BADANIA OPERACYJNE - Laboratorium
Temat: Wyznaczanie charakterystyk elementarnych systemów obsługi z ograniczoną możliwością oczekiwania obiektów na obsługę
Imię i nazwisko	Wydział		Kierunek	Semestr	Grupa		Specjalność
Robert Macniak Michał Łuszczyński	MRiT		Transport	VII	Tdr1		Transport drogowy
Prowadzący		Data ćwiczenia				Ocena
mgr inż. A. Gill		24-10-2006 rok

1. Modele matematyczne umożliwiające wyznaczenie charakterystyk

SYSTEM OBSŁUGOWY TYPU M/M/n/r

Dany jest system obsługowy przedstawiony na rysunku powyżej. System składa się ze stanowiska o n identycznych kanałach obsługowych i z kolejki o r miejscach oczekiwania obiektów na rozpoczęcie obsługi.

Do systemu zgłaszają się obiekty w odstępach czasu, które można opisać za pomocą rozkładu wykładniczego o parametrze l. Średni czas między zgłoszeniami wynosi Tzgł. Czas obsługi obiektów na kanałach stanowiska ma rozkład wykładniczy o parametrze m, a wartość średnia tego czasu wynosi Tobs.

W pierwszej kolejności przystępujemy do wyznaczenia prawdopodobieństwa p_o:

Do wzoru podstawiamy odpowiednio dane wielkości korzystając ze wzorów:

gdzie
co daje nam wzór

W zadaniu mieliśmy wyznaczyć następujące charakterystyki:

• rozkład liczby obiektów znajdujących się w systemie p_i = P{L_ob = i}

• prawdopodobieństwo, że system jest pusty p₀

• prawdopodobieństwo, że wszystkie kanały stanowiska są zajęte p_zaj

• prawdopodobieństwo, że wszystkie miejsca w kolejce są zajęte p_strat

• średnia liczba obiektów oczekująca na obsługę L_oczek

• średnia liczba wolnych kanałów obsługi L_wol

• współczynnik przestoju kanałów obsługowych W_przest

Podane zadanie obliczamy dla podanych parametrów:

n - liczba identycznych kanałów

n = 5

r - liczba miejsc w kolejce przeznaczonych na oczekiwanie

r = 8

T_zgł - średni czas między zgłoszeniami

T_zgł = 7

T_obsł - średni czas obsługi na kanałach stanowiska

T_obsł = 28

Parametry zadane
n	5
r	8
Tzgł	7
Tobsł	28
	0,1429
	0,0357
ρ	4,0000
n+r	13
i	j	p0	i+j	pi	pzaj	pstrat	Loczek	Lwol	Wprzest
0	6	0,01403048	0		0,51829	0,02009	1,35002	1,08035	0,21607
1	7		1	0,05612194
2	8		2	0,11224387
3	9		3	0,14965850
4	10		4	0,14965850
5	11		5	0,11972680
	12		6	0,09578144
	13		7	0,07662515
			8	0,06130012
			9	0,04904010
			10	0,03923208
			11	0,03138566
			12	0,02510853
			13	0,02008682

2. Wnioski

Przy takich parametrach, wartość p_strat kształtuje się na poziomie 0,02, tak więc prawdopodobieństwo tego, że zgłoszony pojazd zostaje obsłużony jest na bardzo wysokim poziomie ok. 98%.

Średnia długość kolejki wynosi 1,35 pojazdu, mówi to nam o tym, że kolejka nie jest zbyt wydłużona, a nawet można powiedzieć, że jest znikoma.

Średnia liczba wolnych kanałów obsługi L_wol.=1,08 dlatego też z 5 kanałów stanowiska obsługowego zostawić należałoby 4, ponieważ zmniejszy to koszty utrzymania systemu i pozwoli na jego optymalniejsze wykorzystanie.

Prawdopodobieństwo, że wszystkie kanały stanowiska są zajęte dla powyższych parametrów wynosi P_zaj.=0,52 co oznacza, że w momencie zgłoszenia zapotrzebowania na obsługę zgłaszający obiekt ma ~50% szans, iż zostanie obsłużony.

Współczynnik przestoju kanałów obsługi wynosi W_przest.=0,22, co oznacza, że stanowiska nie są w pełni wykorzystywane i aby poprawić wydajność systemu należy dążyć do jego minimalizacji.

4