Z kolei podstawiając mod (7.16) do równania (7.12) widzimy, że dla danej licz-by falowej k częstość ω musi spełniać warunek

Wynika stąd, że z falą można związać czas charakterystyczny (7.19)

(7.20)

Taki sam czas charakterystyczny jest przypisany procesowi adwekcji, gdyż dla równania (7.13) otrzymujemy

W wyniku podstawienia modu (7.16) do równania dyfuzji (7.15) dostajemy związek dyspersyjny

Częstość kątowa jest urojona, a zatem mod zanika w czasie. Skala czasowa tego zaniku wynosi

(7.21)

*

Zadań opisywanych równaniami różniczkowymi cząstkowymi nie potrafimy w przeważającej większości wypadków rozwiązywać w sposób dokładny. Wynika stąd potrzeba stosowania rozmaitych metod przybliżonych jak np. metody przekształceń całkowych, różnych odmian metod wariacyjnych, metody elementów skończonych, metody elementów brzegowych, metody objętości skończonych i innych. W dalszym ciągu ograniczymy się do omówienia podstaw dosyć często stosowanych metod różnicowych.

Niektóre możliwości zastosowania metod funkcji sklejanych do rozwiązywania zagadnień opisywanych równaniami różniczkowymi cząstkowymi zamieszczone są w monografii [38]. Przy rozwiązywaniu zagadnień opisywanych równaniami różniczkowymi cząstkowymi dużym zainteresowaniem cieszy się również metoda prostych, zajmująca pośrednie miejsce miedzy metodami analitycznymi a metodami czysto numerycznymi. Istota tej metody polega na tym, że pochodne cząstkowe względem wybranych zmiennych niezależnych zastępuje się przybliżającymi je różnicami skończonymi, a pochodne względem pozostałych zmiennych pozostawia bez zmian. W ten sposób dane równanie różniczkowe zostaje zastąpione układem równań zawierających mniejszą liczbę zmiennych niezależnych. W przypadku równań hiperbolicznych i parabolicznych jako zmienną ciągłą pozostawiamy zwykle czas i w ten sposób uzyskujemy zagadnienia początkowe dla układu równań różniczkowych zwyczajnych. Metodę prostych łatwo można przenieść na przypadek większej liczby zmiennych niezależnych oraz równań różniczkowych nieliniowych.

7.2. Wymagania stawiane schematom różnicowym

W rozdziale szóstym omówiliśmy podstawowe zasady na których opierają się metody różnic skończonych, w której funkcje ciągłe są zastępowane zbiorami funkcji dyskretnych. Przedstawimy obecnie wymagania stawiane schematom numerycznym i rozwiązaniom numerycznym, określonym na siatkach czasowo-przestrzennych, w przypadku rozwiązywania zagadnień opisywanych równaniami różniczkowymi cząstkowymi.

Zapiszemy dowolne równanie różniczkowe cząstkowe w postaci

(7.22)

gdzie L jest operatorem różniczkowym liniowym działającym na funkcję niewiadomą f jest funkcją znaną - oraz w podobny sposób warunki graniczne

(7.23)

gdzie B jest operatorem warunków granicznych, a - zbiorem punktów, na którym te warunki są zadane.

W dalszym ciągu będziemy rozważać tylko zagadnienia (7.22) - (7.23) popraw-nie postawione, które mają jednoznaczne ograniczone rozwiązania, zależne w sposób ciągły od danych, tzn., że małe zmiany funkcji f i ϕ powodują małe zmiany rozwiązania. Ponadto zakładamy, że rozwiązanie u tego zagadnienia jest odpowiednio regularne, tzn. ma ciągłe pochodne cząstkowe do określonego rzędu.

Przystępując do sformułowania zadania różnicowego dla zagadnienia (7.22) -(7.23) skonstruujemy najpierw na = siatkę
charakteryzowaną za po-mocą skalara h. Zbiór
nazywać będziemy zbiorem punktów wewnętrznych siatki, zaś - zbiorem punktów brzegowych siatki.

Na tak określonej siatce, wykorzystując zasady rachunku różnicowego, zastępujemy zagadnienie różniczkowe (7.22) - (7.23) zagadnieniem różnicowym dla fun-kcji siatkowej

(7.24)

Zagadnienie różnicowe (7.24) nazywamy zgodnym z zagadnieniem różniczkowym (7.22) - (7.23), jeśli dla każdej funkcji określonej na spełnione są warunki:

(7.25)

gdy h → 0. Oznacza to, że przy h → 0 człony różnicowe, którymi aproksymowane są pochodne tak się przekształcają, że w granicy otrzymujemy wyjściowe równanie różniczkowe.

Drugim pojęciem ściśle związanym z metodą różnic skończonych jest pojęcie zbieżności rozwiązania zagadnienia różnicowego do rozwiązania dokładnego. Rozwiązanie zagadnienia różnicowego nazywamy zbieżnym do rozwiązania dokładnego u, jeśli

(7.26)

gdy h → 0. Pojęcie zbieżności jest całkowicie różne od pojęcia zgodności, gdyż może się zdarzyć, że zagadnienie różnicowe jest zgodne, a jego rozwiązanie nie jest zbieżne do rozwiązania dokładnego.

