DWUWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE

Rozkład łączny pary zmiennych losowych

określonych na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych:

, A - dowolny podzbiór zbioru par wartości zmiennych X, Y.

Definicja. Dystrybuantą zmiennej losowej
nazywamy funkcję

,

gdzie

Twierdzenie. Łączny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej
określony jest jednoznacznie przez jej dystrybuantę.

Zmienne dyskretne

Funkcja prawdopodobieństwa ( łącznego ) dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej:

.

Własności:

(i)
, dla dowolnej pary wartości
,

2. 
   ,

3. 
   ,

(iv)

.

Przykład. W każdym z dwóch etapów teleturnieju można otrzymać 0, 1, lub 2 punkty. Niech zmienne losowe X, Y oznaczają liczby punktów uzyskane w etapie I i II, odpowiednio, przez losowo wybranego

uczestnika. Funkcję prawdopodobieństwa łącznego określa tabela:

YX	0	1	2
0	0,5	0,05	0,01
1	0,2	0,1	0,06
2	0,02	0,03	A

Znaleźć:

1. 
   

2. 
   

3. 
   .

(a)
= 1. Stąd

= A = 1 - ( 0,5 + 0,05 + 0,01 + 0,2 + 0,1 +

+ 0,06 + 0,02 + 0,03 ) = 1 - 0,97 = 0,03.

2. 
   =

= 0,01 + 0,06 + 0,03 = 0,1.

(c)
=
=

=
=

= 0,5 + 0,05 + 0,2 + 0,1 = 0,85.

Zmienne ciągłe

Zmienna losowa (
jest dwuwymiarową ciągłą zmienną losową, jeśli jej łączny rozkład prawdopodo- bieństwa określony jest przez funkcję gęstości łącznej

( łączną gęstość prawdopodobieństwa ), taką że

1. 
   

2. 
   

3. 
   

W szczególności dla
:

=
.

,
,
.

Przykład. Zmienna losowa
ma gęstość prawdopodobieństwa

gdy
.

Obliczyć

=
=

=

= ?

Rozkłady brzegowe

Niech
będzie dwuwymiarową zmienną losową o rozkładzie prawdopodobieństwa określonym przez funkcję
( funkcja prawdopodobieństwa lub gęstość ).

Rozkład brzegowy = rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X lub zmiennej losowej Y.

1. dla dyskretnych zmiennych X, Y , brzegowe funkcje prawdopodobieństwa są postaci

2. dla ciągłych zmiennych X, Y , brzegowe gęstości są postaci

.

D. (a)

=

.

(b)
=
=

. Stąd

=
.

Przykład. Dwuwymiarowa zmienna losowa
ma gęstość

gdy

Znaleźć gęstość zmiennej losowej X.

Niech
.

=

=

=
.

gdy
.

Gęstość zmiennej losowej Y ma identyczną postać.

Rozkłady warunkowe

1. Niech
   będzie dyskretną zmienną losową mającą funkcję prawdopodobieństwa
   .

Niech y - ustalone oraz
.

Rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, że Y = y określa warunkowa funkcja prawdopodobieństwa:

=
, x - dowolna wartość zmiennej X.

=

=

funkcja prawdopodobieństwa zmiennej X pod warunkiem, że zmienna Y przyjęła wartość y.

Analogicznie:

=
=
, gdzie
.

Notacja:

(b) Niech
będzie ciągłą zmienną losową o łącznej gęstości
.

Niech y - ustalone oraz
.

Warunkową gęstością prawdopodobieństwa zmiennej

losowej X pod warunkiem, że
nazywamy funkcję
=
,
.

Przykład. (kontynuacja)

gdy

gdy

Niech
- ustalone.

=

=
dla

= 0 dla

Uwaga. Analogicznie określamy rozkład warunkowy

zmiennej losowej Y pod warunkiem X = x. Zatem

=
, gdzie y - dowolna wartość Y,

x - ustalone, takie że
.

Notacja:
,

Przykład. (kontynuacja)

(a) Znaleźć rozkład brzegowy zmiennej Y, liczby punktów uzyskanych w II etapie teleturnieju przez losowo wybranego uczestnika.

(b) Wyznaczyć rozkład warunkowy Y pod warunkiem, że w I etapie uzyskano 2 punkty, tzn. X = 2.

YX	0	1	2
0	0,5	0,05	0,01
1	0,2	0,1	0,06
2	0,02	0,03	0,03
YX	0	1	2
0	0,5	0,05	0,01
1	0,2	0,1	0,06
2	0,02	0,03	0,03

1. 
   =
   . Stąd

Y	0	1	2
	0,72	0,18	0,1

2. 
   =
   = ?

