Parametry statystyczne

 

Parametry statystyczne - są to wielkości liczbowe, które służą do opisu struktury zbiorowości statystycznej w sposób systematyczny

Miary położenia

Miary pozycyjne

modalna kwantyle: kwartyl pierwszy mediana (kwartyl drugi) kwartyl trzeci decyle

 

Miary przeciętne charakteryzują średni lub typowy poziom wartości cechy, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości analizowanej cechy

średnia arytmetyczna średnia harmoniczna średnia geometryczna modalna

 

Średnia arytmetyczna

 

Średnią arytmetyczną - definiuje się jako sumę wartości cechy mierzalnej podzieloną przez liczbę jednostek skończonej zbiorowości statystycznej.

 

szereg szczegółowy

(eq.1)

 gdzie: n - liczebność zbiorowości próbnej (próby), x_i - wariant cechy. Jest to tzn. średnia nieważna (prosta) - stosowana dla szeregów szczegółowych.

 Średnia arytmetyczna ważona

szereg rozdzielczy punktowy	(eq.2)
szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi	(eq.3)

 gdzie:
oznacza środek przedziału klasowego

Średnia arytmetyczna (średnia ważona) dla r-grup łącznie oraz średnich arytmetycznych cząstkowych
i liczebności i-tej grupie n_i:

(eq.4)

gdzie
jest sumą liczebności we wszystkich r-grupach.

Podstawiając w miejsce n_i wskaźnik struktury w_i otrzymamy zależności:

lub

Wybrane właściwości średniej arytmetycznej 

• suma wartości cechy jest równa iloczynowi średniej arytmetycznej i liczebności zbiorowości:
  lub dla szeregu rozdzielczego
  ,

• średnia arytmetyczna spełnia warunek:
  ,

• suma odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej równa się zero:
  lub
  ,

• Suma kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej jest minimalna:
  lub
  ,

• średnią arytmetyczną można liczyć w zasadzie dla szeregów o zamkniętych przedziałach klasowych; jeżeli liczebność w otwartym przedziale klasowym stanowi niewielki odsetek, (praktycznie do 5%) możliwe jest domknięcie przedziałów klasowych oraz obliczenie średniej w innym przypadku do określenia zjawiska stosuje się parametry pozycyjne,

• średnia arytmetyczna jest wrażliwa na skrajne wartości cechy,

• średnia arytmetyczna z próby jest dobrym przybliżeniem wartości przeciętnej.

 

Średnia harmoniczna

 

Średnią harmoniczną - stosuje się wtedy, gdy wartości cechy są podane w przeliczeniu na stałą jednostkę  innej zmiennej, czyli w postaci wskaźników natężenia, wagi natomiast w jednostkach liczników tych cech, np. prędkość pojazdu w km/h.

 

szereg szczegółowy
szereg rozdzielczy

Przyjmując, że waga
oraz
:

 

Średnia geometryczna

 

Średnią geometryczną - stosuje się w badaniach średniego tempa zmian zjawisk, a więc gdy zjawiska są ujmowane dynamicznie.

 

 

 Modalna

 

Modalna Mo (dominanta D, moda, wartość najczęstsza - jest to wartość cechy statystycznej, która w danym rozdziale empirycznym występuje najczęściej

 

Dla szeregów szczegółowych oraz szeregów rozdzielczych punktowych modalna odpowiada wartości cechy o największej liczebności (częstości).

W szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi bezpośrednio można określić tylko przedział, w którym modalna występuje, jej przybliżoną wartość wyznacza się graficznie z histogramu liczebności (częstości) lub ze wzoru interpolacyjnego:

gdzie:

m - numer przedziału (klasy), w którym występuje modalna,

- dolna granica przedziału, w którym występuje modalna,

n_m - liczebność przedziału modalnej, tzn. klasy o numerze m,

n_m-1; n_m+1 - liczebność klas poprzedzającej i następnej, o numerach m - 1 i m + 1,

h_m - rozpiętość przedziału klasowego, w którym występuje modalna.

 

 Kwantyle

 

Kwantyle - definiuje się jako wartości cechy badanej zbiorowości, przedstawionej w postaci szeregu statystycznego, które dzielą zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek, części te pozostają do siebie w określonych proporcjach.

 

Kwartyl pierwszy Q1	dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q1, a 75% równe bądź wyższe od tego kwartyla
Kwartyl drugi (mediana Me)	dzieli zbiorowość na dwie równe części; połowa jednostek ma wartości cechy mniejsze lub równe medianie, a połowa wartości cechy równe lub większe od Me; stąd nazwa wartość środkowa
Kwartyl trzeci Q3	dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 75% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q3, a 25% równe bądź wyższe od tego kwartyla
Decyle	np. decyl pierwszy oznacza, że 10% jednostek ma wartości cechy mniejsze bądź równe od decyla pierwszego, a 90% jednostek wartości cechy równe lub większe od decyla pierwszego

Kwartyl drugi (mediana Me)

Dla szeregu szczegółowego 

Dla szeregu rozdzielczego (graficznie lub analitycznie)

gdzie:

m - numer przedziału (klasy), w które występuje mediana,

- dolna granica przedziału, w którym występuje mediana

n_m - liczebność przedziału mediany, tzn. klasy o numerze m, 

- suma liczebności przedziałów poprzedzających przedział mediany, czyli liczebność skumulowana,

h_m - rozpiętość przedziału klasowego, w którym jest mediana,

N_Me - pozycja mediany, czyli 

Kwartyl pierwszy Q₁ i trzeci Q₃

Dla szeregu szczegółowego kwartyl pierwszy i trzeci wyznacza się w ten sposób, że w dwóch częściach zbiorowości, które powstały po wyznaczeniu mediany, ponownie  wyznacza się medianę; mediana w pierwszej części odpowiada kwartylowi pierwszemu, a w drugiej kwartylowi trzeciemu.

