Sprawozdanie z laboratorium z fizyki i biofizyki

Ćwiczenie nr 2

Temat ćwiczenia: Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zwieszenia trójnitkowego

Data wykonania ćwiczenia: 15.05.2007

Sekcja nr IV w składzie:

1. Lucyna Trzaskalik

2. Agata Matyja

Data oddania sprawozdania:……………………

Ocena:………………

I WSTĘP TEORETYCZNY:

Bryła sztywna jest ciałem materialnym, którego kształt i wymiary nie ulegają zmianie pod działaniem sił (jest to ciało którego punkty pozostają w nie zmieniających się odległościach od siebie, niezależnie od działających sił).

Momentem bezwładności układu mechanicznego względem nieruchomej osi a nazywamy wielkość fizyczną I_a równą sumie iloczynów mas wszystkich n punktów materialnych układu i kwadratów ich odległości od osi:

                 

gdzie m_i jest masą i-tego punktu, a r_i - jego odległością od osi.

Moment bezwładności ciała o ciągłym rozkładzie masy jest równy

                 

gdzie dm = r dV  jest masą małego elementu objętości bryły dV,
r - gęstością, a r - odległością elementu dV od osi a.

Moment bezwładności danej bryły względem dowolnej osi zależy od masy, kształtu i rozmiarów bryły oraz położenia bryły względem tej osi.

Twierdzenie Steinera.

Moment bezwładności I względem dowolnej osi równa się sumie momentu bezwładności I_ŚM względem osi do niej równoległej i przechodzącej przez środek masy oraz momentu bezwładności względem danej osi liczonemu tak, jakby cała masa ciała była skupiona w środku masy:

Ciało obracające się posiada energię kinetyczną, gdyż jest w ruchu. Energia kinetyczna E_k ciała sztywnego obracającego się wokół stałej osi jest równa:

gdzie: E_ko - energia kinetyczna ruchu obrotowego

- prędkość kątowa

II PRZEBIEG ĆWICZENIA:

Cel ćwiczenia: Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zwieszenia trójnitkowego

1. Opis wykonywanych czynności:

1. Zmierzono długość nici, na których zawieszono poziomą, jednorodną tarczę kołową o promieniu 12,25cm l = 84 cm.

2. Prostopadłościany i walce o określonych masach m₁, których bezwładność I₁ wyznaczano (względem osi centralnej) kładziono kolejno na tarczę tak, aby oś główna bezwładności danej bryły pokrywała się z osią tarczy.

3. Następnie tarczę z wraz z bryłą obracano o pewien, niewielki kąt. Tarcza z bryła wykonywała okresowe drgania.

4. Zmierzono czas 50 okresów, czynność te powtórzono sześciokrotnie dla każdej bryły.

2. Tabele wyników:

Typ ciała	Czas kolejnych serii pomiarów dla 50 drgań [s]						Średni czas 50 drgań [s]	Okres T [s]
		t1	t2	t3	t4	t5			t6
Wahadło bez ciężarka 180g	64,61	65,23	64,38	65,56	64,21	65,06	64,84	1,30
Metalowy walec 110g	52,77	52,91	52,21	52,30	52,99	52,95	52,69	1,05
Metalowy walec 400g	40,47	39,70	39,89	40,37	40,62	39,75	40,13	0,80
Cienki metalowy krążek 200g	54,68	54,75	55,09	54,74	55,08	55,34	54,95	1,10
Drewniany prostopadłościan 120g	54,85	55,15	55,08	54,74	55,01	55,02	54,98	1,10
Drewniany prostopadłościan 140g	50,97	50,75	51,72	51,52	51,46	51,33	51,29	1,03

Typ ciała	Masa ciała [kg]	Szerokość W / promień R1 [m]	Długość L / promień R2 [m]	Czas [s]	Okres T [s]
Wahadło bez ciężarka 180g	0,180	0,126	-----	64,84	1,30
Metalowy walec 110g	0,110	0,03780	-----	52,69	1,05
Metalowy walec 400g	0,400	0,03958	-----	40,13	0,80
Cienki metalowy krążek 200g	0,200	0,03860	0,00465	54,95	1,10
Drewniany prostopadłościan 120g	0,120	0,11995	0,11945	54,98	1,10
Drewniany prostopadłościan 140g	0,140	0,07980	0,08015	51,29	1,03

3. Obliczenia i analiza błędu:

Dodatkowe dane

Długość nitki l = 0,84 m

Promień tarczy R_o = 0,126 m

Masa tarczy m_o = 0,18 kg

a) Obliczenie momentu bezwładności na podstawie długości krawędzi i masy:

- moment bezwładności tarczy I_o obliczono ze wzoru:

gdzie m_o to masa tarczy, a R_o to promień tarczy

- moment bezwładność dla drewnianego prostopadłościanu o wymiarach W x L obliczono ze wzoru:

gdzie m to masa prostopadłościanu.

- moment bezwładności metalowego walca obliczono ze wzoru:

gdzie m to masa walca, a r to promień walca.

