6 Wpływ oporu, indukcji własnej, pojemności i oporu na natężenie prądu przemiennego

Wstęp

Obwód elektryczny stanowi zamkniętą drogę dla prądu elektrycznego. W skład każdego obwodu elektrycznego wchodzą elementy dwojakiego rodzaju:

1) czynne — wszelkiego rodzaju źródła SEM,

2) bierne — oporności, indukcyjności, pojemności oraz elementy nieliniowe, jak lampy,

tranzystory itp.

Przebiegi elektryczne zachodzące w obwodach podlegają prawom wynikającym z ogólnej teorii pola. Z praktycznego punktu widzenia do obliczenia parametrów obwodów liniowych wystarczają trzy podstawowe prawa: prawo Ohma oraz dwa prawa Kircnhofia. Działanie każdego elementu w układzie polega na przekazywaniu i pobieraniu energii. Wszystkie obwody elektryczne można podzielić na proste i złożone. Najprostszy obwód elektryczny składa się z elementu aktywnego, wytwarzającego SEM o wartości E, i jednego elementu pasywnego stanowiącego odbiornik.

Opór elektryczny (rezystancja) obwodu składa się z oporności odbiornika R i oporności wewnętrznej źródła prądu Ry Natężenie prądu, który popłynie w takim obwodzie, jest proporcjonalne do siły elektromotorycznej E i odwrotnie proporcjonalne do całkowitego oporu obwodu, tzn.

Z powyższego wyrażenia wynika, że:

E = U + IR_w

tzn., że napięcie, jakie można uzyskać z danego źródła prądu

U-E-IR_w

jest zawsze mniejsze od jego SEM o wartość spadku potencjału na jego oporności wewnętrznej R_w.

Jeżeli rezystancja obwodu R jest stała, to natężenie prądu jest wprost proporcjonalne do przyłożonego napięcia. Obwód spełniający ten warunek nazywa się obwodem biernym. W pracy każdego źródła prądu można wyróżnić dwa przypadki graniczne:

a) stan jałowy, b) stan zwarcia.

Stan jałowy występuje wtedy, gdy rezystancja odbiornika R = x. W takim przypadku natężenie prądu / w obwodzie równa się zero, a napięcie U na zaciskach źródła równa się jego sile elektromotorycznej E.

Stan zwarcia ma miejsce wtedy, gdy rezystancja odbiornika R jest równa zeru. W takim przypadku napięcie U na zaciskach źródła równa się zeru, a natężenie prądu zwarcia jest określone wyrażeniem:

Przedstawiając charakterystyki odbiornika w postaci funkcji U =f(I), dla różnych wartości R otrzymuje się całą rodzinę prostych.

Punkt pracy obwodu elektrycznego ustala się na przecięciu charakterystyki źródła prądu z charakterystyką odbiornika. Położenie tego punktu zależy od rezystancji odbiornika. Punktom pracy A, B, C odpowiadają napięcia U_A, U_B, Uc. Z rysunku po wyżej wynika, że punkt ten zależy od oporności odbiornika. Ze wzrostem R punkt pracy przesuwa się w kierunku stanu jałowego, a przy jego zmniejszaniu się — do stanu zwarcia. Gdy rezystancja obwodu nie jest stała, charakterystyki U =f(I) nie są liniami prostymi. Dla elementów nieliniowych obwodu wyznacza się rezystancje statyczne i dynamiczne.

Stany nie ustalone w obwodach z indukcyjnością

W obwodach prądu stałego w stanie ustalonym napięcie i natężenie prądu mają wartości stałe. Wynika z tego, że każdej zmianie napięcia na rezystorze towarzyszy jednoczesna zmiana natężenia prądu. Inaczej jest, gdy w obwodzie znajduje się element indukcyjny (cewka z rdzeniem lub bez)

Zmiana natężenia prądu w takim obwodzie powoduje powstanie siły elektromotorycznej samoindukcji o wartości:

Wynika z tego, że cewka staje się w takich przypadkach elementem aktywnym obwodu. Po zamknięciu obwodu kluczem k zacznie w nim płynąć prąd. Przy narastaniu natężenia prądu, tzn. dl/dt>0, wzbudzona siła elektromotoryczna samoindukcji E_L ma, zgodnie z regułą Lenza, kierunek przeciwny do SEM źródła, zatem całkowita siła elektromotoryczna w obwodzie będzie równa:

Całkując to równanie różniczkowe otrzymuje się wyrażenie na natężenie prądu, które będzie zależeć od czasu. Wynik końcowy ma postać:

gdzie;

T — elektromagnetyczna stalą czasowa obwodu

Przebieg funkcji I=f(t) przedstawia rysunek:

Wartość T można wyznaczyć wykreślnie, prowadząc styczną do krzywej w punkcie t=0. Po rozwarciu obwodu kluczem k proces będzie miał przebieg odwrotny.