Dla szeregu rozdzielczego wyznaczenie kwartyli poprzedza się ustaleniem ich pozycji:

Kwartyl pierwszy Q₁

Kwartyl trzeci Q₃

gdzie:

m - numer przedziału (klasy), w którym występuje odpowiadający mu kwartyl,

- dolna granica tego przedziału,

n_m - liczebność przedziału, w którym występuje odpowiedni kwartyl,

- liczebność skumulowana do przedziału poprzedzającego kwartyl,

h_m - rozpiętość przedziału klasowego, w którym jest odpowiedni kwartyl.

  

 

  

Miary zmienności (rozproszenia, dyspersji)

 

Miary klasyczne	Miary pozycyjne
wariancja odchylenie standardowe odchylenie przeciętne współczynnik zmienności	rozstęp odchylenie ćwiartkowe współczynnik zmienności

 

 Rozstęp

 

Rozstęp - różnica pomiędzy wartością maksymalną, a minimalną cechy - jest miarą charakteryzującą empiryczny obszar zmienności badanej cechy, nie daje on jednak informacji o zróżnicowaniu poszczególnych wartości cechy w zbiorowości.

 

 

Wariancja

 

Wariancja - jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej zbiorowości.

 

szereg szczegółowy
szereg rozdzielczy punktowy
szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi

Wykonując proste przekształcenia algebraiczne, otrzymamy:

szereg szczegółowy
szereg rozdzielczy

 

 Odchylenie standardowe, odchylenie przeciętne

 

Odchylenie standardowe s - jest to pierwiastek kwadratowy z wariancji. Stanowi miarę zróżnicowania o mianie zgodnym z mianem badanej cechy, określa przeciętne zróżnicowanie poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej.

 Typowy obszar zmienności cechy - około 2/3 wszystkich jednostek badanej zbiorowości statystycznej posiada wartości cechy w tym przedziale:

 

Odchylenie przeciętne

Odchylenie przeciętne d - jest to średnia arytmetyczna bezwzględnych odchyleń wartości cechy od średniej arytmetycznej. Określa o ile jednostki danej zbiorowości różnią się średnio, ze względu na wartość cechy, od średniej arytmetycznej.

 

szereg szczegółowy
szereg rozdzielczy

  Pomiędzy odchyleniem przeciętnym i standardowym, dla tego samego szeregu, zachodzi relacja: d < s.

 

Odchylenie ćwiartkowe

 

Odchylenie ćwiartkowe Q - jest to parametr określający odchylenie wartości cechy od mediany. Mierzy poziom zróżnicowania tylko części jednostek; po odrzuceniu 25% jednostek o wartościach najmniejszych i 25% jednostek o wartościach największych.

 

 

Typowy obszar zmienności cechy:

Współczynnik zmienności

 

Współczynnik zmienności - jest ilorazem bezwzględnej mary zmienności cechy i średniej wartości tej cechy, jest wielkością niemianowaną, najczęściej podawaną w procentach.

Klasyczne współczynniki zmienności:

oraz

 Pozycyjne współczynniki zmienności:

oraz

 Współczynnik zmienności stosuje się w porównaniach zróżnicowania:

• kilku zbiorowości pod względem tej samej cechy,

• tej samej zbiorowości pod względem kilku różnych cech.  

 

Miary asymetrii

 

wskaźnik skośności współczynnik skośności

 Rozkłady różnią się między sobą kierunkiem i siła asymetrii (miary klasyczne):

• dla szeregów symetrycznych
  

• jeżeli
  asymetria prawostronna

• jeżeli
  asymetria lewostronna.

Wskaźnik skośności - jest to wielkość bezwzględna wyrażona jako różnica między średnią arytmetyczną a modalną

 Wskaźnik skośności można wyznaczyć również przy pomocy miar pozycyjnych:

• w rozkładzie symetrycznym:
  

• przy asymetrii prawostronnej:
  

• przy asymetrii lewostronnej:
  

Współczynniki skośności (asymetrii) - są stosowane w porównaniach, do określenia siły oraz kierunku asymetrii, są to liczby niemianowane, im większa ich wartość tym silniejsza asymetria.

 

klasyczne oraz
pozycyjny

 Pozycyjny współczynnik asymetrii określa kierunek i siłę asymetrii jednostek znajdujących się miedzy pierwszym z trzecim kwartylem.

   

Miary koncentracji

 

współczynnik skupienia (koncentracji) (kurtoza) współczynnik koncentracji Lorenza

 

Współczynnik skupienia (koncentracji) (kurtoza) K - jest miarą skupienia poszczególnych obserwacji wokół średniej. Im wyższa wartość współczynnika tym bardziej wysmukła krzywa liczebności, większa koncentracja wartości cech wokół średniej.

 




gdzie:

szereg szczegółowy
szereg rozdzielczy

 Jeżeli przyjmiemy, że zbiorowość ma rozkład normalny, to K = 3, są bardziej spłaszczony rozkład od normalnego ma K < 3, a brdziej wysmukły K > 3. Stąd:




1

---