=
=
=

= 0,02/(0,02 + 0,03 + 0,03) =1/4,

=
=
=

= 0,03/0,08 = 3/8,

=
=
=

= 0,03/0,08 = 3/8.

Niezależne zmienne losowe

Definicja. Niech
będzie dwuwymiarową zmienna losową o dystrybuancie
oraz dystrybuantach brzegowych

,
. Zmienne losowe X, Y są niezależne, jeśli

,

dla wszystkich wartości x, y.

Twierdzenie. Zmienne losowe X, Y są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy

,

dla wszystkich wartości x, y.

Wniosek. Poniższe warunki są równoważne:

(i) Zmienne losowe X, Y są niezależne.

(ii)
,
, dla wszystkich y,

takich że
.

(iii)
,
, dla wszystkich x,

takich że
.

Przykład. ( kontynuacja )

Czy liczby punktów uzyskane w I i II etapie teleturnieju przez losowo wybranego uczestnika są niezależnymi zmiennymi losowymi ?

YX	0	1	2
0	0,5	0,05	0,01
1	0,2	0,1	0,06
2	0,02	0,03	0,03

= 0,5 + 0,05 +

+ 0,01 = 0,56.
= 0,5 + 0,2

+ 0,02 = 0,72.

Stąd
,

Zmienne losowe
są zależne.

Przykład. ( kontynuacja ). Czy X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, jeśli ich łączna gęstość ma postać:

gdy

Dla
:

oraz
.

.

Przykład. Czasy poprawnej pracy dwu podzespołów są niezależnymi zmiennymi losowymi X, Y o rozkładach wykładniczych z parametrami
odpowiednio.

Średnie czasy pracy podzespołów wynoszą 1000 (godzin ) i 1200 ( godzin ). Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia takiego, że każdy podzespół nie ulegnie awarii przed upływem 1500 godzin.

(godz.),

(godz.)

Stąd
(1/godz.)
(1/godz.).

=

=

=
=

= 0,2231
0,2865 = 0,0639.

Wartość oczekiwana. Kowariancja.

=
,

gdy X, Y są dyskretne,

=
,

gdy X, Y są ciągłe.

Uwaga. Dla
lub
otrzymujemy wartości oczekiwane brzegowych zmiennych losowych X lub Y.

Np.

=
=
=

=
.

Stwierdzenie. Niech c będzie dowolną stałą, a
,
,
zmiennymi losowymi

jednowymiarowymi. Wówczas

,

.

D. Dowód jest bezpośrednią konsekwencją definicji wartości oczekiwanej oraz własności całki i sumowania.

Stwierdzenie. Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne, to

.

4. Niezależność zmiennych jest równoważna

. Stąd i z definicji wartości oczekiwanej mamy

1. (zmienne dyskretne )

=
.

=
=
=

=

=

.

(b) (zmienne ciągłe) Dowód analogiczny - Sumowanie należy zastąpić całkowaniem.

Definicja. Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o łącznej funkcji prawdopodobieństwa ( gęstości )
. Kowariancją zmiennych X i Y nazywamy liczbę:

.

Uwaga.

Z definicji
oraz
, przyjmując

, otrzymujemy wzory:

,

gdy X, Y są dyskretne

,

gdy X, Y są ciągłe.

Notacja: Zamiast
często piszemy Cov (X,Y).

Interpretacja. Kowariancja określa pewną współzależność między zmiennymi losowymi:

(a) Jeśli „dużym” wartościom zmiennej X przewyższającym
towarzyszą zwykle „duże” wartości zmiennej Y przewyższające
, a wartościom X mniejszym od
towarzyszą zwykle wartości Y mniejsze od
, to
> 0.

(b) Jeśli wartościom zmiennej X większym od
towarzyszą zwykle wartości Y mniejsze od

wartościom X mniejszym od
towarzyszą zwykle wartości Y większe od od
, to
< 0.

Stwierdzenie. Cov(X,Y) =
.

4. Cov(X,Y) =
   =

=
=

=
=

=
.

Twierdzenie. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

Cov(X,Y) = 0.

4. Dla niezależnych zmiennych losowych
   . Stąd oraz wzoru na kowariancję mamy:

Cov(X,Y) =
=

=
= 0.

Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół prawdziwe.

Twierdzenie. Dla dowolnych stałych a, b

Var(
=

Var(X) +
Var(Y) + 2
Cov(X,Y).

D. E{
} =

E{
} = E{
}

+ E
+ E{
} =

=
Var(X) + 2abCov(X,Y) +
Var(Y). c.k.d.

Wniosek. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

Var(
) =
Var(X) +
Var(Y).

Definicja. Współczynnikiem korelacji między zmiennymi losowymi X i Y nazywamy liczbę:

.

