Politechnika Śląska

Wydział AEiI

Kierunek AiR

Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki:

Pomiar prędkości dźwięku w powietrzu metodami:

rezonansową, Quinckego i przesunięcia fazowego.

Grupa IV, sekcja 3

1.Szymon Ciupa

2.Adam Filipek

Gliwice, 21.05.1999

1. Wstęp teoretyczny:

Dźwięk jest to zaburzenie fal sprężystych rozchodzące się w ośrodku materialnym, polegające na przenoszeniu energii i pędu przez drgające cząstki ośrodka bez zmiany ich średniego położenia. Fala akustyczna powstająca w powietrzu dzięki sprężystości objętości ośrodka jest falą podłużną. Czas, w ciągu którego wykonane jest jedno pełne drganie nosi nazwę okresu T. Długością fali λ nazywamy odległość, na jaką fala przesuwa się w czasie jednego okresu. Ponieważ fala rozchodzi się ruchem jednostajnym, na podstawie równania tego ruchu przy znanej (zmierzonej) długości fali możemy obliczyć prędkość jej propagacji ze wzoru:

gdzie:

c - prędkość rozchodzenia się fali [m/s]

λ - długość fali [m]

T- okres fali [Hz]

Rozchodzenie się fali jest również procesem termodynamicznym. Zagęszczenia i rozrzedzenia ośrodka, który jest nośnikiem fali, są adiabatyczne (bez wymiany ciepła z otoczeniem) - ze względu na dużą szybkość propagacji fali w powietrzu. Znając c_p/c_v =  można wzór na propagację fali w powietrzu zapisać w postaci:

c=

gdzie:

c - prędkość rozchodzenia się fali dźwiękowej [m/s]

χ - współczynnik adiabatyczny

R - uniwersalna stała gazowa [J*mol^-1*K^-1]

T - temperatura [K]

 - masa molowa powietrza [kg*mol^-1]

W wyniku interferencji dwóch fal, biegnących na przeciw siebie, o równaniach:

y1 = A cos 2π( t/T - x/λ )

y2 = A cos 2π( t/T + x/λ )

otrzymamy falę wypadkową o równaniu :

y = y1 + y2 = 2A cos 2πx/λ cos 2πt/T

Obraz który otrzymujemy w wyniku nałożenia fal biegnących w przeciwnych kierunkach, nazywamy falą stojącą.

Odległość między sąsiednimi węzłami (lub strzałkami) jest równa połowie długości fali:

Δl = λ/2 = c /2ν

Warunek fali stojącej:

l = (2n + 1) λ/4 (n = 0, 1, 2, ... ).

2. Opis ćwiczenia:

Pomiaru prędkości rozchodzenia się dźwięku w powietrzu dokonujemy następującymi metodami: rezonansową, Quinckego i przesunięcia fazowego.

1. Metoda rezonansowa

Schemat układu:

gdzie:

G - generator

F - częstościomierz

1 - głośnik

2 - rura Kundta

3 - mikrofon

4 - oscyloskop

Łączymy układ według powyższego schematu. Dla konkretnej odległości mikrofonu od głośnika znajdujemy częstotliwość f₀ w której następuje rezonans akustyczny. Nie zmieniając położenia mikrofonu szukamy dwóch najbliższych wartości częstotliwości (mniejszej i większej od f₀) odpowiadających rezonansowi akustycznemu. Pomiaru dokonujemy dla trzech różnych odległości mikrofonu od głośnika.

2. Metoda Quinckego

Podłączamy głośnik do generatora i ustalamy częstotliwość na 1000 Hz. Napełniamy słup wodą i rozpoczynamy jego stopniowe opróżnianie co powoduje obniżenie poziomu wody w słupie. Dokonujemy pomiarów słupa powietrza dla którego natężenie dźwięku jest maksymalne. Pomiar powtarzamy trzykrotnie.

3. Metoda przesunięcia fazowego

Schemat układu:

gdzie:

G - generator

F - częstościomierz

1 - głośnik

2 - rura Kundta

3 - mikrofon

4 - oscyloskop

Łączymy układ według powyższego schematu. Ustalamy częstotliwość i szukamy położeń mikrofonu, takich dla których elipsa na oscyloskopie przejdzie w krzywą ukośną. Notujemy wszystkie położenia mikrofonu dla których występuje prosta ukośna (w lewo lub w prawo). Pomiaru dokonujemy dla trzech różnych częstotliwości.

