1.Narysuj wykres rozciągania stali z wyraźną granicą plastyczności i zaznacz punkty charakterystyczne.

Analizując typowy wykres rozciągania przedstawiony na rysunku należy wyodrębnić następujące charakterystyczne wielkości:

a) granica proporcjonalności(б_prop)poniżej granicy б_prop naprężenia są wprost proporcjonalne do odkształceń ε,

b) granica sprężystości(б_spr)-dla б < б_spr po odciążeniu nie ma odkształceń trwałych, natomiast po przekroczeniu naprężeń б_spr elementy po odciążeniu nie wracają do swoich wymiarów pierwotnych.

c) wyraźna granica plastyczności-jest to naprężenie, po osiągnięciu które­go następuje wyraźny wzrost odkształcenia bez wzrostu obciążenia

d) wytrzymałość na rozciąganie-jest to naprężenie odpowiadające maksymalnej sile uzyskanej podczas próby rozciągania odniesionej do pierwotnego przekroju poprzecznego próbki.

5.Podaj prawo Hooke'a dla ścinania.

Rozpatrując w najprostszej formie prawo Hooke'a dla rozciągania mówimy, że odkształcenia są wprost proporcjonalne do naprężeń i zapisujemy to poznanym już wzorem, następnie patrząc na naprężenia styczne τ i powstający pod ich wpływem kąt odkształcenia postaciowego γ przez analogię możemy sformułować prawo Hooke'a dla ścinania: γ=τ/G,

6.Podaj zasadę superpozycji.

W przypadkach złożonych stanów naprężeń, np. gdy elementy konstrukcji są obciążone w dwóch kierunkach, mamy do czynienia z płaskim stanem napręże­nia. W takim przypadku najłatwiej można wyznaczyć odkształcenia, stosując zasadę superpozycji, tzn. rozpatrzyć odkształcenia, wywołane napręże­niami б_x, a następnie odkształcenia wywołane naprężeniami б_y i nałożyć na sie­bie efekty obu stanów. Zakładając działanie tylko naprężeń б_x obliczamy wydłużenia w kierunku osi x, wydłużenie to wynosi Δl`= б<sub>x</sub>l/E natomiast odkształcenie jest równe ε`= б_x/E. Przy rozciąganiu elementu odkształceniu wzdłużnemu towarzyszy odkształcenie poprzeczne (zwężenie), należy zatem jeszcze obliczyć odkształce­nie Δb w kierunku osi y, odkształcenie to obliczamy wykorzystując zależność między odkształceniem podłużnym i porzecznym określanym za pomocą współ­czynnika odkształcalności poprzecznej, zwanego liczbą Poissona (v=-ε`<sub>y</sub>/ε`_x) stąd ε`<sub>y</sub>=-vε`_x oraz ε`<sub>y</sub>=-vб<sub>x</sub>/E. Zakładając działanie naprężeń б<sub>y</sub>, otrzymujemy Δb``=б<sub>y</sub>b/E oraz ε``=б<sub>y</sub>/E, a następnie ε``=-vε<sub>y</sub>``=-vб<sub>y</sub>/E. Wykorzystując zasadę superpozycji ε<sub>x</sub>=ε`_x+ε``<sub>x</sub> ε<sub>y</sub>=ε`<sub>y</sub>+ε``_y otrzymujemy prawo Hooke^'a dla dwukierunkowego stanu naprężenia ε_x=1/E(б_x-vб_y) ε_y =1/E(б_y-vб_x).

7. Napisz prawo Hooke'a dla trójkierunkowego stanu naprężenia.

W ogólnym przypadku, gdy element konstrukcji jest trójwymiarowy przy zało­żeniu dowolnych kierunków obciążenia otrzymujemy przestrzenny stan naprężeń i odkształceń. Odkształcenia w przestrzennym stanie naprężenia obliczamy, po­stępując analogicznie jak w przypadku płaskiego stanu, np. przy obliczaniu odkształceń w kierun­ku osi x należy uwzględnić naprężenia, które powodują odkształcenia w kierun­ku osi y i z itd. W ten sposób otrzymujemy zależność między naprężeniami i odkształceniami, jest to prawo Hooke'a w trójkierunkowym stanie napięcia. Ε_x=1/E[б_x-v(б_y+б_z)], ε_y=1/E[б_y-v(б_x+б_z)], ε_z=1/E[б_z-v(б_x+б_y)]. Przedstawione zależności między naprężeniami i odkształceniami dotyczą ciał jednorodnych o takich samych własnościach we wszystkich kierunkach, ciała takie nazywamy izotropowymi.

