Część II

PRZEPISZ STARANNIE - ZWRACA NA TO UWAGE, PRZEPISZ TAK ŻEBY PRACA NIE BYŁA PODOBNA - INNI MOGĄ MIEC TAKIE SAME I CO WTEDY?

Zadanie 1 - wyprowadzić równania dynamiki płynu lepkiego (r-nia Naviera-Stokesa)

-czasoprzestrzeń wypełniona płynem

Rozpatrzmy dowolny obszar Ω:

V(t,x) - pole prędkości

fv(t,x) - pole sił objętościowych

p(t,x) - pole gęstości pędu

J^Tn - wektor prądu konwekcyjnego

σ^Tn - wektor naprężeń

Prawo Newtona mówi o tym, że:
dla każdego obszaru Ω. Pochodna pędu (zmiana pędu) jest równa sumie sił działających na ten obszar.

Korzystając z Tw. Gaussa Ostrogradskij-ego doprowadzamy równanie do postaci:

Dla płynu lepkiego mamy zależności:

,
i po podstawieniu:

σ_{L -} tensor naprężeń związanych z odkształceniem postaciowym - zw. z lepkością

- tensor prędkości odkształcenia postaciowego. (dewiator prędkości odkształcenia postaciowego)

μ - lepkość dynamiczna płynu

- gdzie
- operator Laplace'a

Ponieważ:
to dalej możemy napisać:

Podążając dalej mamy zależnośc na siłę wypadkową:

Z bilansu pędu wiemy, że:

gdzie p - cisnienie! P - pęd! - to pisz jako takie smieszne IP - jak na wykladzie oznaczal - tak było wiec niech tak zostanie..

Korzystając z Tw. Gaussa-Ostrogradskij-ego:

i podstawiając:

Wiedząc, że
, oraz

a wiemy, że:
to pochodna materialna

podstawiając
mamy:

oraz podstawiając dalej:

Prawo zachowania masy prowadzi do zależności:
, a zatem:

Porównując wyrażenia podcałkowe, otrzymujemy równanie dynamiki płynu lepkiego:

- funkcja ciśnienia

Są to równania dynamiki płynu lepkiego, zwane równaniami Naviera-Stokes

Zadanie 2 - gaźnik

d=	?	[mm]		λ=	0,7	[-]
D=	23	[mm]		ρp=	1,3	[kg/m^3]
h=	2	[mm]		ρb=	700	[kg/m^3]
Ne=	23	[kW]		g=	9,81	[m/s^2]
ge=	200	[g/kWh]

λ =Q_p/(14,7 Q_b)

Q_p, Q_b - wydatki masowe

powietrza i benzyny

Obliczam wydatek masowy benzyny i powietrza:

Q_b = g_e*N = 200 g/kWh * 23 kW = 4600 g/h = 1,28 * 10^-3 kg/s

Q_p = 14,7 * λ * Q_b = 14,7*0,7 * 1,28 * 10^-3 = 0,0131 kg/s

Obliczam wydatki objętościowe: Q_v = Q / ρ

Q_vp = Q_p / ρ_p = 0,0131/ 1,3 = 0,0101 m³/s

Q_vb = Q_b / ρ_b = 1,28 * 10^-3 / 700 = 1,82 * 10^-6 m³ / s

Wiemy, że
wtedy:

V_p = Q_vp * 4 / (πD²) = 0,0101 *4 / (π * 0,023²) = 24,3 m/s

; V_b = ? - obliczamy z równań Bernoulliego, wiedząc, że p_p1 = p_b1

Równanie dla powietrza w przekrojach 1-2:

przy czym zakładamy :

Brak różnicy wysokości pomiędzy przekrojami,

V_p2 = 0 bo średnica wlotu jest duża,

p_p1 = 101325 - 1,3*24, 3² /2= 100939 [Pa]

p_p1 = p_b1 - wiedząc to, obliczamy V_b z równania Bernoulliego dla benzyny dla przekrojów 0 - 1

Przy czym zakładamy ze V_b0 = 0 ze względu na dużą powierzchnię komory pływakowej. Podstawiam p_p1 = p_b1 i obliczam prędkość benzyny:

V_b1 = pierwiastek ( 2*9,81*((101325 - 100939)/700 - 0,002)) = 3,3 m/s

Po podstawieniu obliczamy średnice dyszy:

d = pierwiastek (4 * 1,82 * 10^-6/ (π *3,3)) = 0,000841m = 0,85 mm

Zadanie 3 - turbina Peltona

N=	160	kW
H=	80	m
r=	0,54
α=	0,47
β=	19
g=	9,81	m/s
ρwody=	1000	kg/m^3

Ze wzoru Toricellego obliczam prędkość wody spadającej z danej wysokości:

= 40 m/s

Obliczam prędkość łopatki:

czyli u = α * V ₀ = 0,47* 40 = 18,6 m/s

Wiedząc, że
możemy napisać, ze

F = 160 kW / 18,6m/s = 8,6 kN - jest odpowiedź na pytanie o wymagana siłę naporu wody na łopatki turbiny

Dalej obliczamy wydatek masowy wody wymagany do uzyskania takiej siły, przy czym:

Vo - to prędkość strugi wody wypływającej z dyszy

W - prędkość tej samej strugi wody względem łopatki poruszającej się z prędkością u

U - prędkość obwodowa łopatki turbiny

Siła naporu wody na łopatkę jest równa zmianie pędu wody.

Początkowo woda wypływa z dyszy z prędkością Vo (względem ziemi), a po uderzeniu i odbiciu od łopatki porusza się w przeciwnym kierunku do ruchu łopatki, pod kątem beta. Prędkość w jest prędkością względem łopatki, i żeby móc obliczyć pęd końcowy strugi, należy obliczyć składowa prędkości, równoległa do Vo, wody odbitej względem nieruchomego układu - np. związanego z dysza wypływowa/ziemia. Niech to będzie w1. Zakładamy w1 skierowane w lewa stronę - czyli przeciwnie do Vo.

w1=

3,39

[m/s]

Siła naporu wody na łopatkę to różnica pędów początkowego i końcowego cieczy, ponieważ w1 jest skierowane przeciwnie, pęd końcowy ma znak ujemny:

Qm=

199,8

[kg/s]

Wydatek objętościowy:

Q_v = Q_m / ρ_{wody =} 0,2 m³ / s

oraz z tego, że:
obliczam średnicę dyszy:

d = 0,080 m = 80 mm - jest to odpowiedź na drugie z pytań.

Zadanie 4 - Rurociąg

Rysunek rozpatrywanego rurociągu

Dane instalacji:

ζf=	4	[-]	Ql=	57	[l / s]
ζk=	0,275	[-]	d=	260	[mm]
ζz=	0,8	[-]	h1=	1,7	[m]
ρwody=	1000	[kg/m^3]	h2=	5,5	[m]
ν=	1,00E-06	[m^2/s]	h3=	24	[m]
pa=	101325	[Pa]	l1=	33,5	[m]
g=	9,81	[m/s^2]	l2=	120	[m]
			l3=	340	[m]
Ponadto istnieja zaleznosci:
ζt=2ζk=	0,55	[-]	l4=5l2=	600	[m]
h4=h3=	24	[m]	l5=l3=	340	[m]

Pierwszą rzeczą jaką sprawdzam, jest prędkość przepływu wody przez pompę:

Wiedząc, że:

obliczam prędkość przepływu strugi wody:

= 4*0,057 [m³/s] /(π * 0,260 ²) = 1,07[m/s]

Jest to jednak tylko prędkość w początkowym, nierozgałęzionym odcinku rurociągu.

Należy zatem obliczyć jakie prędkości będą miały strugi wody w poszczególnych gałęziach za trójnikiem.

czyli

gdzie V_a i V_b to prędkości strugi w gałęziach rurociągu, a A, A_a i A_b to przekroje rury. Ze względu na stałą średnice rury - pole przekroju rury jest takie samo i możemy je skrócić, wtedy ostateczną zależnością pomiędzy prędkościami V_a i V_b jest:

Następnie należy obliczyć jaka część strugi popłynie gałęzią A - do pierwszego(bliższego) zbiornika a jaka gałęzią B - do dalszego zbiornika.

Zauważając że ciśnienie tuż za trójnikiem w obu gałęziach będzie takie samo, a ciśnienie wylotu jest równe ciśnieniu atmosferycznemu, można napisać równania Bernoulliego:

Dla gałęzi A:

- jest to poziom odniesienia;
- wysokość nad poziomem odniesienia; i wtedy:

Dla gałęzi B:

- jest to poziom odniesienia;
- wysokość nad poziomem odniesienia; i wtedy:

Porównując ciśnienia w przekroju I i III - (sa one równe) otrzymujemy:

Ponieważ h₃ = h₄ to:

Przy czym straty zarówno lokalne jak i liniowe zależą od prędkości przepływu strugi przez dany element, a tych prędkości nie znamy.