3. Obliczenia i analiza błędów pomiarowych:

Część 1: wyznaczanie prędkości dźwięku:

Do uśredniania otrzymanych wartości zastosowano metodę średniej ważonej. Skorzystano z następujących wzorów:

- waga prędkości dźwięku;

- średnia (ważona) prędkości dźwięku;

- błąd wyznaczania średniej (ważonej) prędkości dźwięku.

Wartość prędkości dźwięku wyznaczono za pomocą trzech metod:

- metoda rezonansowa:

Wartości prędkości dźwięku obliczano według następującej zależności:

,

gdzie: f_R - różnica częstotliwości f₀ - f₁ bądź f₂ - f₀ dla poszczególnych odległości l.

Błąd wyznaczania wartości prędkości dźwięku obliczano, korzystając z różniczki zupełnej, według następującej zależności:

,

gdzie: l = 0,001 [m] - błąd pomiaru odległości, f_ - błąd wyznaczania f_R, który obliczano, korzystając z różniczki zupełnej, według następującej zależności:

,

gdzie: f₀ - błąd wynikający z pomiaru częstotliwości miernikiem cyfrowym, dla częstotliwości f₀, f_i - błąd wynikający z pomiaru częstotliwości miernikiem cyfrowym, dla częstotliwości f₁ lub f₂; błąd pomiaru częstotliwości miernikiem cyfrowym HC 81 (w - wskazanie miernika): f = 0,1%w +10 [Hz].

L.p.	Odległość l [cm]			Błędy pomiaru częstotliwości [Hz]
				f1		f0			f2
1	30			11,16		11,73			12,25
2	40			11,29		11,73			12,13
3	50			11,39		11,72			12,06
		fR = f0 - f1					fR = f2 - f0
L [cm]		30	40		50		30	40		50
fR [Hz]		569,00	438,00		333,00		526,00	397,00		334,00
f [Hz]		22,88	23,02		23,11		23,97	23,86		23,77
C [m/s]		341,40	350,40		333,00		315,60	317,60		334,00
c [m/s]		14,87	19,30		23,77		15,44	19,88		24,44

i	wi [s^2/m^2]	ciwi [s/m]
1	0,00453	1,546
2	0,00269	0,942
3	0,00178	0,590
4	0,00420	1,326
5	0,00254	0,804
6	0,00168	0,560
	0,01739	5,766

Ostatecznie średnia (ważona) prędkości dźwięku wyniosła:

.

- metoda przesunięcia fazowego:

Wartości prędkości dźwięku obliczano według następującej zależności:

,

gdzie: x - odległość pomiędzy kolejnymi położeniami mikrofonu, przy których na ekranie oscyloskopu obserwuje się linię prostą dla poszczególnych częstotliwości f.

Błąd wyznaczania wartości prędkości dźwięku obliczano, korzystając z różniczki zupełnej, według następującej zależności:

,

gdzie: x_ - błąd wyznaczania x, który obliczano, korzystając z różniczki zupełnej, według następującej zależności:

,

gdzie: . l = 0,001 [m] - błąd pomiaru odległości, l_i , l_j - kolejne, następujące po sobie położenia mikrofonu.

	x = l2 - l1				x = l3 - l2				x = l4 - l3
f [Hz]	1500,0		1700,0	1900,0	1500,0		1700,0	1900,0	1500,0	1700,0		1900,0
f [Hz]	11,5		11,7	11,9	11,5		11,7	11,9	11,5	11,7		11,9
x [cm]	11,5		10,5	9,1	11,6		10,2	9,2	-	10,2		9,1
c [m/s]	345,00		357,00	345,80	348,00		346,80	349,60	-	346,80		345,80
c [m/s]	8,65		9,26	9,77	8,67		9,19	9,79	-	9,19		9,77
i	wi [s^2/m^2]				ciwi [s/m]
1	0,01339				4,617
2	0,01167				4,167
3	0,01049				3,626
4	0,01331				4,632
5	0,01185				4,110
6	0,01044				3,648
7	0,01185				4,110
8	0,01049				3,626
	0,09347				32,532

Ostatecznie średnia (ważona) prędkości dźwięku wyniosła:

.

