DRGANIA WYMUSZONE NIETŁUMIONE.
Drgania wymuszone nietłumione zachodzą wtedy, gdy na punkt materialny podwieszony na sprężynie o stałej c działa siła zmienna w czasie F(t). Równanie to można wprost otrzymać z ogólnego równania (1) jeśli siły tarcia są zerowe, gdy :
Otrzymujemy równanie :
(4.1)
Dzieląc przez m otrzymujemy :
(4.2)
Całka równania (4.1) jest równa sumie całek równania jednorodnego :
(4.3)
przy warunkach początkowych :
(4.4)
oraz całki szczególnej równania niejednorodnego :
(4.5)
przy warunkach początkowych :
(4.6)
Całka ogólna równania jednorodnego (4.3) :
(4.7)
Całkę równania niejednorodnego (4.5) obliczamy :
(4.7a)
(4.8)
Zakładamy w tej metodzie, że :
(4.9)
(4.10)
Podstawiając wzory (4.7a) i (4.10) do wzoru (4.5) otrzymujemy :
(4.11)
Wzór (4.11) ze wzorem (4.9) tworzy układ :
(4.12)
stąd:
(4.13)
Wzór (4.13) wstawiamy do wzoru (4.7a) :
(4.14)
Uwzględniając warunki początkowe (4.6) (zerowe) otrzymujemy poszukiwane rozwiązanie równania (4.1) w następującej postaci całki typu splotu :
(4.15)
UWAGA.
Porównaj całkę Dystjesa z tzw. całką splotu.
(4.16)
Sprecyzuję cechy funkcji jednostkowej i impulsowej.
Drugi wzór (4.16) podstawiamy do wzoru (4.15).
Posługując się tożsamością trygonometryczną uzyskujemy całkę, która jest różnicą funkcji i jest prosta do scałkowania :
DRGANIA WYMUSZONE TŁUMIONE.
Drgania wymuszone tłumione - rozwiązanie niejednorodnego równania ruchu układu z tłumieniem. Podstawą rozważań będzie równanie (1.1), tzn. :
(4.17)
lub
(4.17a)
(2.16)
Rozwiązaniem równania (4.17a) będziemy poszukiwać postaci (2.16), dzięki której, równanie (4.17a) sprowadzimy do postaci :
(4.18)
Dzięki temu przez analogię do rozwiązania (4.15) możemy napisać, że :
(4.19)
Uwzględniając wzór (4.19) we wzorze (2.16) otrzymamy :
(4.20)
Dla tłumienia krytycznego ωt=0 :
(4.21)
w przypadku dużego tłumienia dla :
(4.22)
Podstawiając to wyrażenie do (4.20) i pamiętając, że sin iα=i sh α otrzymamy odpowiedź układu dla tłumienia dużego.
(4.23)
Drgania wymuszone tłumione wzbudzane siłą harmoniczne zmienne - rezonans. Rozpatrujemy przypadek, gdy:
(4.24)
Podstawiając wzór (4.24) do wzoru (4.20) a następnie przekształcając i obliczając całki uzyskamy rozwiązanie x(t).
WYKŁAD 4.