Rozdział 7

7. ANALIZA TRENDU LINIOWEGO PRZY RÓŻNYCH ZAKRESACH ZMIENNOŚCI ZMIENNEJ CZASOWEJ t

[Przy komputerowym wspomaganiu własnych obliczeń można wykorzystać dane liczbowe zgromadzone w zbiorze RRMELATA]

Dane (w mln PLN) od stycznia do grudnia 1996 roku o łącznych średnich wartościach rynkowych spółek rynku równoległego są następujące (por. "Rynek Giełdowy", 1996 nr 1-4, s. 3 lub tablice 2.2 lub 3.2, Problemy i zadania 2 i 3): 415, 524, 630, 751, 754, 684, 645, 681, 792, 885, 885, 941. Kolejnym miesiącom przyporządkowana jest zmienna czasowa t, która przyjmuje wartości:

a) od 1 do 12, czyli t = 1,2,..., n;

b) od 0 do 11, czyli t = 0,1,..., n - 1;

c) od ujemnych wartości do dodatnich i takich, iż sumują się do zera, czyli

t^* = -5,5; -4,5; -3,5; -2,5; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5, gdzie Σ t^* = 0.

Metodą najmniejszych kwadratów oszacowano parametry strukturalne i stochastyczne liniowego modelu trendu łącznej średniej wartości rynkowej spółek rynku równoległego z kolejnych miesięcy 1996 roku. Obliczono współczynniki determinacji.

Wyniki oszacowań podajemy w tradycyjnie przyjętej formie zapisu:

a) y_t = 37,6469 t + 470,879 + e_t, r²= 0,7845;

[6,2394] [45,920] [74,6117]

b) y_t = 37,6469 t + 508,526 + e_t, r² = 0,7845;

[6,2394] [40,516] [74,6117]

c) y_t = 37,6469 t^* + 715,583 + e_t, r² = 0,7845;

[6,2394] [21,538] [74,6117]

Liniowe funkcje trendu są tu następujące:

a)
= 37,647 t + 470,879, dla t = 1,..., n,

b)
= 37,647 t + 508,526, dla t = 0,1,..., n - 1,

c)
= 37,647 t^* + 715,583, dla takiego t, iż Σ t^* = 0.

Pytanie 7.1. Czy w podanych wyżej funkcjach trendu współczynnik trendu ma jednakową (i jaką?) interpretację?

Tak, współczynnik trendu ma jednakową interpretację we wszystkich trzech funkcjach trendu. Z jego wartości wynika, że w 1996 roku z miesiąca na miesiąc łączna wartość rynkowa spółek rynku równoległego wzrastała przeciętnie o 37,647 mln PLN.

Pytanie 7.2. Czy w podanych wyżej funkcjach trendu wyrazy wolne mają jednakową (i jaką) interpretację?

Nie, wyrazy wolne nie mogą mieć jednakowej interpretacji, bowiem:

a) dla t = 1,..., n mamy:
= ax0 + b = b,

b) dla t = 0,1,... n - 1 mamy:
= ax0 + b = b,

c) dla takiego t^* iż 3 t^* = 0 zapis:
= a t^* + b jest równoważny zapisowi:
= = a t^* +
, czyli: b =
.

Wyjaśnienie warunków, w jakich prawdziwa jest relacja b =
jest następujące:

W n-elementowej próbie realizacja b estymatora
parametru β metody najmniejszych kwadratów jest, jak wiadomo, dana wzorem

b =
- a
dla t = 1,..., n lub też t = 0,1,..., n - 1,

oraz wzorem

b =
- a
dla takiego t^*, iż 3 t^* = 0.

W wyrażeniu: b =
- a
mamy
= 0, czyli b =
.

Powstaje pytanie, jaki jest związek zmiennej czasowej t^* spełniającej warunek 3 t^* = 0 ze zmiennymi czasowymi t o zakresach zmienności t = 1,..., n oraz t = 0,1,..., n - 1?