- metoda Quinckego:

Wartości prędkości dźwięku obliczano według następującej zależności:

,

gdzie: h_R - odległość pomiędzy sąsiednimi strzałkami fali, f = 1000 [Hz] - częstotliwość, przy której dokonywano pomiarów.

Błąd wyznaczania wartości prędkości dźwięku obliczano, korzystając z różniczki zupełnej, według następującej zależności:

,

gdzie: f = 0,1%w +10 [Hz] = 11 [Hz] - błąd pomiaru częstotliwości miernikiem cyfrowym HC 81 (w - wskazanie miernika), h_ - błąd wyznaczania h_R, który obliczano, korzystając z różniczki zupełnej, według następującej zależności:

,

gdzie: h = 0,001 [m] - błąd pomiaru wysokości słupa wody, h_i , h_j - kolejne, następujące po sobie wysokości słupa wody, przy których występują strzałki fali.

	h = h2 - h1			h = h3 - h2			h = h4 - h3
hR [cm]	18,0	17,5	17,0	17,0	17,5	17,0	17,0	17,0	17,5
c [m/s]	360,00	350,00	340,00	340,00	350,00	340,00	340,00	340,00	350,00
c [m/s]	7,96	7,85	7,74	7,74	7,85	7,74	7,74	7,74	7,85

i	wi [s^2/m^2]	ciwi [s/m]
1	0,01579	5,682
2	0,01623	5,680
3	0,01670	5,676
4	0,01670	5,676
5	0,01623	5,680
6	0,01670	5,676
7	0,01670	5,676
8	0,01670	5,676
9	0,01623	5,680
	0,14793	51,098

Ostatecznie średnia (ważona) prędkości dźwięku wyniosła:

.

Część 2: wyznaczanie współczynnika adiabaty:

Wykładnik adiabaty obliczano według następującej zależności:

,

gdzie: R = 8,31 [J/molK] - uniwersalna stała gazowa,  = 28,8710^-3 [kg/mol] - masa molowa powietrza, T = 24 [°C] = 297,15 [K] - temperatura powietrza.

Błąd wyznaczania współczynnika adiabaty obliczano, korzystając z różniczki zupełnej, według następującej zależności:

,

gdzie: T = 0,5 [°C] - błąd pomiaru temperatury powietrza.

W wyniku obliczeń dla poszczególnych metod pomiarowych otrzymano następujące wartości współczynnika adiabaty:

1. metoda rezonansowa:

;

2. metoda przesunięcia fazowego:

;

3. metoda Quinckego:

.

4. Wnioski:

W wyniku przeprowadzonego doświadczenia i związanych z nim obliczeń otrzymaliśmy następujące wartości prędkości dźwięku:

• dla metody rezonansowej:

;

• dla metody przesunięcia fazowego:

;

• dla metody Quinckego:

.

Na podstawie otrzymanych wyników można wnioskować, że najmniej dokładną z zastosowanych w tym ćwiczeniu metod jest metoda rezonansowa, albowiem otrzymany tą metodą wynik najbardziej odbiega od pozostałych dwóch wartości i jest obarczony największym błędem spośród wszystkich trzech wartości prędkości dźwięku, wyznaczonych w tym doświadczeniu.

Jednym z celów w tym ćwiczeniu było również wyznaczenie współczynnika adiabaty dla wszystkich trzech metod. Oto otrzymane wyniki:

• dla metody rezonansowej:

;

• dla metody przesunięcia fazowego:

;

• dla metody Quinckego:

.

Na podstawie otrzymanych wyników znowu widać, że metoda rezonansowa okazuje się być najmniej dokładną spośród trzech dostępnych metod.

Na błędy pomiarowe miały wpływ: w metodzie rezonansowej trudności w uchwyceniu kolejnych maksimów natężenia dźwięku, tzn. wielokrotne wahania wskazań mogły być przyczyną błędnych odczytów częstotliwości; w metodzie przesunięcia fazowego niedokładność odczytu z podziałki położenia odbiornika; w metodzie Quinckego trudności w określaniu momentów, w których dźwięk osiąga maksymalne natężenie (na trudności te mogły mieć wpływ: hałas otoczenia, niedokładność ludzkiego słuchu) oraz niedokładności w określaniu odpowiadającej tym momentom wysokości słupa wody.

4

---