Zastąpienie zagadnienia różniczkowego zagadnieniem różnicowym spowodowało pojawienie się błędów pierwszego rodzaju: błędów dyskretyzacji. Z błędami drugiego rodzaju: błędami zaokrąglenia powstającymi przy wykonywaniu wielkiej liczby operacji arytmetycznych wiąże się pojęcie stabilności.

Schemat różnicowy określony przez operatory
i
nazywamy stabilnym, jeśli istnieje stała K niezależna od h taka, że

(7.27)

dla wszystkich funkcji siatkowych określonych na
Stabilność schematu jest własnością niezależną od jakiegokolwiek problemu różniczkowego. Gwarantuje ona, że nieuniknionym zaburzeniom prawych stron zadania odpowiadają rozwiązania mało zaburzone - nie występuje narastanie błędów zaokrągleń.

Jeśli nierówność (7.27) jest spełniona dla dowolnego h, to schemat różnicowy nazywamy bezwarunkowo stabilnym, jeżeli natomiast jest spełniona tylko dla pewnych wartości kroku siatki h, to schemat różnicowy nazywamy warunkowo stabilnym.

Sformułujemy teraz twierdzenie o zbieżności, udowodnione przez Laxa [39]:

Jeśli zagadnienie różnicowe (7.24) jest zgodne z zagadnieniem różniczkowym (7.22) - (7.23) oraz schemat różnicowy jest stabilny dla siatki
dla której h jest dostatecznie małe, to rozwiązanie zagadnienia różnicowego jest zbieżne do rozwiązania u zagadnienia różniczkowego. W skróconej formie możemy to twierdzenie wypowiedzieć następująco: ze zgodności i stabilności wynika zbieżność.

Praktyczną metodę badania stabilności schematów numerycznych dla liniowych cząstkowych równań różniczkowych podał von Neumann [39]. W metodzie von Neumanna rozważa się przestrzenny mod Fouriera

(7.28)

przedstawiający rozkład błędu w funkcji zmiennych t i x, spełniającego ten sam schemat numeryczny co niewiadoma funkcja siatkowa

Wprowadzając postać funkcyjną błędu (7.28) do algorytmu różnicowego otrzymujemy w przypadku jednej zmiennej przestrzennej i jednego równania różniczkowego cząstkowego zależność

(7.29)

Z warunku ograniczoności amplitudy błędu dla wszystkich kroków czasowych wynika warunek stabilności

(7.30)

W przypadku układu równań różniczkowych cząstkowych związek między amplitudami modów Fouriera ma postać

gdzie G jest macierzą wzmocnienia dla wybranego modu Fouriera z liczbą falową k.

Von Neumann pokazał [39], że warunkiem koniecznym i dostatecznym stabilności jest, aby wartości własne macierzy G leżały w obszarze koła jednostkowego

Warunek stabilności von Neumanna ma bardzo szerokie zastosowanie i pozwala na wyznaczanie kryteriów stabilności w prosty sposób. Niewiele mówi on jednak o bardziej szczegółowych własnościach, związanych z wybranym schematem różnicowym, a w szczególności, o ważnych własnościach dyspersji i dysypacji - błędów fazy i amplitudy współczynnika wzmocnienia powodujących, że fale o różnych długościach rozchodzą się z różnymi prędkościami. W niezbyt skomplikowanych ma-tematycznie przypadkach możemy otrzymać związek dyspersyjny dla schematu różnicowego

(7.31)

Porównanie związku dyspersyjnego dla schematu różnicowego ze związkiem dyspersyjnym dla odpowiadającego mu układu różniczkowego pozwala na szczegółowe przeanalizowanie przydatności i dokładności schematu różnicowego.

Innymi metodami badania stabilności schematów różnicowych są: metoda dyskretnych zaburzeń i metoda zmodyfikowanych równań różniczkowych [11]. W metodzie dyskretnych zaburzeń wprowadzamy w którymś z węzłów siatki zaburzenie i następnie śledzimy jego rozprzestrzenianie się; schemat jest stabilny, jeśli zaburzenia zanikają. W metodzie zmodyfikowanych równań różniczkowych rozwijamy natomiast wszystkie wielkości występujące w schemacie różnicowym w szeregi Taylora, aby otrzymać równanie różniczkowe cząstkowe; stabilność schematu jest określana z własności stabilności tego równania różniczkowego. Ponadto dla nieliniowych schematów różnicowych powszechnie stosowanym kryterium jest warunek ograniczoności całkowitej wariancji (Total Variation) rozwiązania dyskretnego [40]

Przy konstrukcji zadania różnicowego powinniśmy pamiętać o jego realizacji numerycznej. Należy dążyć do tego, aby sformułowane zadanie różnicowe miało możliwie największy rząd aproksymacji i jednocześnie, żeby liczba operacji arytme tycznych była możliwie najmniejsza. W prostych zagadnieniach z małą liczbą zmiennych można stosować wyrafinowane schematy o wysokim stopniu dokładności, podczas gdy dla układu wielu zmiennych trzeba zwykle poświęcić dokładność z myślą o efektywności. Oprócz tego schematy różnicowe muszą w wielu przypadkach spełniać również i inne własności np. równania różnicowe powinny być zachowawcze, jeśli aproksymują one równania wynikające z zasad zachowania, np. zachowania masy, energii, pędu itd.

432 7. Równania różniczkowe cząstkowe

7.2. Wymagania stawiane schematom różnicowym 429

---