Dążąc do odpowiedzi na to pytanie wstawiamy do równania trendu liniowego w miejsce realizacji b estymatora
wyrażenie
i otrzymujemy:

= = a t +
, (t = 1,..., n lub też t = 0,1,..., n - 1) czyli
= = a (t -
) +
. Wiadomo, że
(dla t = 1,..., n oraz t = 0,1,..., n - 1), co wynika z własności średniej arytmetycznej, bowiem
. Widzimy zatem, że t^* =
dla t = 1,..., n i t = 0,1,..., n - 1 oraz
= = a t^* +
.

Odpowiadając na zakończenie dokładnie na pytanie 7.2 interpretujemy wyraz wolny pierwszego równania trendu wynoszący 470,879 mln PLN jako teoretyczny, wynikający z czystego trendu, poziom łącznej wartości rynkowej spółek rynku równoległego w miesiącu poprzedzającym pierwszy badany miesiąc, czyli w grudniu 1995 roku.

Wyraz wolny drugiego równania trendu wynoszący 508,526 mln PLN interpretujemy jako teoretyczny, wynikający z czystego trendu, poziom łącznej wartości rynkowej spółek rynku równoległego w pierwszym badanym miesiącu, czyli w styczniu 1996 roku.

Wyraz wolny trzeciego równania trendu wynoszący 715,583 mln PLN jest średnim miesięcznym poziomem łącznej wartości rynkowej spółek rynku równoległego w 1996 roku.

ZADANIE DOMOWE

Zadanie 7.1

Podana niżej tablica 7.1 pozwala oszacować parametry modelu trendu dla t = 1,..., n "ręcznie", bez wspomagania komputerowego:

Tablica robocza 7.1

Miesiące
Styczeń	415	1	1	-5,5	30,25	415	508,526	-93,526	8747,11	-300,58	90350,3
Luty	524	2	4	-4,5	20,25	1048	546,173	-22,173	491,642	-191,58	36704,2
Marzec	630	3	9	-3,5	12,25	1890	583,82	46,18	2132,59	-85,583	7324,5
Kwiecień	751	4	16	-2,5	6,25	3004	621,467	129,533	16778,8	35,4167	1254,34
Maj	754	5	25	-1,5	2,25	3770	659,114	94,886	9003,35	38,4167	1475,84
Czerwiec	684	6	36	-0,5	0,25	4104	696,761	-12,761	162,843	-31,583	997,505
Lipiec	645	7	49	0,5	0,25	4515	734,408	-89,408	7993,79	-70,583	4982
Sierpień	681	8	64	1,5	2,25	5448	772,055	-91,055	8291,01	-34,583	1196
Wrzesień	792	9	81	2,5	6,25	7128	809,702	-17,702	313,361	764167	5839,51
Październik	885	10	100	3,5	12,25	8850	847,349	37,651	1417,6	169,417	28702
Listopad	885	11	121	4,5	20,25	9735	884,996	0,004	1,6E-05	169,417	28702
Grudzień	941	12	144	5,5	30,25	11292	922,643	18,357	336,979	225,417	50812,7
Razem	8587	78	650	0	143	61199	8587,01	-1,40E02	55669,1	0,0004	2,58E+05

Źródło: obliczenia własne.

1) Zaprojektować tablice robocze wspomagające ewentualne własne "ręczne" oszacowania parametrów modeli trendu dla t = 0,1,..., n - 1 oraz dla takiego t^*, iż Σ t^* = 0. Wskazać wspólne oraz różne elementy tablic roboczych.

2) Wskazać wspólne oraz różne wzory niezbędne do obliczeń.

Do odpowiedzi wykorzystać podane niżej wzory:

= a t + b, dla t = 1,..., n.

a = ,

b =

y_t -
a
t,

=

y_t,

e_t = y_t -
, dla t = 1,..., n.

,

s_a = s_e
,

s_b = s_e
,

.

---