Sprawozdanie z ćwicz. nr 8
Temat: Wyznaczenie momentu bezwładności i sprawdzenie twierdzenia Steinera.
Celem ćwiczenia jest :
a) stwierdzenie zależności okresu drgań wahadła od momentu bezwładności
b) doświadczalne potwierdzenie doświadczenia Steinera
c) wyznaczenie momentu bezwładności ciał względem osi przechodzącej przez środek masy
Wiadomości wstępne:
Podstawą całego doświadczenia jest twierdzenie Steinera które mówi że: różnica momentów bezwładności ciała względem dwóch równoległych osi, z których jedna przechodzi przez środek masy, równa jest iloczynowi masy ciała m i kwadratu odległości d miedzy osiami: . Moment bezwładności I dany jest zależnością: , natomiast jest momentem bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała. Natomiast moment bezwładności z definicji wyraża się wzorem gdzie r jest odległością elementarnej masy dm od środka masy ciała.
Z twierdzenia Steinera wynika bardzo ważny wniosek a mianowicie, że dla dwóch różnych odległości d1 i d2 od osi przechodzącej przez środek masy ciała mamy: a podstawiając wzór na I otrzymujemy: Powyższa zależność oraz wynikająca z niej stała wartość C posłuży mi jako dowód twierdzenia Steinera. Korzystając z tej stałej możemy w łatwy sposób obliczyć .
Model doświadczenia:
Modelem w wykonywaniu doświadczenia będzie wahadło fizyczne (metalowa tarcza z symetrycznie nawiercanymi otworami oraz pierścień metalowy) zawieszone na metalowej podporze, okres drgań będzie mierzony stoperem elektronicznym, natomiast masa ciał wagą laboratoryjną elektroniczną.
Przebieg doświadczenia:
POMIAR DLA TARCZY Z OTWORAMI
a) Pomiar podwojonej odległości od osi obrotu do środka masy tarczy:
2d1=149,76 0,05 [mm] 2d2=100,12 0,05 [mm] 2d3=50,36 0,05 [mm]
b) Średni okres drgań (czas trwania 100 drgań):
|
|
d1 |
|
|
d2 |
|
|
d3 |
|
|
100T [min] |
T [s] |
T [s] |
100T [min] |
T [s] |
T [s] |
100T [min] |
T [s] |
T [s] |
1 |
1,09,02 |
0,6902 |
0,00365 |
1,08,40 |
0,6840 |
-0,0016 |
1,18,25 |
0,7825 |
-0,00485 |
2 |
1,10,07 |
0,7007 |
-0,00485 |
1,08,42 |
0,6842 |
-0,0018 |
1,16,48 |
0,7648 |
0,01285 |
3 |
1,09,77 |
0,6977 |
-0,00185 |
1,07,69 |
0,6769 |
0,0055 |
1,18,24 |
0,7824 |
-0,00475 |
4 |
1,09,48 |
0,6948 |
0,00105 |
1,08,45 |
0,6845 |
-0,0021 |
1,18,09 |
0,7809 |
-0,00325 |
T1=0,69585 =1,6*0,0018567 T2=0,6824 =1,6*0,0018362 T3=0,77765 =1,6*0,0043082
T1=0,696 0,003 [s] T2=0,682 0,003 [s] T3=0,778 0,007 [s]
c) Obliczenie stałej C:
C=
C1=0,35568 - 0,22135 = 0,13432 m2 C1=0,05507 m2
C2=0,22868 - 0,09893 = 0,12974 m2 C2=0,03275 m2
C3=0,14938 - 0,02503 = 0,12434 m2 C3=0,06986 m2
C= 0,12946 m2 C=0,05256 m2
C=0,130 C=0,053 [m2]
d) Masa tarczy: m=1061,5 g 0,1 g
e) Na podstawie równania obliczam moment bezwładności ciała względem osi środkowej
I0= 3,48093 gm2 I0= =1,41356 gm2
I0=3,48 1,42 [gm2]
POMIAR DLA PIERŚCIENIA METALOWEGO
a) Pomiar podwojonej odległości od osi obrotu do środka masy pierścienia:
2d= 104,42 0,05 [mm]
b) Średni okres drgań (czas trwania 100 drgań):
|
|
d |
|
|
100T [min] |
T [s] |
T [s] |
1 |
1,07,73 |
0,6773 |
-0.00352 |
2 |
1,07,71 |
0,6771 |
-0,00332 |
3 |
1,0743 |
0,6743 |
-0,00520 |
4 |
1,06,60 |
0,6660 |
0,00778 |
5 |
1,07,72 |
0,6742 |
-0,00420 |
T=0,67378 =1,5*0,0025359
T=0,674 0,004 [s]
c) Masa pierścienia: m = 221,6 g 0,1 g
d) Wyznaczam moment bezwładności pierścienia względem osi obrotu korzystając z zależności: = 1,30517 I==0,0012652
I=1,305 0,002 [gm2]
e) Korzystając z twierdzenia Steinera obliczam moment bezwładności pierścienia względem osi przechodzącej przez środek masy:
= 1,30517 - 0,60405= 0,70111 gm2 0,002 gm2
f) Obliczam moment bezwładności z tablicowego wzoru .
r = 0,05221 m 0,00005 m R = 0,05976 m 0,00005 m m = 221,6 g 0,1 g
I0 = 0,69772 I0= = 0,0015554
I0=0,698 0,002 [gm2]
Z wyników obliczeń ( punkty e) i f) ), wynika, że moment bezwładności wyznaczony metodą doświadczalną pokrywa się z wynikiem wyznaczonym ze wzoru , co jest potwierdzeniem poprawności wykonania doświadczenia.
Ocena dokładności pomiarów:
Pomiary gabarytowe oraz waga ciała były pomiarami pojedynczymi z przyjętym błędem narzędzia pomiarowego. Pomiar okresu dla zwiększenia dokładności był wykonany dla stu okresów, a oprócz tego wykonany został kilka razy. Taka ilość wyników pomiaru pozwoliła oszacować średni okres wraz z błędem na podstawie metody F-Studenta (przyjęty poziom ufności 80% - współczynnik N=1,6 (1,5) ). Błędy wyników złożonych obliczyłem metodą różniczki zupełnej.
Wnioski:
Potwierdzeniem założenia Steinera, jest stała C która została obliczona dla różnych okresów i różnych odległości od osi przechodzącej przez środek masy ciała. Jest ona stała w granicach błędu i jej średnia wartość wynosi C=0,130 C=0,053 [m2] . Stała ta może mam posłużyć między innymi do wyliczenia momentu bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy. Zależnością określającą okres drgań od momentu bezwładności jest następująca . Innym ważnym wzorem jest wzór „tablicowy” momentu bezwładności dla pierścienia i także w tym przypadku występuje pełna zgodność (w granicach błędu) między tym wzorem a wynikiem uzyskanym w sposób doświadczalny i obliczonym ze wzoru Steinera .
Symbole użyte we wzorach:
I [gm2] - moment bezwładności
T [s] - czas trwania jednego okresu
g [m/s2] - wartość przyspieszenia ziemskiego
m [g] - - masa ciała
d [m] - - odległość osi obrotu od osi przechodzącej przez środek masy
C [m2] - stała wartość wynikająca z twierdzenia Steinera
= tN - odchylenie standardowe średniej
N - liczba pomiarów
- poziom ufności
tN - współczynnik F-Studenta
Grekuliński Artur 1996-02-26 godz.11.15
Grupa 5 Rok: I Kierunek: Elektronika