Podstawiając zależności na straty lokalne i liniowe:

-straty liniowe
-straty lokalne

Mamy:

Skracajc przez gęstość wody i przekształcając:

Równanie w takiej postaci należy rozwiązać .

Oba odcinki będą charakteryzować sie rożnymi prędkościami, czyli również innymi liczbami Reynoldsa, co przekłada się na rożne współczynniki lambda.

gdzie

Ze względu na to że rozwiązanie wymaga skomplikowanego aparatu matematycznego, można rozwiązać je iteracyjnie w arkuszu kalkulacyjnym Excel, podstawiając kolejno wartości Va i Vb od zera, takie aby w sumie dawały obliczona prędkość strugi.

V=

1,07

[m/s]

Dla każdych wartości Va i Vb obliczyć należy odpowiednia lambdę. Ponieważ lambda jest rożna dla przepływu laminarnego i burzliwego, zakładam najpierw, ze przepływ będzie w obu strugach burzliwy i sprawdzę czy to założenie jest prawdziwe dla znalezionych prędkości (czyli sprawdzę czy liczby Reynoldsa dla obu gałęzi są większe od 2340). Zbudowany arkusz i fragment będący rozwiązaniem:

(tego nie pisz raczej, ale jakoś żeby pokazać jak ten arkusz wygląda, jak to policzyłeś)

Va	Vb	λa	λb	Równ.	Re a	Re b
0,69	0,38	0,0154	0,0178	-0,419	180333	98800
0,68	0,39	0,0154	0,0177	-0,063	177733	101400
0,67	0,4	0,0155	0,0176	0,2954	175133	104000
0,66	0,41	0,0155	0,0175	0,6571	172533	106600

Dla obu galezi przy rozwiązaniu Va i Vb obie liczby Reynoldsa są większe od 2340, założenie jest prawdziwe.

Obliczam liczbę Reynoldsa dla odcinka A:

Ostatecznie przyjmuję rozwiązanie jako:

Va=	0,68	[m/s]	λa=	0,0154
Vb=	0,39	[m/s]	λb=	0,0177

Następnie mogę napisać równanie Bernoullego dla przekroju 1- (I i III) - ponieważ ciśnienie tuz za trójnikiem jest już obliczone na początku zadania, wystarczy porównać tylko te przekroje. Dzięki temu będzie można obliczyć wymagany przyrost ciśnienia jaki musi dać pompa:

- straty na tym odcinku liczone są dla prędkości strugi takiej jaka jest w tej gałęzi.

Vprzekr1=0 (to co jest powyżej) - ponieważ powierzchnia wlotowa filtra jest duża w porównaniu z powierzchnią przekroju rury

Straty ciśnienia obliczam tak jak powyżej, wiedząc że oba przepływy są burzliwe (Re większa od krytycznej).

;
;
;

Δpf=	2305	Pa	Δpt=	317	Pa
Δpz=	461	Pa	Δph1=	58	Pa
Δpl1=	1144	Pa	Δph2=	188	Pa
Δpl2=	4096	Pa	Δpk=	158	Pa

dla odcinka A (do części równania w której obliczone jest p_I)

Va=

0,68

[m/s]

Δph3=	329	Pa
Δpl3=	4656	Pa
ΔpK=	64	Pa

Obliczona po podstawieniu wartość przyrostu ciśnienia jakie musi dać pompa:

Δppompy=

303747

Pa

Moc pompy możemy określić z zależności:

= 303747 *0,057= 17314 [W] = 17,5 [kW]

Punktem podejrzanym o zaistnienie kawitacji jest punkt w którym wystąpi najniższe ciśnienie. Jest to punkt tuż przed pompą. W celu obliczenia minimalnego ciśnienia i sprawdzenia czy w rurociągu nie wystąpi kawitacja piszę równanie Bernouli'ego dla przekrojów 1-2:

Δp1-2=

3853

Pa

p_min = 101325 - 1000*1,07² /2 - 9,81*1000*5,5-3853= 42941 [Pa]

jest to najniższe ciśnienie. Ciśnienie minimalne dopuszczalne aby nie zaistniała kawitacja to 15 [kPa], obliczona wartość minimalna w rurociągu jest większa, zatem nie ma zagrożenia powstania kawitacji.

1

---