sad7(3), PJWSTK, 0sem, SAD


DWUWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE

Rozkład łączny pary zmiennych losowych 0x01 graphic

określonych na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych:

0x01 graphic
, A - dowolny podzbiór zbioru par wartości zmiennych X, Y.

Definicja. Dystrybuantą zmiennej losowej 0x01 graphic
nazywamy funkcję

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Twierdzenie. Łączny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej 0x01 graphic
określony jest jednoznacznie przez jej dystrybuantę.

Zmienne dyskretne

Funkcja prawdopodobieństwa ( łącznego ) dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej:

0x01 graphic
.

Własności:

(i) 0x01 graphic
, dla dowolnej pary wartości 0x01 graphic
,

  1. 0x01 graphic
    ,

  1. 0x01 graphic
    ,

0x01 graphic

(iv) 0x01 graphic
0x01 graphic
.

Przykład. W każdym z dwóch etapów teleturnieju można otrzymać 0, 1, lub 2 punkty. Niech zmienne losowe X, Y oznaczają liczby punktów uzyskane w etapie I i II, odpowiednio, przez losowo wybranego

uczestnika. Funkcję prawdopodobieństwa łącznego określa tabela:

YX

0

1

2

0

0,5

0,05

0,01

1

0,2

0,1

0,06

2

0,02

0,03

A

Znaleźć:

  1. 0x01 graphic

  2. 0x01 graphic

  3. 0x01 graphic
    .

(a) 0x01 graphic
= 1. Stąd

0x01 graphic
= A = 1 - ( 0,5 + 0,05 + 0,01 + 0,2 + 0,1 +

+ 0,06 + 0,02 + 0,03 ) = 1 - 0,97 = 0,03.

  1. 0x01 graphic
    =

0x01 graphic
= 0,01 + 0,06 + 0,03 = 0,1.

(c) 0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

= 0x01 graphic
=

= 0,5 + 0,05 + 0,2 + 0,1 = 0,85.

Zmienne ciągłe

Zmienna losowa (0x01 graphic
jest dwuwymiarową ciągłą zmienną losową, jeśli jej łączny rozkład prawdopodo- bieństwa określony jest przez funkcję gęstości łącznej

( łączną gęstość prawdopodobieństwa ), taką że

  1. 0x01 graphic

  1. 0x01 graphic

  1. 0x01 graphic

W szczególności dla 0x01 graphic
:

0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Przykład. Zmienna losowa 0x01 graphic
ma gęstość prawdopodobieństwa

0x01 graphic
gdy 0x01 graphic
.

Obliczyć

0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

0x01 graphic
=

0x01 graphic
= ?

Rozkłady brzegowe

Niech 0x01 graphic
będzie dwuwymiarową zmienną losową o rozkładzie prawdopodobieństwa określonym przez funkcję 0x01 graphic
( funkcja prawdopodobieństwa lub gęstość ).

Rozkład brzegowy = rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X lub zmiennej losowej Y.

  1. dla dyskretnych zmiennych X, Y , brzegowe funkcje prawdopodobieństwa są postaci

0x01 graphic

0x01 graphic

  1. dla ciągłych zmiennych X, Y , brzegowe gęstości są postaci

0x01 graphic

0x01 graphic
.

D. (a) 0x01 graphic
0x01 graphic
=

0x01 graphic
.

(b) 0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

0x01 graphic
. Stąd

0x01 graphic
0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

Przykład. Dwuwymiarowa zmienna losowa 0x01 graphic
ma gęstość

0x01 graphic
gdy 0x01 graphic

Znaleźć gęstość zmiennej losowej X.

Niech 0x01 graphic
.

0x01 graphic
= 0x01 graphic

0x01 graphic
=

0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

0x01 graphic
gdy 0x01 graphic
.

Gęstość zmiennej losowej Y ma identyczną postać.

