Wykłady z ekonometrii

rok akademicki 2002/2003

6. Sprawdzanie jakości związku regresyjnego.

6.1 Estymacja wariancji składnika losowego.

Przypomnijmy, że przez
oznaczamy wariancję składnika (błędu) losowego w modelu regresji. Z założenia wariancja
jest jednakowa dla wszystkich obserwacji.

Wariancję składnika losowego
uważa się za miarę rozproszenia obserwacji wokół "powierzchni" regresji. "Powierzchnią" regresji nazywamy zbiór wszystkich wartości teoretycznych w modelu regresji. Dla
jest to prosta, a dla
płaszczyzna. Ogólnie mówiąc, im mniejsza jest wariancja składnika losowego
, tym obserwacje bliżej układają się "powierzchni'' regresji (zob. rysunki dla
).

Zwykle wariancja składnika losowego
jest nieznana i oszacowuje się ją na podstawie obserwacji. Estymatorem wielkości
jest statystyka
nazywana wariancją resztową albo średnim kwadratowym błędem (MSE - mean square error). Oblicza się ją korzystając ze wzoru

.

Pierwiastek kwadratowy
nazywa się standardowym błędem (szacunku).

Przykład 6.1 (Inflacja 2000) (kontynuacja przykładu 5.1). W szczególnym przypadku
korzystamy ze wzorów

,

Ponieważ
,
i
, więc
,
oraz
.

Przykład 6.2 (Reklama).(kontynuacja przykładu 5.2).

Z wydruku

PODSUMOWANIE - WYJŚCIE
Statystyki regresji
Wielokrotność R	0,980326
R kwadrat	0,96104
Dopasowany R kwadrat	0,949908
Błąd standardowy	1,91094
Obserwacje	10
ANALIZA WARIANCJI
	df	SS	MS		F		Istotność F
Regresja	2	630,5381	315,2691		86,33504		1,17E-05
Resztkowy	7	25,56185	3,651693
Razem	9	656,1

odczytujemy

oraz
.

6.2 Współczynnik determinacji.

Średni błąd kwadratowy
zależy od wymiaru (jednostki) danych, w jednych sytuacjach ta sama wartość liczbowa błędu
może być uznana za małą, a w innych za dużą. Potrzebujemy więc miary (względnej), która pozwalałaby na porównanie dopasowania do danych różnych modeli. Taką miarą jest współczynnik determinacji
.

Współczynnik determinacji
jest opisową miarą dopasowania modelu regresji do danych, czyli miarą siły liniowego związku między danymi. Mierzy on część zmienności zmiennej objaśnianej y, która została wyjaśniona liniowym oddziaływaniem zmiennych objaśniających
. Oblicza się go ze wzoru

.

Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z zakresu od 0 do 1. Przy czym, gdy

• 
  - dane leżą dokładnie na "płaszczyźnie" regresji (zmienność jest wyjaśniona w 100 %);

• 
  - regresja niczego nie wyjaśnia, dane są nieskorelowane;

• 
  - "płaszczyzna" regresji jest tym lepiej dopasowana do danych, im współczynnik determinacji
  jest bliższy jedności.

Można, na przykład, przyjąć następującą interpretację:

1. 
   - dopasowanie bardzo dobre,

2. 
   - dopasowanie dobre,

3. 
   - dopasowanie zadawalające w niektórych zastosowaniach.

Zwróćmy także uwagę, ze mówimy, np.: "regresja wyjaśnia 93 % zmienności, gdy
".

Zwiększenie liczby k zmiennych objaśniających zwiększa wartość współczynnika determinacji
, gdyż jest on niemalejącą funkcją liczby zmiennych objaśniających. Utrudnia to porównywanie modeli regresji w oparciu o wartości współczynnika
. Wprowadzono więc tzw. skorygowany współczynnik determinacji, który nie ma tej wady. Definiuje siego wzorem

Skorygowany współczynnik determinacji wykorzystuje się w przypadku porównywania modeli regresji opartych o te same dane statystyczne, ale zawierających różne liczby zmiennych objaśniających.

Przykład 6.1 (Inflacja 2000) (kontynuacja). W szczególnym przypadku
, współczynnik determinacji oblicz się ze wzoru

.

Ponieważ
,
,
, więc

.

Regresja wyjaśnia prawie 97 % zmienności, dopasowanie modelu jest więc bardzo dobre.

W przypadku
skorygowany współczynnik determinacji jest równy współczynnikowi determinacji
.

Przykład 6.2 (Reklama).(kontynuacja przykładu 5.2).

Z wydruku

Statystyki regresji
Wielokrotność R	0,980326
R kwadrat	0,96104
Dopasowany R kwadrat	0,949908
Błąd standardowy	1,91094
Obserwacje	10

odczytujemy

oraz
.

Regresja wyjaśnia 96 % zmienności, dopasowanie modelu jest więc bardzo dobre.

1

4