Siła i energia w ruchu harmonicznym.

Siła

Korzystając z II zasady dynamiki Newtona możemy zbadać, jaka siła musi działać na ciało, aby nadać mu przyspieszenie w ruchu harmonicznym. Podstawiając wyrażenie

do drugiej zasady dynamiki, otrzymujemy

Z taką zależnością- gdzie siła jest proporcjonalna do przemieszczenia, ale ma przeciwny znak- już się spotkaliśmy. Taką postać ma prawo Hooke'a.

Przy czym k jest stałą sprężystości, wobec tego

W istocie możemy przyjąć równanie F = -kx jako inną definicję ruchu harmonicznego. Mówi ona, że:

• Ruch harmoniczny jest to ruch, jaki wykonuje ciało o masie m, na które działa siła proporcjonalna do przemieszczenia, ale o przeciwnym znaku.

Przedstawiony na rysunku układ klocek- sprężyna tworzy liniowy oscylator harmoniczny, przy czym słowo „liniowy” wskazuje, iż siła F jest proporcjonalna do x, a nie do jakiejś potęgi x.

Energia

Energia oscylatora liniowego zmienia się wciąż z energii kinetycznej w potencjalną i z powrotem, podczas gdy ich suma- energia mechaniczna E oscylatora- pozostaje stała. Zanalizujemy to ilościowo.

Energia potencjalna oscylatora przedstawionego na poprzednim rysunku w całości związana jest ze sprężyną. Jej wartość zależy od stopnia rozciągnięcia lub ściśnięcia sprężyny- czyli od x(t). Korzystając z zależności

i

otrzymujemy:

Energia kinetyczna układu z rysunku w całości związana jest z klockiem. Jej wartośc zależy od tego, jak szybko porusza się klocek- czyli od v(t). Korzystając z zależności

otrzymujemy

Jeżeli skorzystamy z zależności

i podstawimy k/m zamiast ω², równanie przybierze postać

Sumując to równanie z wyrażeniem

otrzymujemy energię mechaniczną

Dla dowolnego kąta α

Tak więc wyrażenie zawarte w nawiasach kwadratowych równe jest jedności i mamy

Energia mechaniczna oscylatora liniowego rzeczywiście jest stała i nie zależy od czasu. Rozumiemy teraz, jaka jest rola sprężystości i bezwładności układu drgającego. Ze sprężystością związana jest energia potencjalna układu, a z bezwładnością- jego energia kinetyczna.