Rozkłady warunkowe

  1. Niech 0x01 graphic
    będzie dyskretną zmienną losową mającą funkcję prawdopodobieństwa 0x01 graphic
    .

Niech y - ustalone oraz 0x01 graphic
.

Rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, że Y = y określa warunkowa funkcja prawdopodobieństwa:

0x01 graphic
= 0x01 graphic
, x - dowolna wartość zmiennej X.

0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic
=

funkcja prawdopodobieństwa zmiennej X pod warunkiem, że zmienna Y przyjęła wartość y.

Analogicznie:

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
, gdzie0x01 graphic
.

Notacja: 0x01 graphic

0x01 graphic

(b) Niech 0x01 graphic
będzie ciągłą zmienną losową o łącznej gęstości 0x01 graphic
.

Niech y - ustalone oraz 0x01 graphic
.

Warunkową gęstością prawdopodobieństwa zmiennej

losowej X pod warunkiem, że 0x01 graphic
nazywamy funkcję 0x01 graphic
= 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Przykład. (kontynuacja)

0x01 graphic
gdy 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
gdy 0x01 graphic

0x01 graphic
Niech 0x01 graphic
- ustalone.

0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic
= 0x01 graphic
dla 0x01 graphic

0x01 graphic
= 0 dla 0x01 graphic

Uwaga. Analogicznie określamy rozkład warunkowy

zmiennej losowej Y pod warunkiem X = x. Zatem0x01 graphic

0x01 graphic
= 0x01 graphic
, gdzie y - dowolna wartość Y,

x - ustalone, takie że 0x01 graphic
.

Notacja: 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Przykład. (kontynuacja)

(a) Znaleźć rozkład brzegowy zmiennej Y, liczby punktów uzyskanych w II etapie teleturnieju przez losowo wybranego uczestnika.

(b) Wyznaczyć rozkład warunkowy Y pod warunkiem, że w I etapie uzyskano 2 punkty, tzn. X = 2.

YX

0

1

2

0

0,5

0,05

0,01

1

0,2

0,1

0,06

2

0,02

0,03

0,03

YX

0

1

2

0

0,5

0,05

0,01

1

0,2

0,1

0,06

2

0,02

0,03

0,03

  1. 0x01 graphic
    = 0x01 graphic
    . Stąd

Y

0

1

2

0x01 graphic

0,72

0,18

0,1

  1. 0x01 graphic
    = 0x01 graphic
    = ?

0x01 graphic
= 0x01 graphic
=0x01 graphic
=

= 0,02/(0,02 + 0,03 + 0,03) =1/4,

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

= 0,03/0,08 = 3/8,

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

= 0,03/0,08 = 3/8.

Niezależne zmienne losowe

Definicja. Niech 0x01 graphic
będzie dwuwymiarową zmienna losową o dystrybuancie 0x01 graphic
oraz dystrybuantach brzegowych 0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Zmienne losowe X, Y są niezależne, jeśli

0x01 graphic
,

dla wszystkich wartości x, y.

Twierdzenie. Zmienne losowe X, Y są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy

0x01 graphic
,

dla wszystkich wartości x, y.

Wniosek. Poniższe warunki są równoważne:

(i) Zmienne losowe X, Y są niezależne.

(ii) 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, dla wszystkich y,

takich że 0x01 graphic
.

(iii)0x01 graphic
, 0x01 graphic
, dla wszystkich x,

takich że 0x01 graphic
.

Przykład. ( kontynuacja )

Czy liczby punktów uzyskane w I i II etapie teleturnieju przez losowo wybranego uczestnika są niezależnymi zmiennymi losowymi ?

YX

0

1

2

0

0,5

0,05

0,01

1

0,2

0,1

0,06

2

0,02

0,03

0,03

0x01 graphic
= 0,5 + 0,05 +

+ 0,01 = 0,56. 0x01 graphic
= 0,5 + 0,2

+ 0,02 = 0,72.

Stąd 0x01 graphic
,

Zmienne losowe 0x01 graphic
są zależne.

