Budownictwo rok I	Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego oraz logarytmicznego dekrementu tłumienia wahadła fizycznego	Data: 19.03.2008
Nr ćw. 5

1. Wprowadzenie

Przyspieszeniem ziemskim nazywamy przyspieszenie swobodnie spadającego ciała i oznaczamy „g”. Wartość przyspieszenia nie jest stała, ale zależy od położenia punktu na powierzchni Ziemi. Przyczyną tego jest spłaszczenie kuli ziemskiej i ruch obrotowy Ziemi. Przyspieszenie ziemskie można wyznaczyć (z zadowalającą dokładnością) za pomocą prostego zestawu pomiarowego tzw. wahadła prostego.

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici o długości l. W rzeczywistości występuje tzw. wahadło proste, którego nić jest nieco rozciągliwa i ma pewną masę, a mała kulka najczęściej metalowa zawieszona na tej nici ma skończony wymiar. Wahadłem fizycznym nazywamy natomiast bryłę sztywną mogącą wahać się wokół osi obrotu O nie przechodząc przez środek ciężkości S.

Pokazane na powyższym rysunku wahadło po wychyleniu o kąt α, będzie wykonywać ruch drgający wokół stałego położenia równowagi. Przyczyną tego ruchu jest składowa F₂ siły ciężkości skierowana stycznie do toru ruchu. Siła ta jest równa:

F₂ = -mg sin α

Siła ta nie jest proporcjonalna do α lecz do sin α. Przyjmując, że sin α ≈ α otrzymujemy:

F₂ = -mg α = -mg x/L

Przy tym założeniu, zgodnie z II zasadą dynamiki powyższe równanie przyjmuje postać:

= -kx

Co wskazuje, że wahadło porusza się ruchem harmonicznie prostym (k = mg / L).

Rozwiązaniem różniczkowym powyższego równania jest funkcja:

x (t) = A sin (ωt +

)

gdzie: A - jest amplitudą ruchu, ω - jest pulsacją kołową drgań swobodnych, a
tzw. fazą początkową. Okres drgań T związany bezpośrednio z częstotliwością wynosi:

T=2Π.

Po przekształceniu zależności otrzymujemy:

g= *4Π² .

W przypadku wahadła fizycznego wzór na okres drgań ma postać:

gdzie I₀ - moment bezwzględności bryły względem osi przechodzącej przez punkt zawieszenia O, d - odległość pomiędzy punktem zawieszenia O a środkiem ciężkości S.

Jeśli ruch wahadłowy odbywa się w ośrodku materialnym, to wskutek występowania siły oporu ośrodka zwaną siła tłumienia drgania będą znikać. Siłę to można przedstawić wzorem:

Wielkością charakterystyczną drgania tłumionego jest tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia. Jest to logarytm naturalny stosunku dowolnych dwóch kolejnych amplitud A_n i A_n+1 w chwili t i t+T. Oznaczając logarytmiczny dekrement tłumienia literą D można zapisać:

= βT

Współczynnik oporu środka można natomiast przestawić wzorem:

Tabele pomiarów

Rodzaj kulki	Długość nici [m]	Średnica kulki d [m]	Długość wahadła L=(l+d/2) [m]	Czas trwania ( ) okresów [s]	Okres T [s]	Średnia wartość okresu T [s]	Stosunek L/T^2	Przyspiesz g [m/s^2]

Czas w okresach	T	2T	3T	4T	5T	6T	7T	8T	9T	10T
An [mm]