Gdy źródłem prądu w takim obwodzie jest np. prąd sinusoidalnie zmienny:

I = I_msin ωt

silą elektromotoryczna samoindukcji wzbudzać się będzie przez cały czas trwa­nia przepływu prądu, zgodnie ze wzorem:

(2.8)

Z powyższego wyrażenia wynika, że siła elektromotoryczna samoindukcji wyprzedza w fazie prąd o n/2. Przesunięcie fazowe jest uwarunkowane hamują­cym działaniem siły elektromotorycznej indukcji własnej. Ponieważ przeciw­działa ona wzrostowi natężenia prądu w cewce, zatem szczytowe natężenie prądu zostanie osiągnięte później niż szczytowe napięcie. Można wobec tego odłożyć wektor o długości Lω l_m prostopadle do wektora I_mR i otrzymać wektor wypadkowy obrazujący siłę elektromotoryczną źródła (rys. 2.5).

Wektor l_m ω L=E_L odpowiada maksymalnej sile elektromotorycznej sa­moindukcji, wobec tego

(2.9)

gdzie:

ν— częstotliwość napięcia sieci (50 Hz).

Mianownik wyrażenia (2.9) nazywa się oporem indukcyjnym cewki R_L, lub reaktancją. Opór ten zależy od częstości kołowej ω oraz współczynnika samo­indukcji L

Z rysunku 2.5 wynika, że napięcie wypadkowe wyprzedza natężenie prądu o kąt d>, który można wyznaczyć z wyrażenia:

(2.10)

Ponadto z rysunku 2.5 wynika, że wektor siły elektromotorycznej źródła jest określony wyrażeniem:

(2.11)

Jeżeli silą elektromotoryczna źródła jest określona wzorem:

(2.12)

to natężenie prądu, jaki popłynie w takim obwodzie, będzie wynosiło:

(2.13)

Wyrażenie:

(2.13a)

ma wymiar oporności, zwanej opornością pozorną lub impedancją. Impedancja w obwodzie prądu przemiennego spełnia zatem taka sama funkcję jak rezystancja w obwodzie prądu stałego, ze względu jednak na przesunięcie fazowe, jakie w tym przypadku ma miejsce, natężenie prądu w obwodzie będzie mniejsze. Obrazem graficznym tego wyrażenia jest tzw. trójkąt oporów (rys. 2.6).

Wykorzystując wartości skuteczne, które odczytujemy na miernikach prą­du przemiennego, można prawo Ohma napisać w postaci:

(2.14)

Kondensator w obwodzie prądu przemiennego

Niech w obwodzie zamiast cewki będzie włączony kondensator o pojem­ności C (rys. 2.7).

Gdy obwód jest zasilany ze źródła prądu stałego o napięciu U, konden­sator nie pobiera energii, ponieważ wartość ładunku na jego okładkach jest stała. W tym obwodzie w momencie zwarcia kluczem k lub przy zmianie biegu­nów źródła prądu popłynie jedynie prąd chwilowy, zwany prądem ładowania. Do chwili naładowania kondensatora jest stan nie ustalony. Trwa on dopóty, dopóki między okładkami kondensatora ustali się napięcie U_c= U, przeciwnie do niego skierowane. W myśl drugiego prawa Kirchhoffa, można napisać:

U-U_C = RI

(2.15)

stąd natężenie prądu ładowania wynosi:

(2.16)

Prąd ten w czasie dt powoduje przyrost ładunku Q na okładkach kondensatora do dQ, tzn:

(2.17)

Przyrost tego ładunku spowoduje wzrost napięcia między okładkami, w myśl zależności:

(2.18)

Wykorzystując zależność (2.17), można napisać, że:

(2.19)

Biorąc pod uwagę powyższe wzory, wyrażenie (2.15) można napisać w postaci:

(2.20)

Rozwiązaniem tego równania (gdy t = O, napięcie U_c = 0) jest wyrażenie na zmianę w czasie napięcia między okładkami kondensatora:

(2.21)

Czas T występujący w wykładniku potęgi nazywa się elektryczna stała czasową obwodu i jest ona określona wyrażeniem:

T=RC

(2.22)

Korzystając z wyrażenia (2.16) można otrzymać wzór na natężenie prądu ładowania kondensatora:

(2.23)

Przebiegi czasowe funkcji U_c=f(t) i I=f(t) są przedstawione na rysunku 2.8.

