WYKŁAD 1

(by katja`` & elle)

LITERATURA:

1. M. Fisz Rachunek prawdopodobieństwa

2. T. Gestenkorn, T. Śródka Ćwiczenia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa

3. A. Płucińska, E. Płuciński Rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna i procesy stochastyczne

4. Krysicki, Bartoś, Dyczka, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach

5. Gmurman Zbiór zadań z i rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej

6. M. Krzyśko Wykłady z teorii prawdopodobieństwa

Rach. prawd. = probabilistyka

PRZESTRZEŃ ZDARZEŃ ELEMENTARNYCH - pojęcie pierwotne w rach. prawd. (zbiór zdarzeń element.) Ω

ZDARZENIE LOSOWE - elementy przestrzeni zdarz. element. ω ωi

Przestrzeń zdarzeń element.może zawierać:

- skończoną

- przeliczalna

- nieprzeliczalną

liczbę elementów.

Jeżeli przestrzeń zdarzenia element. zawiera skończona lub przeliczalną liczbę elementów to każdy podzbiór F tej przestrzeni jest zdarzeniem losowym.

Jeżeli przestrzeń zdarzenia element. zawiera nieprzeliczalną liczbę elementów to nie każdy podzbiór przestrzeni jest zdarzeniem losowym.

Jeżeli przestrzeń zdarzenia element. zawiera nieprzeliczalną liczbę elementów to zdarzeniem losowym są elementy borelowskiego ciała zdarzeń F (podzbiorów) przestrzeni zdarzeń element.

Przeliczalnie addytywnym ciałem zdarzeń (б) nazywamy niepustą klasę F* podzbiorów Ω spełniającą warunki:

1. Ω
   F*

2. A
   F*
   A`
   F*

3. A₁, A₂ …
   F*
   
   
   F*

Borelowskim ciałem zdarzeń F nazywamy najmniejsze przeliczalnie addytywne ciało zdarzeń zawierające zbiory otwarte.

Zbiór otwarty - należą do niego punkty wraz z ich otoczeniami (kulami)

PRZYKŁAD - rzut 1 raz kostką

{ ω₁ ω₂ ω₃ ω₄ ω₅ ω₆} gdzie ω polega na wyrzuceniu i oczek

A = {ω₁ ω₃ ω₅} - nieparzysta liczba oczek

Def. Niech: Ω - przestrzeń zdarzeń elementarnych

F - ciało zbiorów borelowskich ( rodzina podzbiorów Ω)

Funkcję P: F → R spełniającą warunki:

1. 
   P(A) ≥ 0

2. P(Ω) = 1 ( wartość zdarzenia pewnego)

3. (A₁, A₂, …
F, A_j
A_i = ø dla i, j = 1,2 … i ≠ j)

P(
) =

nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa.

Def. Komogorowa

Przestrzenią probabilistyczną nazywamy (Ω, F, P)

Ω ≠ ø

F - borelowskie ciało zdarzeń (podzbiorów Ω)

P - prawdopodobieństwo

Własności prawdopodobieństwa: (wnioski)

1. A
   B
   P(A) ≤ P(B)

2. 
   P(A) ≤ 1

3. A
   F
   P(A`) = 1 - P(A)

4. P(A
   B) = P(A) + P(B) - P(A
   B)

5. P(ø) = 0

6. A₁, A₂, …, A_n
   F A_j
   A_i = ø dla i, j = 1,2 … i ≠ j

to

P(
) =

Dowody:

6. → A_n+1 + A_n+2 = ø

1. → A
B
B= A
(B\A)

P(B) = P(A
(B\A) = P(A) + P(B\A)≥P(B), P(B\A) ≥0

2. → A
Ω

P(A) ≤ P(Ω)

P(A) ≤ 1

3. → Ω = A
A`

A
A` = ø

P(Ω) = P(A
A`) = P(A) + P(A`)

1 = P(A) + P(A`)

P(A`) = 1 - P(A)

Def . klasyczna prawdopodobieństwa

Jeżeli Ω zawiera skończoną liczbę zdarzeń elementów (
= n) i wszystkie zdarzenia jednoelementowe (elementarne) są jednakowo prawdopodobne, czyli P({ω₁ }) =P({n}) =
, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego A (
= k ) wyraża się wzorem

P(A) =

Def. Prawdopodobieństwo geometryczne

Jeżeli Ω jest obszarem przestrzeni euklidesowej n - wymiarowej, μ jest miarą Lebesque'a skończoną czyli 0<μ<∞ natomiast natomiast A
Ωjest zbiorem barelowskim to rozkład prawdopodobieństwa zdarzenia A wyraża się wzorem

P(A) =
← prawdopodobieństwo geometryczne

Def. Prawdopodobieństwo warunkowe

Jeżeli P(B) > 0 , to P(A/B)

P(A/B)=

Rozkład warunkowy prawdopodobieństwa jest funkcją określoną dla każdego każdego A wzorem

P(A/B) =

Wniosek :

P(A
B) = P(A/B)*P(B)

Niezależność zdarzeń

A i B - zdarzenia niezależne P(A
B) = P(A)*P(B)

A₁ , A₂ , ...A _n - zdarzenia niezależne dla każdego ciągu wskaźników wskaźników , k ₁, k₂ , k_n takich że

1≤k ₁ ≤k ₂ ≤ .......≤ k_n ≤n mamy

P(A_k1
A_k2
........ A_n ) = P(A_k1 ) * P(A_k2 )*...*P(A_n )

Tw. O prawdopodobieństwie zupełnym (całkowitym)

Niech A₁ , A₂ , ...A_n , B
F

A₁ , A₂ , ...A_n tworzą układ zupełny

(
, i Ai
Aj = Ø i , j = 1,2. ..., n , i≠j )

B

Wówczas Wówczas B(P) =

Tw. Bayesa

Przy założeniach z tw. O prawdopodobieństwie całkowitym

Jeżeli

P(B) >0 , to dla każdego zdarzenia A_k

Dowód tw. O prawdopodobieństwie całkowitym

Dowód tw. Bayes'a

Zmienne losowe

Czyli niech dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω,F,P)

Def.

Funkcję X:Ω →mającą następującą własność

nazywamy zmienną losową

Def.

Funkcję P_x(A) = P(X^-1(A)= P({ω: x(ω)
A}) nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej x..

---