8. Do czego służą wzory wyprowadzone przez Mohra (tzw. koło Mohra)?

Mając dane składowe naprężeń w kartezjańskim układzie współrzędnych б_x, б_y oraz τ_xy obliczamy naprężenia główne-б₁,б₂ i kąt α. Naprężenia te oblicza się zazwyczaj na podstawie analizy graficznej, sto­sując tzw. Koło Mohra. Metoda ta polega na założeniu, że koło Mohra jest miej­scem geometrycznym punktów, których współrzędne są odpowiednio składo­wymi naprężeń normalnych i stycznych (punkt M na rysunku). Przeprowadzając analizę koła pokazanego na rysunku łatwo zauważymy, że naprężenia główne-б₁ i б₂ można przedstawić jako sumę lub różnicę odcinków: б₁=OA+R orazб₂=OA-R, po przekształceniach otrzymujemy wzory: OA=(б_x+б_y)/2, R=pier{[( б_x+б_y)/2]²+τ²_xy}, б₁=[(б_x+б_y)/2]+pier{[( б_x+б_y)/2]²+τ²_xy}, б₂=[(б_x+б_y)/2]-pier{[( б_x+б_y)/2]²+τ²_xy}

Natomiast wartość maksymalnych naprężeń stycznych τ_max=1/2(б₁-б₂) jest równa promieniowi koła Mohra: τ_max=1/2(б₁-б₂)= pier{[( б_x-б_y)/2]²+τ²_xy}=R a kierunki główne określane są: tg2α=2τ_xy/б_y-б_x albo cos2α=(б_x-б_y)2R

9. Podaj zależność między momentem gnący Mg, siłą tnącą T i obciążenie poprzecznym q.

dT_x/dx=-q T_x=dM_gx/dx dx-długość elementu na który działają te siły.

11. Podaj definicję siły tnącej.

Siłą tnącą nazywamy geometryczną sumę wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie rozpatrywanego przekroju, rzutowaną na prostą prostopadłą do osi belki. Siłę tnącą uważamy za dodatnią jeżeli siła tnąca i ob­ciążająca powodowałyby obrót zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

12. Podaj definicję momentu gnącego.

Momentem gnącym nazywamy algebraiczną sumę momentów wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie rozpatrywanego przekroju, względem osi przechodzącej przez środek ciężkości przekroju poprzecznego belki. Moment gnący uważamy za dodatni, jeżeli wygina belkę wypukłością do dołu.

14. Podaj równanie różniczkowe linii ugięcia belki.

d²y/dx²=-M_g/EJ_z

15. Podaj definicję wskaźnika przekroju na zginanie.

Wskaźnikiem przekroju nazywamy iloraz momentu bezwładności względem osi centralnej przez maksymalną odległość y_max od osi z_c do włókien skrajnych. W_z=J_zc/y_max Wówczas maksymalne naprężenia przy zginaniu obliczamy wg wzoru б_max=M_gy_max/J_z=M_g/W_z

17. Podaj definicję momentu bezwładności figury płaskiej względem osi.

Momentem bezwładności figury o polu F względem osi z nazywamy sumę iloczynów elementarnych pól dF przez kwadraty odległości od osi z i zapisuje­my go całką(wzór ogólny dla figur plaskich)

