Funkcje kwadratowe - równania kwadratowe, postać kanoniczna i iloczynowa.
Zapisz ogólną postać równania kwadratowego i wyjaśnij znaczenie symboli: a, b, c, x.
Zapisz postać kanoniczną trójmianu kwadratowego i wyjaśnij znaczenie symboli a, p i q.
Jak sprawdzić, czy dana liczba jest rozwiązaniem (pierwiastkiem) równania? Sprawdź, która z liczb: 0, 1, -1, 2,
,
,
jest pierwiastkiem równania
.
Sprowadź do postaci kanonicznej następujące funkcje. Narysuj ich wykresy (po 4 na jednym układzie współrzędnych). Jakie widzisz między nimi różnice? Jaka jest zależność między odciętą wierzchołka p, a miejscami zerowymi funkcji?
a)
,
,
,
,
b)
,
,
,
.
Przykład: Funkcję
przekształć do postaci iloczynowej.
I sposób (gorszy):
, zatem
, czyli
.
II sposób (lepszy):
. Skorzystałem ze wzoru skr. mnożenia (którego?)
Funkcję podaną w postaci kanonicznej przekształć do postaci ogólnej, a następnie (jeśli można!) do postaci iloczynowej
a)
, b)
, c)
, d)
, e)
.
Przykład: Funkcję
przekształć do postaci kanonicznej, podaj współrzędne wierzchołka:
I sposób (gorszy): wymnażamy do postaci ogólnej:
. Mamy
.
Obliczamy teraz p i q ze znanych wzorów:
i gotowe:
.
II sposób (ciekawszy):
,
. Skoro wierzchołek jest „w środku” między miejscami zerowymi, to
, a q to przecież wartość tej funkcji dla
(!!!) zatem
, i gotowe:
.
Funkcję w postaci iloczynowej przekształć do postaci kanonicznej (jedną - wszystko mi jedno którą - z powyższych metod):
a)
,
b)
,
c)
,
d)
,
e)
,
f)
.
Jak rozwiązuje się równania niezupełne, w których współczynnik c jest równy zero (
)? Jaka liczba zawsze będzie rozwiązaniem takiego równania (poszperaj w książce i przejrzyj przykłady z zeszytu...)?
Rozwiąż równania niezupełne:
a)
,
b)
,
c)
,
d)
,
e)
,
f)
,
g)
,
h)
,
i)
j)
.
k)
l)
Jak rozwiązuje się równania niezupełne, w których współczynnik b jest równy zero (
)? Czy takie równanie zawsze ma rozwiązanie?
Rozwiąż równania niezupełne:
a)
,
b)
,
c)
,
d)
,
e)
,
f)
,
g)
,
h)
,
i)
,
j)
.
k)
,
l)
.
Jak rozwiązuje się równania zupełne? Ile rozwiązań ma równanie kwadratowe, jeśli: a)
, b)
, c)
?
Rozwiąż następujące równania zupełne ( najpierw przenieś wszystko na lewą stronę ):
a)
, b)
, c)
, d)
, e)
.
Rozwiąż równanie zupełne:
a)
,
b)
,
c)
, d)
,
e)
,
f)
.
g)
,
h)
,
i)
=0,
j)
,
k)
, l)
.
Trójmiany z lewych stron równań z poprzedniego zadania, sprowadź, jeśli można, do postaci iloczynowej.
Trójmiany z lewych stron równań z zadania 13 sprowadź do postaci kanonicznej. Obok podaj współrzędne wierzchołka paraboli.
Przykład: Napiszemy ogólne równanie funkcji, której miejscami zerowymi są liczby 2 i -5 i której wykres przechodzi przez punkt (1,6). Ta funkcja ma postać
i jednocześnie
. zatem
, więc
.
Napisz równanie ogólne funkcji, której miejscami zerowymi są liczby -1 i 2 i której wykres przechodzi przez punkt (0,4).
Napisz równanie ogólne funkcji, której miejscami zerowymi są liczby
i
i której wykres przechodzi przez punkt (2,-2).