PROJEKTOWANIE BADAŃ i METODY ANALIZY STATYSTYCZNEJ I

Wybrane zagadnienia weryfikacji hipotez statystycznych

Zad. 1

Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Badamy hipotezę 0x01 graphic
wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
. Obszar odrzucenia hipotezy 0x01 graphic
jest wyznaczony nierównością 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i jest ustalone. Obliczyć prawdopodobieństwo błędu I i II rodzaju oraz wyznaczyć moc tego testu.

Zad. 2

Z populacji, w której cecha X ma rozkład normalny 0x01 graphic
wylosowano n-elementową próbę prostą. Wysunięto hipotezę 0x01 graphic
wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
.
Do zweryfikowania tej hipotezy proponuje się test o obszarze krytycznym postaci 0x01 graphic
. Wyznaczyć t, tak aby otrzymać test o prawdopodobieństwie błędu I rodzaju 0,05. Jak liczna powinna być próba losowa, aby prawdopodobieństwo błędu II rodzaju nie było większe niż 0,05.

Zad. 3

Niech 0x01 graphic
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu normalnego 0x01 graphic
. Testujemy hipotezę 0x01 graphic
wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
, przy czym obszar krytyczny testu jest postaci 0x01 graphic
. Wyznaczyć stałą 0x01 graphic
tak, aby poziom istotności 0x01 graphic
. Wyznaczyć funkcję mocy tego testu w zależności od m. Czy test ten jest nieobciążony? Czy test ten jest zgodny?

Zad. 4

Niech 0x01 graphic
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu normalnego0x01 graphic
. Przypuśćmy, że weryfikujemy hipotezę 0x01 graphic
za pomocą testu z obszarem odrzucenia 0x01 graphic
.

Jaka jest moc tego testu przy 0x01 graphic
i 0x01 graphic
?

Zad. 5

Niech X będzie zmienną losową z rozkładu Erlanga o gęstości

0x01 graphic
.

  1. Testujemy hipotezę 0x01 graphic
    wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
    . Dysponując pojedynczą obserwacją, znaleźć test najmocniejszy przy 0x01 graphic
    .

  2. Wyznaczyć moc tego testu.

Zad. 6

Podać końcową postać statystyki 0x01 graphic
używanej do testu ilorazu wiarygodności służącego do testowania hipotezy 0x01 graphic
wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
, jeżeli n-elementowa próba prosta pochodzi z rozkładu wykładniczego o funkcji gęstości 0x01 graphic
.

Zad. 7

Zmienna losowa X ma rozkład Pascala o funkcji prawdopodobieństwa 0x01 graphic

dla 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Z rozkładu tego została wylosowana dwustuelementowa próba prosta, w której zaobserwowano 0x01 graphic
. Przyjmując poziom istotności 0x01 graphic
należy zweryfikować hipotezę 0x01 graphic
wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
.

Zad. 8

Niech 0x01 graphic
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu Poissona o funkcji prawdopodobieństwa 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Rozważmy zagadnienie weryfikacji hipotezy 0x01 graphic
przeciwko 0x01 graphic
. Znaleźć obszar krytyczny testu ilorazu wiarogodności na poziomie istotności 0x01 graphic
, jeśli n jest duże.

Zad. 9

Niech 0x01 graphic
będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu geometrycznego o funkcji prawdopodobieństwa 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Rozważmy zagadnienie weryfikacji hipotezy 0x01 graphic
wobec hipotezy 0x01 graphic
. Znaleźć obszar krytyczny testu ilorazu wiarogodności na poziomie istotności 0x01 graphic
, jeśli n jest duże.

1