19. Podaj wzór Steinera dla momentów bezwładności

Osie układu współrzędnych przechodzące przez środek ciężkości (y_c, z_c) nazy­wamy osiami centralnymi, osie te są przesunięte równolegle względem układu początkowego o y_c=α i z_c=β Przesunięcie równolegle układu zapisujemy wzo­rami y=α+y_c,, z=β+z_c. Momenty bezwładności figury obliczymy na pod­stawie podanych poprzednio wzorów

oraz

po przekształceniach otrzymano

Całka y_c²dF po F jest momentem bezwładności J_zC względem osi centralnej Z_s, a całka y_cdF po F, względem osi z_s(przechodzącej przez środek ciężkości)jest równa zeru; całkę tę nazywamy momentem statycznym figury, zatem otrzymujemy J_z=J_zC+α²F. Postępując analogicznie J_y=J_yC+β²F. Na podstawie wyprowadzonych wzorów możemy obliczyć zarówno mementy względem osi dowolnych, jak również względem osi centralnych. Mając dane momenty bezwładności względem dowolnych osi J_z i J_y możemy obliczyć mo­menty względem osi centralnych J_zC =J_z-α²F, J_yC =J_y-β²F są to wzory Steinera dla momentów bezwładności. Wzory te umożliwiają obli­czanie momentów bezwładności figur, posiadających jedną oś symetrii, złożo­nych z kilku elementów.

20. Podaj wzór na moment bezwładności prostokąta(a,b) i trójkąta(c).

Układ współrzędnych poprowadzono przez boki prostokąta. Przy obli­czaniu całki elementarne pole dF zastępujemy iloczynem b•dy (jak na rysunku), a całkę powierzchniową zastępujemy całką oznaczoną od zera do h. Moment bezwładności prostokąta względem osi przechodzącej przez podstawę wynosi

Układ współrzędnych poprowadzono przez środek ciężkości prostokąta, elementarne pole wynosi dF=b•dy (jak na rysunku), współrzędną y zastępujemy przez y_c, a całkę powierzchniową zastępujemy całką ozna­czoną od -h/2 do h/2.

c)

Układ współrzędnych poprowadzono przez podstawę trójkąta, przy obliczaniu całki elementarne pole dF zastępujemy iloczynem b(y)dy (jak na rysunku), a całkę powierzchniową całką oznaczoną od zera do h. Moment bezwładności trójkąta względem osi przechodzącej przez podstawę wynosi

21. Podaj wzory na kąt skręcenia i naprężenia styczne przy skręcaniu przekrojów kołowych.

Wzór na naprężenia przy skręcaniu: τ_p=M_sρ/J_o gdzie: ρ-promień, M_s-moment skręcający, J_o- biegunowy moment bezwładności. Kąt skręcenia φ obliczamy: całka{dφ}=całka{M_s/GJ_o}dla M_s/GJ_o=const φ=M_sl/GJ_o gdzie: l-długość pręta.

23. Narysuj rozkład naprężeń stycznych przy skręcaniu przekroju kołowego drążonego

W przypadku skręcania wałów o przekroju drążonym moment bezwładności należy obliczać w sposób pokazany na rysunku(od momentu bezwładności koła o promieniu r_z odejmujemy moment bezwładności koła o promieniu r_w). Wskaźnik przekroju, naprężenia styczne oraz kąt skręcenia obliczamy w sposób analogiczny jak w przypadku wałów o przekroju pełnym(patrz punkt 21).

24. Podaj zależność pomiędzy momentem skręcającym Ms [Nm], mocąP [kW] i liczbą obrotów n [obr/min]. M_s=9550•P/n[kW/obr/min]

26. Podaj wzór na naprężenia zredukowane według hipotezy największych naprężeń stycznych.

б_red=б₁-б₃=б_max-б_min

27. Podaj wzór na naprężenia zredukowane według hipotezy Hubera.

б_red=pier{1/2[(б₁-б₂)²+(б₂-б₃)²+(б₁-б₃)²]}

28. Podaj sposób wyznaczania naprężeń zredukowanych według hipotezy Hubera.

Po odjęciu od energii całkowitej energii odkształcenia objętościowego, otrzymujemy energię związaną ze zmianą postaci, inaczej mówiąc energia odkształce­nia postaciowego wynosi L_post=1+v/6E[(б₁, -б₂)²+(б₂-б₃)²+(б₁-б₃)²] Redukując złożony stan naprężeń do jednokierunkowego rozciągania б_red=б₁ oraz б₂=б₃=0, otrzymujemy energię odkształcenia posta­ciowego, która tutaj wynosi L_Post=1+Post/3E•б_red². Po porównaniu obu energii otrzymujemy naprężenie zredukowane.

---