Matematyczny opis systemów

System o wielu wejściach i wyjściach (MIMO)

Opisywany jest przez:

u=(u₁,u₂,...,u_n) wektor wejść

y=(y₁,y₂,...,y_m) wektor wyjść

x=(x₁,x₂,...,x_k) wektor stanu

d=(d₁,d₂,...,d_l) wektor zakłóceń

Zazwyczaj opisywany jest równaniami stanu w postaci

gdzie A, B, C, D, E, F są macierzami.

Rodzaje systemów

Skupione: Równania zależą tylko od czasu a nie od wymiarów przestrzennych. Nie rozpatrujemy rozprzestrzeniania się pól, np. fal EM.

Rozłożone: Zmienne zależą od geometrii układu i czasu.

Liniowe: Opisywane są równaniami różniczkowymi liniowymi.

Stacjonarne: Współczynniki lub macierze nie zależą jawnie od czasu.

SLS (skupione, liniowe, stacjonarne): Macierze zawierają tylko stałe.

Bez pamięci: Zmienne wyjściowe zależą tylko od aktualnej wartości zmiennych wejściowych a nie od ich wartości w poprzednich chwilach.

Przyczynowe: Skutek nie wyprzedza przyczyny, czyli sygnał wyjściowy w danej chwili nie zależy od przyszłych wartości sygnału wejściowego.

Przykład

Elementami gromadzącymi energię są L i C. Zatem zmiennymi stanu są prąd i w indukcyjności i napięcie u na pojemności.

Wielkością wyjściową niech będzie i_R. Równania różniczkowe mają postać

Traktując j(t) jako źródło zakłóceń (np. szumu termicznego) odpowiednio zmodyfikuj macierze. Jest to układ SLS. Gdyby R zależało od czasu, np. R=R₀[1+0,2cos(ωt)] to układ jest skupiony, liniowy, niestacjonarny.

Kabel telekomunikacyjny jest układem o stałych rozłożonych.

Układy liniowe stacjonarne

Odpowiedź systemu

x(t) sygnał wejściowy

y(t) sygnał wyjściowy

h(t) odpowiedź impulsowa układu Odpowiedź impulsowa (na dystrybucję Diraca) określona jest następująco:

jeżeli x(t)=δ(t) to y(t)=h(t)

Odpowiedź na wąski impuls o szerokości Δt=t_k+1-t_k i wysokości x(t_k) wynosi h(t)x(t_k)Δt . Odpowiedź zależy tylko od odstępu czasu t-t_k między przyłożeniem impulsu a chwilą obserwacji odpowiedzi (stacjonar-ność). Całkowita odpowiedź jest sumą (liniowość)

Przechodząc do granicy przy Δt→0

Odpowiedź układu jest splotem sygnału i odpowiedzi impulsowej układu.

Charakterystyki częstotliwościowe

Charakterystyką amplitudowo-fazową nazywamy transformatę Fouriera odpowiedzi impulsowej układu

Charakterystyką amplitudową A(ω) nazywamy moduł

Jest to funkcja parzysta zmiennej ω, czyli A(ω)=A(-ω).

Charakterystyką fazową nazywamy argument

Jest to funkcja nieparzysta, czyli ϕ(ω)=-ϕ(-ω).

Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest funkcją zespoloną zmiennej ω.

Wszystkie trzy charakterystyki nazywamy charakterystykami częstotliwoś-ciowymi.

Przykład 1

Układ całkujący z idealnym wzmacniaczem operacyjnym

Przykład 2

Filtr dolnoprzepustowy RC.

Przykład 3

Jest to układ proporcjonalno-różniczkujący ze wzmacniaczem operacyjnym o charakterystyce

Wyznacz i narysuj wszystkie charakterystyki.

Przyczynowość

Jeżeli układ SLS jest przyczynowy to odpowiedź impulsowa h(t)≡0 dla t<0.

Ponadto, jeżeli x(t)≡0 dla t<0 wówczas odpowiedź y(t) przyjmuje postać

Transmitancja układu

W tej sytuacji, gdy układ SLS jest przyczynowy oraz x(t)≡0 dla t<0, wygodnie jest korzystać z przekształcenia Laplace'a

wówczas bowiem, o ile istnieją obie transformaty (Fouriera i Laplace'a), to

Funkcję H(s) zespolonego argumentu s nazywamy transmitancją układu.

Podstawiając s=jω dostajemy charakterystykę amplitudowo-fazową H(ω).

Z twierdzenia Borela o transformacie splotu otrzymujemy

Dla układów SLS transmitancja jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej s

Przekształcając wyrażenie do postaci wielomianów i wyznaczając odwrotne transformaty Laplace'a otrzymujemy równanie różniczkowe układu SLS

gdzie warunki początkowe są zerowe.

Operując transmitancjami można łatwo wyznaczać transmitancje układów złożonych. Np. dla połączenia łańcuchowego układów z przykładu 1 i 2 macierz łańcuchowa jest iloczynem [A]=[A₁][A₂], a ponieważ wzmacniacz operacyjny jest idealny to obciążanie go filtrem nie zmienia transmitancji napięciowej układu 1. Zatem współczynnik a₁₁ macierzy [A] jest iloczynem współczynników a₁₁ macierzy [A₁] i [A₂]. Stąd

Mianownik M(s)=a_nsⁿ+...+a₁s+a₀ transmitancji H(s) nazywany jest wielo-mianem charakterystycznym i rozkład jego zer ma bardzo istotny wpływ na właściwości układu. Podobnie jest dla układu MIMO. Wyznaczając transformaty otrzymuje się

gdzie I jest jednostkową macierzą diagonalną. Wielomian charakterystyczny

SYSE_Folie Butkiewicz Bohdan

mso24E 1

---