Kondensator pobiera w czasie ładowania energię elektryczną, która gro­madzi się w nim w postaci pola elektrycznego o wartości:

(2.24)

Jeżeli obwód z kondensatorem zasilać będziemy prądem przemiennym o natężeniu:

(2.25)

to zachodzi ciągły proces ładowania i rozładowywania kondensatora. Siła elek­tromotoryczna źródła musi równoważyć spadek potencjału na kondensatorze C i rezystancji R. Napięcie na kondensatorze jest określone wyrażeniem:

(2.26)

Po podstawieniu za / wyrażenia (2.25) otrzyma się:

(2.27)

Wynika stąd, że napięcie na kondensatorze opóźnia się w fazie o n/2 w stosunku do natężenia prądu. Wektorowy zapis tego przebiegu przedstawia rysunek 2.9.

Jak wynika z rysunku 19, siła elektromotoryczna E opóźnia się o kąt Φ w stosunku do napięcia. Wartość tego opóźnienia określa wyrażenie:

(2.28)

natomiast maksymalna siła elektromotoryczna źródła wynosi:

(2.29)

Gdy siła elektromotoryczna źródła prądu przyłożonego do danego ob­wodu jest określona wyrażeniem:

(2.30)

wówczas natężenie prądu, jaki popłynie w tym obwodzie, jest równe:

(2.31)

Wyrażenie

nazywa się opornością pojemnościowa kondensatora, natomiast wyrażenie:

(2.32)

nosi nazwę zawady pojemnościowej obwodu.

Wiedząc, że w obwodzie prądu przemiennego mierniki wskazują wartości skuteczne, można prawo Ohma zapisać w postaci:

(2.33)

Wpływ szeregowego połączenia elementów R L C na natężenie prądu w ob­wodzie

Połączenie elementów RLC w takim przypadku jest przedstawione na rysunku:

Napięcie źródła
rozłoży się na poszczególnych elementach tego obwodu zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, tzn.

Wektorowy wykres rozkładu tych napięć obrazuje rysunek :

Wypadkowe napięcie w obwodzie, zgodnie z rysunkiem będzie wynosiło:

Wyrażenie:

nazywamy zawadą całkowitą obwodu lub impedancją.

Wykorzystując to wypadkowe napięcie w obwodzie można zapisać wzorem:

U = Z I

który swoją postacią określa prawo Ohma.

Natężenie prądu, jaki popłynie w takim obwodzie, jest określone wzorem:

Przesunięcie fazowe Φ można obliczyć ze wzoru:

Kąt fazowy Φ może być dodatni lub ujemny:

1. Gdy R_L>R_C, wtedy Φ>0, co oznacza, że prąd opóźnia się względem napię­cia, a obwód ma właściwości indukcyjne.

2. Gdy R_L < R_C, wtedy Φ<O, tzn., że natężenie wyprzedza napięcie, a obwód ma właściwości pojemnościowe.

3. Gdy R_L= R_C, wówczas występuje rezonans napięć i w tym przypadku Φ = 0.

Rezonans napięć w dowolnym obwodzie można osiągnąć odpowiednio dobierając wartości L i C lub zmieniając częstotliwość. W drugim przypadku doprowadza się do tzw. częstotliwości rezonansowej. Przy wzroście częstot­liwości reaktancja indukcyjna R_L rośnie liniowo, natomiast reaktancja pojem­nościowa R_C maleje hiperbolicznie

Dla częstotliwości rezonansowej ω₀ spełniony warunek: R_L = R_C. Z te­go warunku można obliczyć częstotliwość rezonansową:

Z powyższych rozważań wynika, że dla częstotliwości rezonansowej natęże­nie prądu w obwodzie jest ograniczone opornością omową, natomiast dla częs­totliwości większych lub mniejszych od rezonansowej natężenie prądu będzie maleć.

---