(5170) pochodna funkcji, Budownictwo-studia, Matematyka


Pochodna funkcji

0x08 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Różniczkowa wartość funkcji

Niech funkcja 0x01 graphic
będzie określona w pewnym otoczeniu Q punktu x0, w którym jest różniczkowalna. Dowolny ( różny od zera ) przyrost 0x01 graphic
zmiennej niezależnej x oznaczamy symbolem dx i nazywamy różniczką zmiennej niezależnej.

Różniczką dy funkcji f(x) w punkcie x0 i dla przyrostu dx nazywamy iloczyn

0x01 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic

Pochodna ( interpretacja geometryczna )

0x08 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

Pochodna - granica ilorazu różnicowego. Tangens konta pomiędzy styczną
do wykresu funkcji w punkcie x0, f(x0) z osią OX

Styczna - graniczne położenie siecznej

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Twierdzenie o pochodnej superpozycji

0x08 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
- złożona

Pochodna funkcji odwrotnej

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

y = arc tg x

x = tg y

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Materiały na zaliczenie - Piszczała - Wykłady z analizy matematycznej”, analiza matematyczna - skrypt

Twierdzenia:

Twierdzenie Lagrange ( o przyrostach )

0x01 graphic
- ciągła

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic

styczna równoległa do siecznej

0x01 graphic

0x01 graphic
jest rosnąca

Monotoniczność funkcji

Funkcję f nazywamy monotoniczną w zbiorze A, jeżeli jest funkcją niemalejącą lub nierosnącą w zbiorze A

Funkcję f nazywamy ściśle monotoniczną w zbiorze A, jeżeli jest funkcją rosnącą lub malejącą w zbiorze A

0x08 graphic
0x08 graphic
Funkcję f nazywamy rosnącą w X, jeżeli 0x01 graphic

0x08 graphic
Funkcję f nazywamy niemalejącą w X, jeżeli 0x01 graphic

0x08 graphic
Funkcję f nazywamy malejącą w X, jeżeli 0x01 graphic

Funkcję f nazywamy nierosnącą w X, jeżeli 0x01 graphic

Ekstrema funkcji ( lokalne )

0x08 graphic
Mówimy, że funkcja f, określona w otoczeniu x = x0, ma w tym punkcie maksimum ( lokalne ), jeżeli istnieje otoczenie (x0 - h, x0 + h ) tego punktu takie, że dla każdego x (x0 - h, x0 + h ) jest f(x) < f(x0)

0x08 graphic
Mówimy, że funkcja f, określona w otoczeniu x = x0, ma w tym punkcie minimum
( lokalne ), jeżeli istnieje otoczenie (x0 - h, x0 + h ) tego punktu takie, że dla każdego x (x0 - h, x0 + h ) jest f(x) > f(x0)

0x08 graphic
Mówimy, że funkcja f, określona w otoczeniu x = x0, ma w punkcie x0 ekstremum ( lokalne ), jeżeli ma w tym punkcie maksimum lub minimum
( lokalne )

0x08 graphic

0x08 graphic

Wypukłość i wklęsłość funkcji

0x08 graphic
0x08 graphic

wypukła

wklęsła

)

(

x0

pochodna funkcji

α

dy

Δy

dx

styczna

dy

dx

= tg

f(x0)

x0+dx

x0

x

y

f(x0+dx)

f(x)

f(x0)

x0

x

f(x) - f(x0)

x - x0

Z różniczkowalności funkcji w punkcie wynika jej ciągłość w tym punkcie

f(x) = |x|

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0, ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to f'(x)=0

Jeżeli funkcja posiada ekstremum i pochodną
w jednym punkcie - pochodna jest równa 0



Wyszukiwarka