Przykład. ( kontynuacja ). Czy X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, jeśli ich łączna gęstość ma postać:

0x01 graphic
gdy 0x01 graphic

Dla 0x01 graphic
:

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

0x01 graphic
.

Przykład. Czasy poprawnej pracy dwu podzespołów są niezależnymi zmiennymi losowymi X, Y o rozkładach wykładniczych z parametrami 0x01 graphic
odpowiednio.

Średnie czasy pracy podzespołów wynoszą 1000 (godzin ) i 1200 ( godzin ). Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia takiego, że każdy podzespół nie ulegnie awarii przed upływem 1500 godzin.

0x01 graphic
(godz.),

0x01 graphic
(godz.)

Stąd 0x01 graphic
(1/godz.) 0x01 graphic
(1/godz.).

0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic
=

0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

= 0,22310x01 graphic
0,2865 = 0,0639.

Wartość oczekiwana. Kowariancja.

0x01 graphic
= 0x01 graphic
,

0x01 graphic
gdy X, Y są dyskretne,

0x01 graphic
= 0x01 graphic
,

gdy X, Y są ciągłe.

Uwaga. Dla 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
otrzymujemy wartości oczekiwane brzegowych zmiennych losowych X lub Y.

Np.

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

= 0x01 graphic
.

Stwierdzenie. Niech c będzie dowolną stałą, a 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
zmiennymi losowymi

jednowymiarowymi. Wówczas

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

D. Dowód jest bezpośrednią konsekwencją definicji wartości oczekiwanej oraz własności całki i sumowania.

Stwierdzenie. Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne, to

0x01 graphic
.

  1. Niezależność zmiennych jest równoważna

0x01 graphic
. Stąd i z definicji wartości oczekiwanej mamy0x01 graphic

  1. (zmienne dyskretne )

0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic
=

0x01 graphic
.

(b) (zmienne ciągłe) Dowód analogiczny - Sumowanie należy zastąpić całkowaniem.

Definicja. Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o łącznej funkcji prawdopodobieństwa ( gęstości ) 0x01 graphic
. Kowariancją zmiennych X i Y nazywamy liczbę:

0x01 graphic
.

Uwaga.

Z definicji 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, przyjmując

0x01 graphic
, otrzymujemy wzory:

0x01 graphic
,

gdy X, Y są dyskretne

0x01 graphic
,

gdy X, Y są ciągłe.

Notacja: Zamiast 0x01 graphic
często piszemy Cov (X,Y).

Interpretacja. Kowariancja określa pewną współzależność między zmiennymi losowymi:

(a) Jeśli „dużym” wartościom zmiennej X przewyższającym 0x01 graphic
towarzyszą zwykle „duże” wartości zmiennej Y przewyższające 0x01 graphic
, a wartościom X mniejszym od 0x01 graphic
towarzyszą zwykle wartości Y mniejsze od 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
> 0.

(b) Jeśli wartościom zmiennej X większym od 0x01 graphic
towarzyszą zwykle wartości Y mniejsze od 0x01 graphic

wartościom X mniejszym od 0x01 graphic
towarzyszą zwykle wartości Y większe od od 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
< 0.

Stwierdzenie. Cov(X,Y) = 0x01 graphic
.

  1. Cov(X,Y) = 0x01 graphic
    =

= 0x01 graphic
=

= 0x01 graphic
=

= 0x01 graphic
.

Twierdzenie. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

Cov(X,Y) = 0.

  1. Dla niezależnych zmiennych losowych 0x01 graphic
    . Stąd oraz wzoru na kowariancję mamy:

Cov(X,Y) = 0x01 graphic
=

= 0x01 graphic
= 0.

Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół prawdziwe.

Twierdzenie. Dla dowolnych stałych a, b

Var(0x01 graphic
=

0x01 graphic
Var(X) + 0x01 graphic
Var(Y) + 20x01 graphic
Cov(X,Y).

