1.Wprowadzenie teoretyczne

Ruch wód gruntowych jest szczególnym przypadkiem przepływu cieczy przez ośrodek porowaty. Ruch ten nazywa się filtracją cieczy. Jeżeli woda wypełnia wszystkie pory gruntu, to przy odpowiednich wielkościach porów część jej może się poruszać pod wpływem siły ciężkości. Ruch wody w gruncie występuje również pod wpływem różnicy ciśnień wody. W obydwu przypadkach ruch wody traktowany jest jako ruch laminarny. Odbywa się on w porach i szczelinach, tworzących regularny, rozgałęziony i wielokrotnie krzyżujący się układ dużej liczby kanalików o zmiennych przekrojach. Praktycznie więc nie jest możliwe zbadanie elementów ruchu w każdym z gruntowych kanalików oddzielnie w taki sposób, jak to czynimy w obliczeniach hydraulicznych przewodów. W związku z powyższym staje się konieczne przyjęcie uproszczenia polegającego na wprowadzeniu pewnej średniej umownej prędkości przepływu, zwanej prędkością filtracji.

, (1.1)

gdzie :

Q - natężenie objętościowe przepływu rzeczywistego przez wszystkie kanaliki gruntowe w danej próbce,

A - całkowite pole powierzchni przekroju próbki.

Prędkość filtracji i pole przekroju są wielkościami umownymi. Prędkość rzeczywista będzie większa, a przekrój rzeczywisty mniejszy.

Prawo filtracji zostało sformułowane na podstawie doświadczeń nad laminarnym przepływem wody przez grunt piaszczysty. Wyraża ona liniową zależność prędkości filtracji i spadku piezometrycznej linii ciśnień :

, (1.2)

gdzie:

v - prędkość filtracji,

I - spadek piezometrycznej linii ciśnień,

k - współczynnik filtracji charakterystyczny dla danego gruntu.

Współczynnik filtracji k zależy od rodzaju gruntu, wielkości ziaren, porowatości gruntu i lepkości cieczy oraz od jej temperatury.

Za średnicę ziaren miarodajną dla danego gruntu przyjmuje się średnicę odpowiadającą 10% na krzywej przesiewu, tzn. że ziarna o średnicy równej średnicy miarodajnej stanowią wagowo 10% całości próbki. Porowatość gruntu określana jest przez tzw. Współczynnik porowatości:

, (1.3)

gdzie:

A_p - pole przekroju kanalików,

A - całkowite pole przekroju obejmujące powierzchnię przekroju kanalików i ziaren,

V_p - całkowita objętość porów w próbce,

V - objętość próbki badanego gruntu.

2. Opis modelu i metodyka pomiarów

Urządzeniem służącym do badania współczynnika filtracji jest naczynie cylindryczne o średnicy D , wypełnione badanym gruntem. Próbka gruntu umieszczona jest między dwiema siatkami, przez naczynie przepływa woda, a jej poziomy w piezometrach wskazują wysokości ciśnienia w gruncie. Poziomy te są mierzone za pomocą wskaźnika zaopatrzonego w noniusz. Woda wypływa z modelu do naczynia o objętości V.

Przy określeniu wartości współczynnika filtracji k metodą laboratoryjną korzysta się ze wzoru Darcy'ego, który po odpowiednim przekształceniu uzyskuje postać:

, (2.1)

gdzie:

ΔH - różnica wysokości ciśnień na piezometrach,

ΔL - odległość między podłączeniami piezometrów.

Wielkość przepływu Q otrzymuje się przez pomiar czasu t napełnienia naczynia o objętości V, co daje nam ostateczną postać na wyliczenia współczynnika filtracji:

, (2.2)

Średnicę miarodajną ziaren próbki otrzymuje się z tablic Slichtera, mając uprzednio zmierzone: współczynnik filtracji k i temperaturę wody oraz przyjętą porowatość p. Wartości współczynnika filtracji podane w tablicach zostały obliczone dla temperatury wody 283 K. Wobec tego należy przeliczyć wartości współczynnika filtracji k_x otrzymanego przy temperaturze T = xK, na odpowiadający mu współczynnik k₂₈₃ przy temperaturze 283 K.

