Z₃

1. Rozłożyć na czynniki nierozkładalne wielomian :

a)

c+a=0 a=-c a=-c a=-c a=-c

d+ac+b=-1 d=-1-b+a 1/b=-1-b+a b=-b-b +a b 0=-2b-b +a b

ad+bc=0 ad-ab=0 a/b-ab=0 a/b-ab=0 a/b

bd=1 d=1/b d=1/b d=1/b

b=1

c=

d=1

a=

lub drugi sposób

z= -1 =

2. Sprawdzić czy funkcje wymierne są ułamkami prostymi :

a)
nad R -to jest ułamek prosty bo w R nie można rozłożyć mianownika ułamka na czynniki (mianownik nie zeruje się)

b)
nad R - to nie jest ułamek prosty bo da się go rozszerzyć o (
)

c)
nad C - to nie jest ułamek prosty bo mianownik da się rozłożyć na czynniki (x-i)(x+i)

d)
nad Q- to jest ułamek prosty bo mianownik nie da się rozłożyć na czynniki wymierne

4. Rozłożyć na ułamki proste nad R funkcję wymierną

A+B+C=0 A+B=-C A+B=-2A B=-3A B=-3A B=1

D-2A=1 D=2A+1 D=2A+1 D=2A+1 D=2A+1 D=1/3

2A-C=0 C=2A C=2A C=2A C=2A C=-2/3

-A-D+B=1 -A-2A-1+B=1 -3A+B=2 B=2+3A -6A=2 A=-1/3

Praca domowa1

Wykazać ,że:

Korzystam z wcześniej dowiedzionego wzoru :

gdzie z-liczba zespolona

Wstawiam do wzoru:

Korzystam z wzoru Moivre'a:

Potem rozpisuję wzór na dwa szeregi , przekształcam prawą stronę,(ruguję część urojoną w mianowniku,wymnażam, grupuję na częśc rzeczywistą i część urojoną, stosuję wzory na cosinus sumy dwóch kątów i sinus różnicy dwóch kątów,odzielnie przekształcam

oddzielnie przekształcam część rzeczywistą (stosuję wzór na różnicę cosinusów)

przenoszę ½ na lewą stronę i otrzymuję :

c.n.d

oddzielnie przekształcam część urojoną (stosuję wzór na różnicę sinusów)

Z₄

1.Wykaż, że każdy układ wielomianów
gdzie i= 0, 1,2...n takich , że stopień
jest bazą przestrzeni R

- zbiór wielomianów tworzy przestrzeń

baza:
bo każdy wielomian można utworzyć z tej kombinacji i wielomiany te są liniowo niezależne

-tworzą bazę dla przestrzeni R

są liniowo niezależne

2.Niech
. Czy zbiór

jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej
? Jeśli tak , podać jej nazwę i wymiar.

Kolokwium1

1. Obliczyć
lub
lub

2. Dane jest przekształcenie liniowe ϕ: R³ → R³ takie, że ϕ((0,1,1)=(1,1,3) i ϕ((1,1,1)=(1,2,3) i ϕ((1,2,1)=(2,2,3) Znaleźć wzór postaci ϕ ((x,y,z))=(a₁x+b₁y+c₁z,a₂x+b₂y+c₂z,a₃x+b₃y+c₃z)

3.Znaleźć jądro przekształcenia ϕ: R³ → R³ oraz jego wymiar, jeżeli ϕ((x,y,z))=(y,x+z,3z) lub ϕ((x,y,z))=(y,3y,x+z) lub ϕ((x,y,z))=(x+y,z,3z)

Z₆

1. Sprawdzić, czy poniższe macierze dadzą się pomnożyć i ewentualnie obliczyć iloczyny AB i BA.

A =
, B =

A =
, B =

2. Dane jest ϕ:R³→R², ϕ((x,y,z)) = (x+y-z, 2x-3y+2z) i ψ:R²→R⁴, ψ ((x,y)) = (x-y, x+y, 2x-y, x+2y). Obliczyć ψϕ ((x,y,z), znajdując macierze ϕ i ψ w bazach zerojedynkowych.

3. Znaleźć metodą macierzową wzór przekształcenia ϕ:R³→R² postaci ϕ ((x,y,z)) = (a₁x + b₁y + c₁z, a₂x + b₂y + c₂z, a₃x + b₃y + c₃z) jeśli wiadomo, że ϕ ((1,1,1)) = (2,1,3), ϕ ((1,1,0)) = (1,1,2) i ϕ ((1,0,0)) = (3,2,1)

4. Dana jest macierz
, gdzie A = ((1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)), B = ((1,2,3), (3,1,2), (1,1,0)). Obliczyć ϕ((1,2,3))

Z₇

1. Znaleźć wszystkie minory stopnia 2 macierzy
. Ile jest minorów stopnia k macierzy A = [a_ji]_mxn ?

2. Obliczyć det A, gdzie A =
, gdzie x,y,z,w ∈ C.

3. Obliczyć

4. Wykazać indukcyjnie, że:

Odpowiedzi

3.ϕ ((x,y,z)) = (-x+4y-3z, 3x-2y+z, 5y-4z, 5x-5y+3z)

4.ϕ ((x,y,z)) = (3x-2y+z, 2x-y, x+y+z)

5.ϕ ((1,2,3)) = (-11, -17, -34)

---