D. E{ 0x01 graphic
} =

E{ 0x01 graphic
} = E{ 0x01 graphic
}

+ E 0x01 graphic
+ E{ 0x01 graphic
} =

= 0x01 graphic
Var(X) + 2abCov(X,Y) + 0x01 graphic
Var(Y). c.k.d.

Wniosek. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

Var(0x01 graphic
) = 0x01 graphic
Var(X) + 0x01 graphic
Var(Y).

Definicja. Współczynnikiem korelacji między zmiennymi losowymi X i Y nazywamy liczbę:

0x01 graphic
.

Przykład. 0x01 graphic

YX

0

1

2

0

0,5

0,05

0,01

1

0,2

0,1

0,06

2

0,02

0,03

0,03

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 00x01 graphic
(0,5 + 0,05 + 0,01) +

+ 10x01 graphic
(0,2 + 0,1 + 0,06) + 20x01 graphic
(0,02+0,03+0,03) = 0,52.

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0 0x01 graphic
(0,5 + 0,2 + 0,02) +

+ 10x01 graphic
(0,05 + 0,1 + 0,03) + 20x01 graphic
(0,01+0,06+0,03) = 0,38.

YX

0

1

2

0

0,5

0,05

0,01

1

0,2

0,1

0,06

2

0,02

0,03

0,03

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0 + 0 + 0 + 0 + 10x01 graphic
0x01 graphic
0,1 +

+ 0x01 graphic
+ 0x01 graphic
+ 0x01 graphic
= 0,31.

Cov(X,Y) = 0,31 - 0,52 0x01 graphic
= 0,1124.

0x01 graphic
0x01 graphic
(0,2 + 0,1 + 0,06) +

+ 0x01 graphic
= 0,68

0x01 graphic
0x01 graphic
(0,05 + 0,1 + 0,03) +

+ 0x01 graphic
= 0,58.

Var(X) = 0x01 graphic
= 0,4096

Var(Y) = 0x01 graphic
= 0,4356

0x01 graphic

Własności współczynnika korelacji

  1. 0x01 graphic

  2. Jeśli a i b są stałymi, oraz jeśli

Y = a + bX,

to

0x01 graphic
0x01 graphic
gdy 0x01 graphic

(iii) Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

0x01 graphic

(iv) Jeśli 0x01 graphic
, to między zmiennymi losowymi X, Y

istnieje liniowa zależność funkcyjna.

Interpretacja. Współczynnik korelacji jest miarą zależności liniowej między zmiennymi losowymi.

0x01 graphic
Dwuwymiarowy rozkład normalny

Zmienna losowa 0x01 graphic
ma dwuwymiarowy rozkład normalny, jeśli ma gęstość postaci:

0x01 graphic
exp0x01 graphic
,

gdzie

0x01 graphic
,

0x01 graphic
0x01 graphic
, stałe 0x01 graphic
,0x01 graphic
,0x01 graphic
spełniają warunki 0x01 graphic
> 0, 0x01 graphic
> 0, 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Notacja: 0x01 graphic

Twierdzenie. Jeśli 0x01 graphic
, to

(i) X ~ 0x01 graphic
, Y ~ 0x01 graphic
.

(ii) Cov(X,Y) = 0x01 graphic
.

(iii) X, Y są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy 0x01 graphic
= 0.

Twierdzenie. Zmienna losowa (X,Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny wtedy i tylko wtedy gdy zmienna losowa aX + bY ma rozkład normalny, a, b są dowolnymi stałymi.

CIĄGI ZMIENNYCH LOSOWYCH

Niech 0x01 graphic
będą zmiennymi losowymi określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych 0x01 graphic
.

0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

dystrybuanta wektora losowego (0x01 graphic
).

0x01 graphic
= funkcja prawdopodobieństwa łącznego lub funkcja gęstości łącznej wektora losowego (0x01 graphic
).

Definicja. Zmienne losowe 0x01 graphic
są niezależne, jeśli

0x01 graphic
= 0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
, i = 1,2,...,n.

