Zajęcia 1 27.10.2004

Rachunek Wariacyjny.

1. Sprawdzić czy
   spełnia warunki normy w przedziale
   

• 
  

• 
  

• 
  

2. Każda przestrzeń unormowaną
   jest przestrzenią metryczną z metryką definiowaną wzorem
   

Dowód:

• 
  

• 
  

• 
  

Zadanie 1

Znajdź odległość między krzywymi

Zadanie 2

Korzystając z zadania 1.a) wiemy że:
; oraz, że
stąd wiemy że

Równania różniczkowe I rzędu

Rozwiązania: ogólne -
szczególne -

1. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.

np.:

Zadanie 3 domowe 1

2. Równania różniczkowe jednorodne
   

Przykład:

Zadanie 4 Domowe 2

3. Równania różniczkowe jednorodne liniowe typu:
   

Zadanie 5 Domowe 3

4. Równania różniczkowe liniowe niejednorodne

np.: Metoda uwzględniania stałej

Zadanie 6 domowe 4

Ćwiczenia 2 10.11.2004 Kolokwium 1,5p

Równania różniczkowe II rzędu

5. Pewne typy równań różniczkowych II rzędu sprowadzonych do I rzędu.

Warunki brzegowe

Warunki początkowe

Warunki brzegowe

Warunki brzegowe

Równania różniczkowe II rzędu liniowe o stałych współczynnikach

Jednorodne

Niejednorodne

1. jednorodne
   

Równanie charakterystyczne

Rozwiązanie ogólne.

Zadanie 7 robiłem przy tablicy

2. niejednorodne
   

	równ. chrakt.

Jeżeli występujące w tabeli wielkości
są odpowiednio k-krotnymi miejscami zerowymi wielomiany charakterystycznego to wówczas rozwiązanie przewidywane
należy przemnożyć przez

Zadanie 8

Zadanie 9

Zadanie 10 domowe 5

Ćwiczenia 3 24.11.2004

Zadanie 11

Dla funkcjonału
porównaj przyrost funkcjonału i wariancję funkcjonału dla k=1.

k
1

Zadanie 12 domowe 6

Na najbliższym sprawdzianie:

Wyznaczanie krzywej, na której funkcjonał może osiągać ekstremum.

Zadanie 13 Zagadnienie Brachistochrony.

Krzywa - cykloida jest rozwiązaniem zadania

Zadanie 14

Zadanie 15

Zadanie 16

Zadanie 17

Z pośród wszystkich krzywych
łączących punkty
na płaszczyźnie OXY wyznacz tą, która ma najmniejszą długość.

αβ

Zadanie 18 domowe 7

Ćwiczenia 4 08.12.2004 chorowałem

Funkcjonał zależny od m niewiadomych funkcji
.

Zadanie 19

Zadanie 20

Zagadnienie izometryczne dla funkcjonałów (ekstremum warunkowe)

Funkcjonał pomocniczy

Zadanie 21

Wyznaczyć krzywą, na której funkcjonał
może osiągać ekstremum

Zadanie 22

Ćwiczenia 5 22.12.2004

Z pośród linii o długości l przechodzących przez 2 dane punkty A i B znaleźć tę, która wraz z odcinkiem AB ogranicza największe pole.

Dane:

A B l

Zagadnienie z ruchomymi końcami

Warunki transwersalności:

Zadanie 23

Znajdź minimalną odległość pomiędzy krzywymi

Zadanie 24

Znaleźć ekstremum Funkcjonału
gdzie lewy koniec krzywej jest umieszczony w początku układu współrzędnych a prawy porusza się wzdłuż prostej

Zadanie 25

Znaleźć krzywą, na której funkcjonał
może osiągać ekstremum jeżeli
a prawy koniec porusza się po prostej

Ćwiczenia 6 12.01.2005

Własności Funkcji Gamma Γ

1.

2.

3.

4.

5.

Równanie Bessela rzędu υ.

szukamy rozwiązania w postaci szeregu.

lewe równanie dla
; prawe jest ogólniejsze
, i częściej stosowane.

funkcja Bessela I rodzaju rzędu υ.

funkcja Bessela II rodzaju rzędu υ.

Wzory rekurencyjne:

Fizyka Matematyczna - Ćwiczenia prowadzący: Agnieszka Fraska

Marek Helman; FT semestr V godz: 18:16 dnia 2005-01-12 1 z 18

Rozwiązanie równania jednorodnego

Rozwiązanie przewidywane