Przykład.

YX	0	1	2
0	0,5	0,05	0,01
1	0,2	0,1	0,06
2	0,02	0,03	0,03

=
= 0
(0,5 + 0,05 + 0,01) +

+ 1
(0,2 + 0,1 + 0,06) + 2
(0,02+0,03+0,03) = 0,52.

=
= 0
(0,5 + 0,2 + 0,02) +

+ 1
(0,05 + 0,1 + 0,03) + 2
(0,01+0,06+0,03) = 0,38.

YX	0	1	2
0	0,5	0,05	0,01
1	0,2	0,1	0,06
2	0,02	0,03	0,03

=
= 0 + 0 + 0 + 0 + 1

0,1 +

+
+
+
= 0,31.

Cov(X,Y) = 0,31 - 0,52
= 0,1124.

(0,2 + 0,1 + 0,06) +

+
= 0,68

(0,05 + 0,1 + 0,03) +

+
= 0,58.

Var(X) =
= 0,4096

Var(Y) =
= 0,4356

Własności współczynnika korelacji

1. 
   

2. Jeśli a i b są stałymi, oraz jeśli

Y = a + bX,

to

gdy

(iii) Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

(iv) Jeśli
, to między zmiennymi losowymi X, Y

istnieje liniowa zależność funkcyjna.

Interpretacja. Współczynnik korelacji jest miarą zależności liniowej między zmiennymi losowymi.

Dwuwymiarowy rozkład normalny

Zmienna losowa
ma dwuwymiarowy rozkład normalny, jeśli ma gęstość postaci:

exp
,

gdzie

,

, stałe
,
,
spełniają warunki
> 0,
> 0,


.

Notacja:

Twierdzenie. Jeśli
, to

(i) X ~
, Y ~
.

(ii) Cov(X,Y) =
.

(iii) X, Y są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy
= 0.

Twierdzenie. Zmienna losowa (X,Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny wtedy i tylko wtedy gdy zmienna losowa aX + bY ma rozkład normalny, a, b są dowolnymi stałymi.

CIĄGI ZMIENNYCH LOSOWYCH

Niech
będą zmiennymi losowymi określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych
.

=
=

dystrybuanta wektora losowego (
).

= funkcja prawdopodobieństwa łącznego lub funkcja gęstości łącznej wektora losowego (
).

Definicja. Zmienne losowe
są niezależne, jeśli

=
,

gdzie
, i = 1,2,...,n.

Definicja.

=

,

lub

.

Stwierdzenie.

=

.

Wniosek. Niech
,
i = 1,2,..,n.

=
.

D. W stwierdzeniu trzeba przyjąć
, i = 1,2,..,n.

Stwierdzenie. Jeśli
są niezależnymi zmiennymi losowymi, to

Var
=

Var(
) +
Var(
) + ... +
Var(
).

W szczególności, jeśli Var(
) =
oraz
,

i = 1,2,..,n, to

Var(
) =
.

Przykład. Dokonujemy n jednakowych, niezależnych doświadczeń Bernoulli'ego o prawdopodobieństwie sukcesu p,
. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y będącej liczbą sukcesów.

Niech
1, gdy sukces w i-tym doświadczeniu,

0, gdy porażka w i-tym doświadczeniu. Wówczas

są niezależnymi zmiennymi losowymi o

funkcjach prawdopodobieństwa:

,
.

Stąd:

, Var(
) =
.

Liczba sukcesów =

=
=

=
.

Var(Y) =

Var(
+ Var(
+ ... + Var(
=

Definicja. Prostą próbą losową o liczności n nazywamy ciąg niezależnych zmiennych losowych
określonych na przestrzeni zdarzeń elementarnych
i takich, że każda ze zmiennych ma taki sam rozkład.

Twierdzenie. ( CENTRALNE TWIERDZENIE

GRANICZNE)

Niech
będzie prostą próbą losową z rozkładu o średniej
i wariancji
. Wówczas dla dużych liczności próby n rozkład prawdopodobieństwa standaryzowanej średniej ( = standaryzowanej sumy

) jest bliski standardowemu rozkładowi normalnemu
, dokładniej dla dowolnych liczb a, b,

przy
. Równoważnie rozkład średniej
jest bliski rozkładowi normalnemu
.

Przykład. Załóżmy, że rozkład codziennego dojazdu do pracy jest w przybliżeniu rozkładem jednostajnym na przedziale [0,5 godz., 1 godz. ] i że czasy dojazdów w różne dni są niezależne. Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo zdarzenia, że średni dzienny dojazd w ciągu 30 dni przekroczy 0,8 godz.

Niech
oznacza czas dojazdu w i-tym dniu ,
.

,
.

,

=

.