Definicja.

0x01 graphic
=

0x01 graphic
,

lub

0x01 graphic
.

Stwierdzenie.

0x01 graphic
=

0x01 graphic
.

Wniosek. Niech 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i = 1,2,..,n.

0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

D. W stwierdzeniu trzeba przyjąć 0x01 graphic
, i = 1,2,..,n.

Stwierdzenie. Jeśli 0x01 graphic
niezależnymi zmiennymi losowymi, to

Var0x01 graphic
=

0x01 graphic
Var(0x01 graphic
) + 0x01 graphic
Var(0x01 graphic
) + ... +0x01 graphic
Var(0x01 graphic
).

W szczególności, jeśli Var(0x01 graphic
) = 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
,

i = 1,2,..,n, to

Var(0x01 graphic
) = 0x01 graphic
.

Przykład. Dokonujemy n jednakowych, niezależnych doświadczeń Bernoulli'ego o prawdopodobieństwie sukcesu p, 0x01 graphic
. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y będącej liczbą sukcesów.

Niech 0x01 graphic
1, gdy sukces w i-tym doświadczeniu,

0x01 graphic
0, gdy porażka w i-tym doświadczeniu. Wówczas

0x01 graphic
są niezależnymi zmiennymi losowymi o

funkcjach prawdopodobieństwa:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Stąd:

0x01 graphic
, Var(0x01 graphic
) = 0x01 graphic
.

Liczba sukcesów =

0x01 graphic

0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

Var(Y) =

Var(0x01 graphic
+ Var(0x01 graphic
+ ... + Var(0x01 graphic
= 0x01 graphic

Definicja. Prostą próbą losową o liczności n nazywamy ciąg niezależnych zmiennych losowych 0x01 graphic
określonych na przestrzeni zdarzeń elementarnych 0x01 graphic
i takich, że każda ze zmiennych ma taki sam rozkład.

Twierdzenie. ( CENTRALNE TWIERDZENIE

GRANICZNE)

Niech 0x01 graphic
będzie prostą próbą losową z rozkładu o średniej 0x01 graphic
i wariancji 0x01 graphic
. Wówczas dla dużych liczności próby n rozkład prawdopodobieństwa standaryzowanej średniej ( = standaryzowanej sumy

0x01 graphic
) jest bliski standardowemu rozkładowi normalnemu 0x01 graphic
, dokładniej dla dowolnych liczb a, b, 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

przy 0x01 graphic
. Równoważnie rozkład średniej 0x01 graphic
jest bliski rozkładowi normalnemu 0x01 graphic
.

Przykład. Załóżmy, że rozkład codziennego dojazdu do pracy jest w przybliżeniu rozkładem jednostajnym na przedziale [0,5 godz., 1 godz. ] i że czasy dojazdów w różne dni są niezależne. Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo zdarzenia, że średni dzienny dojazd w ciągu 30 dni przekroczy 0,8 godz.

Niech 0x01 graphic
oznacza czas dojazdu w i-tym dniu , 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kol3(maj), PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e 03.01.2006 v1, PJWSTK, 0sem, SAD
SAD k3 zadania pomocnicze, PJWSTK, 0sem, SAD, SAD inne, kolokwia
sadreg2-egzamin, PJWSTK, 0sem, SAD
sad11hipotezy, PJWSTK, 0sem, SAD
zasady, PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e 09.02.2007, PJWSTK, 0sem, SAD
sad13p(1), PJWSTK, 0sem, SAD
sad11pp(02), PJWSTK, 0sem, SAD
sad8(2), PJWSTK, 0sem, SAD
SADegzamin2003, PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e xx.09.2003 v2, PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e 30.01.2009 v2, PJWSTK, 0sem, SAD, egzaminy
SAD e 03.01.2006 v2, PJWSTK, 0sem, SAD
sad9p(02), PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e 30.01.2009 v1, PJWSTK, 0sem, SAD, egzaminy

więcej podobnych podstron