POLITECHNIKA WROCŁAWSKA	Łukasz Kopeć 177127	Wydział: Elektryczny Termin: Wtorek Godz. 13^15-14^45
						Data ćw: 22.05.2012
	Prowadzący: Dr inż. Piotr Pierz	Metody numeryczne
		SPRAWOZDANIE TEMAT: Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Runge-Kutty 4-rzędu			Ocena:

1. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest rozwiązanie podanego układu równań różniczkowych przy pomocy metody Runge-Kutty 4-rzędu

• Warunki początkowe:

• Trzy różne kroki całkowania:

h=0.1, h=0.5, h=1.0

2. Przebieg ćwiczenia

Kod programu:

• r_k0.m

% Przykladowy program demonstracji procedury Runge_Kutty 4

% Przyklad dotyczy rozwiazania rownan:

clear all

clc;

% poczatkowa wartosc funkcji

y(1)=1;

y(2)=-2;

neqn=2;

t=0.0;

tfinal=10;

tprint=0.05;

tout=tprint;

h=0.1; % krok calkowania

lp=1;

%% h=0.1

y1(lp)=y(1);

y2(lp)=y(2);

while (t<=tfinal),

y=runkut4(neqn,y,t,h);

t=t+h;

if t>=tout,

lp=lp+1;

y1(lp)=y(1);

y2(lp)=y(2);

tm(lp)=t;

tout=tout+tprint;

end;

end;

;

plot(tm,y1,'r',tm,y2, 'g');

hold on; grid on;

%% h=0.5

clear all

y(1)=1;

y(2)=-2;

neqn=2;

t=0.0;

tfinal=10;

tprint=0.05;

tout=tprint;

h=0.5; % krok calkowania

lp=1;

y1(lp)=y(1);

y2(lp)=y(2);

while (t<=tfinal),

y=runkut4(neqn,y,t,h);

t=t+h;

if t>=tout,

lp=lp+1;

y1(lp)=y(1);

y2(lp)=y(2);

tm(lp)=t;

tout=tout+tprint;

end;

end;

;

plot(tm,y1,'b',tm,y2, 'k'); % funkcja aproksymowana

hold on; grid on; ;

%% h=1

clear all

y(1)=1;

y(2)=-2;

neqn=2;

t=0.0;

tfinal=10;

tprint=0.05;

tout=tprint;

h=1; % krok calkowania

lp=1;

y1(lp)=y(1);

y2(lp)=y(2);

while (t<=tfinal),

y=runkut4(neqn,y,t,h);

t=t+h;

if t>=tout,

lp=lp+1;

y1(lp)=y(1);

y2(lp)=y(2);

tm(lp)=t;

tout=tout+tprint;

end;

end;

;

plot(tm,y1,'cyan',tm,y2, 'k');

title('Porownanie wykresow dla h=0.1, h=0.5 oraz h=1','FontSize',10);

xlabel('Czas [s]','FontSize',10);

ylabel('Wartosc funkcji','FontSize',10);

legend('y1,h=0.1','y2,h=0.1','y1,h=0.5','y2,h=0.5','y1,h=1','y2,h=1',2);

• r_kdif.m

function yp=r_kdif(t,y);

% procedura obliczania pochodnych ukladu rownan:

yp(1) = t-y(2);

yp(2) = -1/y(1);

return; %r_kdif

• runkut4.m

function y=runkut4(neqn,y,t,h);

% procedura rozwiazywania ukladu neqn rownan rozniczkowych

% metoda Runge-Kutty 4 - rzedu

f1=r_kdif(t,y); % f[1] = k0

ch=h/2;

for k=1:neqn,

f2(k)=y(k)+ch*f1(k);

end;

f2=r_kdif(t+ch,f2); % f(2) = k1

for k=1:neqn,

f3(k)=y(k)+ch*f2(k);

end;

f3=r_kdif(t+ch,f3); % f(3) = k2

for k=1:neqn,

f4(k)=y(k)+h*f3(k);

end;

f4=r_kdif(t+h,f4); % f[4] = k3

for k=1:neqn,

y(k)=y(k)+h*(f1(k)+2.0*(f2(k)+f3(k))+f4(k))/6.0;

end;

return; % runkut4

3. Wnioski:

Zauważyć można, zwłaszcza dla funkcji y₁, że krok całkowania ma wpływ na dokładność wyników - im mniejszy, tym dokładniejszą charakterystykę otrzymujemy, dla dużego kroku charakterystyka robi się liniowa w pewnych zakresach. Dla podanego układu równań różnica w charakterystykach jest niewielka. Porównanie charakterystyk było bardzo nieczytelne, różnicę widać dopiero po przybliżeniu przy górnych zakresach czasu. Funkcje y2 są praktycznie takie same- różnią się bardzo małymi wartościami.

---