- moment bezwładności cienkiego wydrążonego walca (tulei) - cienki metalowy krążek obliczono ze wzoru:

Gdzie R₁ to wewnętrzny promień, R₂ to zewnętrzny promień, a M to masa wydrążonego walca (tulei)

Obliczenie błędów:

- dla momentu bezwładności tarczy I_o obliczono ze wzoru:

gdzie R₀ = 0,001 m

- dla moment bezwładność dla drewnianego prostopadłościanu o wymiarach W x L obliczono ze wzoru:

gdzie L = W = 0,00001 m

- dla momentu bezwładności metalowego walca obliczono ze wzoru:

gdzie R = 0,00001 m

- dla momentu bezwładności cienkiego wydrążonego walca (tulei) - cienki metalowy krążek obliczono ze wzoru:

gdzie R₁ = R₂ =0,00001 m

Wyniki zebrano w tabeli:

Typ ciała	Moment bezwładności I [kg  m^2] obl. na podstawie pomiarów długości krawędzi i masy	dI
Wahadło bez ciężarka 180g	0,00143	0,00002268
Metalowy walec 110g	0,00008	0,00000004
Metalowy walec 400g	0,00031	0,00000016
Cienki metalowy krążek 200g	0,00076	0,00000009
Drewniany prostopadłościan 120g	0,00029	0,00000005
Drewniany prostopadłościan 140g	0,00015	0,00000004

b) Obliczenie momentu bezwładności na podstawie zmierzonych okresów drgań:

- moment bezwładności tarczy I_o obliczono ze wzoru:

-
Znając wartości okresów ciał (prostopadłościanów i walców) oraz I_o wyznaczono bezwładności tych ciał korzystając ze wzoru:

gdzie m₁ to masa ciała dla którego określamy bezwładność, a

Obliczenie błędów:

- dla momentu bezwładności tarczy I_o obliczono ze wzoru:

gdzie T = 0,01 s

- dla momentu bezwładności ciał (prostopadłościanów i walców) obliczono ze wzoru:

gdzie T = 0,01 s

Wyniki zebrano w tabeli:

Typ ciała	Moment bezwładności I wyznaczony względem jednej z głównych, centralnych osi bezwładności dla poszczególnych okresów						Średnia wartość I	dI
		T1	T2	T3	T4	T5			T6
Wahadło bez ciężarka 180g	0,00141	0,00144	0,00140	0,00145	0,00139	0,00143	0,00142	0,00002
Metalowy walec 110g	0,00010	0,00010	0,00006	0,00007	0,00011	0,00011	0,00009	0,00003
Metalowy walec 400g	0,00036	0,00030	0,00031	0,00035	0,00038	0,00030	0,00033	0,00004
Cienki metalowy krążek 200g	0,00071	0,00072	0,00074	0,00072	0,00074	0,00076	0,00073	0,00004
Drewniany prostopadłościan 120g	0,00027	0,00029	0,00029	0,00027	0,00028	0,00028	0,00028	0,00003
Drewniany prostopadłościan 140g	0,00014	0,00013	0,00019	0,00017	0,00017	0,00016	0,00016	0,00003

Ostateczne wyniki:

Wyniki końcowe I [kg  m^2] momentu bezwładności obliczone na podstawie pomiarów długości krawędzi i masy
Wahadło bez ciężarka 180g	0,14  10^-2  0,23  10^-4
Metalowy walec 110g	0,01  10^-2  0,04  10^-6
Metalowy walec 400g	0,03  10^-2  0,16  10^-6
Cienki metalowy krążek 200g	0,08  10^-2  0,09  10^-6
Drewniany prostopadłościan 120g	0,03  10^-2  0,05  10^-6
Drewniany prostopadłościan 140g	0,02  10^-2  0,04  10^-6

Wyniki końcowe I [kg  m^2] momentu bezwładności I wyznaczony względem jednej z głównych, centralnych osi bezwładności dla poszczególnych okresów
Wahadło bez ciężarka 180g	0,14  10^-2  0,2  10^-4
Metalowy walec 110g	0,01  10^-2  0,3  10^-4
Metalowy walec 400g	0,03  10^-2  0,4  10^-4
Cienki metalowy krążek 200g	0,07  10^-2  0,4  10^-4
Drewniany prostopadłościan 120g	0,03  10^-2  0,3  10^-4
Drewniany prostopadłościan 140g	0,02  10^-2  0,3  10^-4

II WNIOSKI:

Przeprowadzone ćwiczenie wykazało, że moment bezwładności ciał zależy zarówno od masy ciała

jak i jej rozkładu. Analizując uzyskane wyniki można stwierdzić, że większy moment bezwładności posiada metalowy walec o promieniu r= 0,05 m i masie 0,40 kg niż walec metalowy o masie = 0,11 kg i r= 0,02 m. W przypadku prostopadłościanów większy moment bezwładności posiada bryła o mniejszej masie, ale o większych wymiarach, widzimy zatem że moment bezwładności zależy także od rozkładu masy.

Wartość wyznaczonego momentu bezwładności bryły nie jest zbyt dokładna, co wynika z różnicy pomiędzy wartościami obliczonymi doświadczalnie za pomocą tarczy od wartości obliczonych na podstawie pomiarów długości krawędzi (czy też promienia) i masy. Na zaistniały błąd mogło mieć wiele czynników - brak refleksu podczas pomiaru czasu drgań przy włączaniu i wyłączaniu stopera, co mogło wpłynąć na wyznaczony okres T oraz niedoskonałość samych urządzeń pomiarowych ( stoper na komórce). Poza tym podczas wyznaczania momentu bezwładności nie uwzględniono momentu bezwładności drucika, a także oporu powietrza. Podczas pomiaru wynikły także trudności przy wprawianiu tarczy wraz z badanym ciałem wyłącznie w ruch obrotowy, co było wręcz niemożliwe do wykonania, ponieważ tarcza zawsze poruszała się małymi ruchami w bok. Większe błędy można także zauważyć przy pomiarach promienia wahadła, gdyż mierzono je metrem, natomiast mniejszy w przypadku pomiaru promieni walców, gdyż do tego celu posłużono się suwmiarką.

Dlatego można stwierdzić, że lepszą metodą jest wyznaczenie momentu bezwładności ze wzoru tablicowego, ponieważ nie wymaga uśredniania wartości czasu drgań tarczy, co w rezultacie daje wiarygodniejsze wyniki.

5

6

---