

  2. (A+B)+C=A+(B+C) (łączność dodawania)

  3. A+ 0=0 + A gdzie 0 =0x01 graphic

  4. A (B C) = (A B) C

(łączność mnożenia)

  1. A (B + C) = A B + A C

  2. (A + B) C = A C + B C

  3. Dla A = 0x01 graphic
    i I = 0x01 graphic

gdzie

0x01 graphic

mamy: A I = A = I A

Dowód:

Własności (i)-(vii) wynikają z definicji działań na macierzach.

Definicja

Jeżeli A = 0x01 graphic
jest macierzą wymiaru m0x01 graphic
n, wtedy macierz wymiaru n0x01 graphic
m, oznaczoną przez A0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
, nazywamy macierzą transponowaną do macierzy A.

Przykład

0x01 graphic

0x01 graphic

Twierdzenie

Dla macierzy A i B zachodzi

Macierz symetryczna 0x01 graphic

Przykład

0x01 graphic
Macierz symetryczna

Przykład

0x01 graphic

Definicja

Odejmowaniem macierzy nazywamy działanie odwrotne do dodawania, tzn.:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Przykład

0x01 graphic

Twierdzenie

Niech 0x01 graphic
oznacza macierz przeciwną do macierzy A.

Dla dowolnych macierzy A i B zachodzą następujące związki

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Cytat z książki Foleya -

„Wprowadzenie do Grafiki Komputerowej”:

„W rozdziale przedstawiono podstawowe przekształcenia geometryczne 2D i 3D wykorzystywane w grafice komputerowej.

Omawiane przekształcenia:

są wykorzystywane w wielu pakietach graficznych.

Program wspomagający planowanie miasta wykorzystywałby:

Przesunięcie

Punkty na płaszczyźnie (x, y) możemy przesunąć na nową pozycję dodając do współrzędnych punktów wielkość przesunięcia.

Dla każdego punktu P(x, y), który ma być przesunięty do nowego punktu P'(x', y') o dx jednostek wzdłuż osi x i o dy jednostek wzdłuż osi y, możemy napisać:

x' = x+ dx y' = y+ dy

Zapis w postaci macierzowej:

0x01 graphic

Efekt przesuwania konturu domu o (3, -4):

0x08 graphic
0x08 graphic
Skalowanie

Punkty mogą być skalowane ze współczynnikiem sx wzdłuż osi x i ze współczynnikiem sy wzdłuż osi y przez mnożenie:

x' = sx x y' = sy y

Zapis w postaci macierzowej:

0x01 graphic

0x08 graphic
Efekt skalowania konturu domu ze współczynnikiem ½ w kierunku osi x i ¼ w kierunku osi y (skalowanie niejednorodne).

Obrót

Punkty mogą być obracane o kąt θ wokół początku układu współrzędnych.

Definicja obrotu:

0x01 graphic

Zapis w postaci macierzowej:

0x01 graphic

0x08 graphic
Kąty dodatnie - kierunek przeciwny względem kierunku ruchu wskazówek zegara od x do y.

Dla kątów ujemnych - kierunek zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, można w równaniach określających nowe współrzędne skorzystać z tożsamości:

0x01 graphic
.

Równanie:

0x01 graphic

można wyprowadzić korzystając z rys. 5.6, na którym obrót o kąt θ przekształca punkty

0x01 graphic

Odległości od początku układu współrzędnych punktów P' i P są równe i wynoszą r.

0x01 graphic

oraz

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic

Macierze postaci

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic

są reprezentacją liczb zespolonych postaci 0x01 graphic
.

Definicja równości, dodawania, mnożenia tych macierzy jest analogiczna do definicji równości, dodawania i mnożenia liczb zespolonych.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Algebra Liniowa z Geometrią

24



Wyszukiwarka