Wzory 6

WZORY 6:   zmienne losowe - statystyki z próby, estymatory - o rozkładzie normalnym będące funkcjami zmiennych losowych o rozkładzie normalnym

Własność addytywności rozkładu normalnego

Zmienna losowa Xi ma w populacji generalnej o numerze i rozkład normalny, określony parametrami mi oraz σi, i = 1,..., n. Zmienna losowa X będąca sumą zmiennych losowych Xi ma również rozkład normalny, określony wartością oczekiwaną będącą sumą wartości oczekiwanych mi oraz wariancją będącą sumą wariancji .

Własność addytywności zapisujemy za pomocą następującego wzoru (6.1):

Jeżeli Xi: N[mi, σi], to X =  Xi :

Założenia I

1) Zmienna losowa X ma w populacji generalnej rozkład normalny, określony parametrami m oraz σ. Próbę prostą n-elementową tworzy ciąg niezależnych zmiennych losowych (X1, X2, X3,..., Xn) o rozkładach identycznych i jednakowych z rozkładem zmiennej losowej X w populacji generalnej.

2) Jeżeli mamy do czynienia z dwiema populacjami generalnymi, to założenie 1) dotyczy obu populacji.

3) Statystyka z próby jest zmienną losową ⇐n będącą funkcją zmiennych losowych (X1, X2,..., Xn), które stanowią próbę losową prostą. Realizacje zmiennych losowych (X1, X2,..., Xn) w konkretnej, n-elementowej próbie tworzą ciąg obserwacji liczbowych zapisywanych następująco: (x1, x2,..., xn).

4) Statystyka z próby ⇐n wybrana do celów estymacji parametru nazywana jest estymatorem i oznaczana symbolem Tn. Realizacja estymatora Tn w n-elementowej próbie oznaczana jest symbolem tn i traktowana jako punktowa ocena parametru.

Zmienna losowa X: N[m, σ⇔	Funkcje Tn zmiennych (X1, X2,..., Xn) gdy Xi: N[m, σ⇔ i = 1,..., n	Rozkład Tn, i = 1,..., n,	Realizacje xi (xj) (x1, x2,..., xn) i = j, j = 1,..., n.
(1)	(2)	(3)	(4)
Statystyki  i  jako estymatory Tn parametru m: wzory (6.2)
m
		U: N[0,1]
	dla n nieparzystego	, gdy ,	dla n nieparzystego
	dla n nieparzystego	, gdy ,	dla n parzystego
		U: N[0,1]
Statystyki S^2 i  jako estymatory parametru σ^2: wzory (6.3)
σ^2		S^2: N gdy  ,
		U: N[0,1]
Statystyki S i  jako estymatory parametru σ: wzory (6.4)
σ		S: N gdy  ,
		U: N[0,1]
		gdy  ,
		U: N[0,1]
Statystyka  jako estymator parametru m1 - m2: wzory (6.5)
m1 - m2
		U: N[0,1]
Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: M. Fisz: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1969; J. Greń: Statystyka matematyczna, podręcznik programowany, PWN, Warszawa 1987; J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---