, (2.3)

3. Wyniki pomiarów i obliczenia wielkości hydraulicznych

Tabela 3.1. Pomiary do obliczenia współczynnika filtracji

Nr serii	Nr pomiaru	t[s]	tśr[s]	H1[m]	H1śr[m]	H2[m]	H2śr[m]	ΔH[m]
1	1	23,38	23,35	0,0102	0,01015	0,2872	0,2871	0,27695
		2		23,32					0,0101		0,2870
	2	1		18,72		18,715			0,0721	0,07200	0,3518	0,3515	0,27950
		2		18,71					0,0719		0,3512
	3	1		22,38		22,335			0,1306	0,13060	0,4351	0,4352	0,30460
		2		22,29					0,1306		0,4353
	4	1		23,96		23,95			0,2387	0,23860	0,4732	0,47315	0,23455
		2		23,94					0,2385		0,4731
	5	1		29,48		29,455			0,3405	0,34050	0,5475	0,54745	0,20695
		2		29,43					0,3405		0,5474
	6	1		30,25		30,23			0,4113	0,41120	0,5875	0,58745	0,17625
		2		30,21					0,4111		0,5874
	7	1		47,12		47,09			0,5419	0,54190	0,6641	0,6641	0,12220
		2		47,06					0,5419		0,6641
	8	1		64,59		64,5			0,6669	0,66690	0,7465	0,7465	0,07960
		2		64,41					0,6669		0,7465
	9	1		102,13		102,1			0,7103	0,71025	0,7699	0,7699	0,05965
		2		102,07					0,7102		0,7699
	10	1		387,25		387,23			0,8782	0,87820	0,8935	0,893	0,01480
		2		387,21					0,8782		0,8925

3.1Wyznaczenie wartości współczynnika filtracji k

Wartość współczynnika filtracji obliczamy ze wzoru:

(3.1)

Gdzie przyjmujemy, że:

• V - objętość naczynia za pomocą którego mierzony był wydatek cieczy przepływającej przez próbkę (0,0001m³ ),

• ΔL - odległość miedzy podłączeniami piezometru = 600mm = 0,6m,

• D - średnica naczynia, w którym znajduje się badana próbka = 140cm = 0,14m,

Tabela 3.2. Wartości współczynnika filtracji k i k₂₈₃

Nr serii	k[m/s]	k283[m/s]
1	0,000603	0,000443
2	0,000745	0,000548
3	0,000573	0,000421
4	0,000694	0,000510
5	0,000639	0,000470
6	0,000732	0,000538
7	0,000677	0,000498
8	0,000759	0,000558
9	0,000640	0,000471
10	0,000680	0,000500

k_śr = 0,000674

k_śr283 = 0,000496

Przykładowe obliczenia dla pomiar nr 5

W celu odniesienia do wartości tablicowych, sprowadzamy współczynnik k, obliczony dla temperatury 293 K, do temperatury 283 K w następujący sposób:

(3.2)

(3.3)

więc:

(3.4)

3.2 Wyznaczenie średnicy miarodajnej badanego gruntu

Mając daną porowatość gruntu p wraz z przeliczonym współczynnikiem filtracji k₂₈₃ z tablic Slichtera odczytałyśmy średnicę miarodajną ziaren d₁₀. Otrzymane wartości współczynnika k wychodzą jednak poza zakres podany w tablicach (rząd wielkości 10^-4). Wiedząc, że przy średnicy ziarna 10-krotnie większej wartość k zwiększa się 100-krotnie można otrzymać wartość d₁₀ dla współczynnika k 100 razy mniejszego (rząd wielkości 10^-6), a następnie zwiększyć oczytaną wartość d₁₀ 10 razy aby odpowiadała naszemu współczynnikowi k₂₈₃ :

dla

wartość

, to

dla

wartość

W naszym przypadku średnica miarodajna wynosi d₁₀ = 0,52 mm.

3.2 Wyznaczenie wartości liczby Reynoldsa:

Do wyznaczenia wartości liczby Reynoldsa stosowany był wzór:

(3.5)

Tabela 3. 3. Wyznaczone wartości liczby Reynoldsa.

Nr serii	Q [m^3/s]	Qśr [m^3/s]	v [m/s]	Re [-]
1	0,00000428	0,00000428	0,000278	0,2069
					0,00000429
	2				0,00000534	0,00000534	0,000347	0,2582
					0,00000534
	3				0,00000447	0,00000448	0,000291	0,2163
					0,00000449
	4				0,00000417	0,00000418	0,000271	0,2017
					0,00000418
	5				0,00000339	0,00000340	0,000221	0,1640
					0,00000340
	6				0,00000331	0,00000331	0,000215	0,1598
					0,00000331
	7				0,00000212	0,00000212	0,000138	0,1026
					0,00000212
	8				0,00000155	0,00000155	0,000101	0,0749
					0,00000155
	9				0,00000098	0,00000098	0,000064	0,0473
					0,00000098
	10				0,00000026	0,00000026	0,000017	0,0124
					0,00000026

Przykładowe obliczenia dla pomiaru nr 4

• v -prędkość średnia przepływu[m/s],

• Q - wartość przepływu dla badanej próbki

• A - pole przekroju próbki

• d₁₀ - średnica miarodajna wyznaczona w podpunkcie 3.2

• m - zadana wartość porowatości gruntu ;

• ν - kinematyczny współczynnik lepkości dla temperatury 295K,

Dla wszystkich przypadków wyznaczone liczby Reynoldsa spełniają dany warunek:

4. Analiza wyników i rachunek błędów

Zestawienie błędów pomiaru odczytu wartości mierzonych w czasie labolatorium:

- błąd pomiaru objętości ΔV=±2·10^-6 m³

- błąd pomiaru czasu Δt= ±0,5 s

- błąd pomiaru różnicy wysokości ΔH=± 0,004 m

- błąd pomiaru wysokości złoża ΔL= ±0,002 m

Błąd bezwzględny Q i k obliczyliśmy za pomocą różniczki zupełnej. Wzór błędu bezwzględnego dla natężenia przepływu ma postać:

(4.1)

Tabela 4.1. Błędy wartości natężenia przepływu

nr serii	Q [m^3/s]	ΔQ [m^3/s]	ΔQwzgl [%]
1	0,0000042827	±0,0000000061	±0,14
2	0,0000053433	±0,0000000359	±0,67
3	0,0000044773	±0,0000000107	±0,24
4	0,0000041754	±0,0000000037	±0,09
5	0,0000033950	±0,0000000103	±0,30
6	0,0000033080	±0,00000001145	±0,35
7	0,0000021236	±0,00000001992	±0,94
8	0,0000015504	±0,00000001899	±1,22
2	0,0000009794	±0,00000001479	±1,51
10	0,0000002582	±0,00000000483	±1,87

ΔQ_sr = ±0,0000000024

Przykładowe obliczenia dla pomiaru nr 5

Wzór na błąd bezwzględny dla współczynnika filtracji, z którego liczone były błędy ma postac:

(4.2)

Tabela 4.2. Wyznaczona wartość błędu współczynnika filtracji

nr serii	k [m/s]	Δk [m/s]	Δkwzgl [%]
1	0,000603	±0,000010	±1,59
2	0,000745	±0,000016	±2,10
3	0,000573	±0,000009	±1,55
4	0,000694	±0,000012	±1,79
5	0,000639	±0,000010	±1,63
6	0,000732	±0,000014	±1,92
7	0,000677	±0,000016	±2,34
8	0,000759	±0,000029	±3,80
9	0,000640	±0,000033	±5,20
10	0,000680	±0,000171	±25,16

Δk_sr = ±0,000017 (ostatnią wartość została odrzucona jako odstającą)

Δk_wzgl = ±2,44 % (ostatnią wartość została odrzucona jako odstającą)

Przykładowe obliczenie dla pomiaru nr 6

5.Wnioski

Badany grunt składa się z piasków różnoziarnistych, kruchych. Ma on bardzo dobrą przepuszczalność, jest gruntem o gęstej sieci szczelin. Również mogą występować w nim gruboziarniste słabo spojone piaskowce.

Wyznaczone wartości liczby Reynoldsa świadczą o dobrym przyjęciu średnicy miarodajnej (spełnia założony warunek).Wartości liczby Reynoldsa świadczą o tym, że w doświadczeniu panował w przepływie ruch laminarny. Średnica miarodajna wyniosła d₁₀ = 0,52mm na podstawie której można stwierdzić, że grunt składa się z drobnego materiału.

Wartości współczynnika filtracji k zależy od dokładności zmierzonego czasu, napełnienia naczynia pomiarowego jak i odczytu wysokości w piezometrach. Przy wzroście prędkości, rosła także różnica wysokości miedzy wysokościami słupa wody w piezometrach. Odwrotnie działo się w przypadku spadku wartości prędkości.

Prędkość filtracji została uznana za wartość umowną, dlatego należy pamiętać, aby wartości uznane w doświadczeniu nie brać za prawdziwe. W celu wyznaczenia prawdziwych wartości należy znać całkowity przekrój pola badanej próbki z uwzględnieniem przekrojów kanalików i ziaren gruntu. Jednakże w warunkach laboratoryjnych trudno uzyskać takie warunki.

Wartości błędów mogły być uwarunkowane niedokładnymi pomiarami różnic wysokości w piezometrach, niedokładnym pomiarze czasu czy błędami osoby mierzącej.

W ćwiczeniu zastosowano grunt niejednorodny, a sama metoda laboratoryjna jest nie jest bardzo dokładna.

Wartość błędu bezwzględnego obliczona za pomocą różniczki zupełnej waha się w granicach 1,55 - 5,20%, więc można uznać doświadczenie za wykonane poprawnie. Ostatni pomiar został odrzucony, jako odstający. Otrzymałyśmy tu bardzo duży błąd.

9

---