1.Całka oznaczona Reimanna :

f. ograniczona w [a,b] {Xi}ⁿ_i=1

Δ x_i=x_i-x_i-1 długość przedziału [x_i-1,x_i]

dn= max Δ x_i ,def. Podział a=x₀<x₁<…<x_i-1<x_i<…<x_n=b {Xi}ⁿ_i=1 przedział [a,b] nazywamy przedziałem normalnym, jeżeli lim dn=0

(1)def. Granicę skończone: lim _n→ γ_n= Σⁿ_i=1 f(ξ_i) Δ x_i niezależną od wyboru p. pośrednich ξ_i i dla każdego ciągu podziałów przedz. [a,b], nazywamy całkę oznaczoną Reimanna.

(2) lim _n→ γ _a^b f(x)dx jeżeli istnieje całka(2) oznaczona to mówimy, ze f jest całkowalna w [a,b].

Interpretacja geometryczna całki (2) niech f(x)≥0w[a,b],f(x)>0w(a,b);

D={(x,y):a≤x≤b i 0≤y≤f(x) f. ciągła

Σⁿ_i=1 f(ξ_i) Δ x_i =γ_n jest sumą pól prostokątów o podstawie Δ x_i i wysokości f(ξ_i) i przybliżająca pole obszaru D (3)

(4) │D│= _a^b f(x)dx Pole obszaru zawartego między osią ox krzywą o równaniu y=f(x) i rzędnymi w punktach a i b tzn prostymi x=a i x=b γ_n= Σⁿ_i=1 f(ξ_i) Δ x_i, (1) lim _n→ dn=0= _a^b f(x)dx

2.Twierdzewnia o istnieniu całki w x_n :

(1) Funkcja f ciągła jest całkowalna w [a,b]

(2) Jeżeli funkcja f jest ograniczona w [a,b] i ma skończoną liczbę p. nieciągłości w [a,b] lub nieskończoną, ale zbiór p. nieciągłości da się pokryć sko0ńczoną liczbom odcinków o długości dowolnie małej, to funkcja f jest całkowalna w [a,b]

(3) funkcja f która nie jest ograniczona w [a,b], nie jest w nim całko.

(4) funkcję monotoniczną w [a,b] jest całkowalna

3. Twierdzenie Leibniza-Newtona:

Jeżeli funkcja f jest całkowalna w [a,b] i F jest dowolna f pierwotną funkcji f tzn. F(x)=∫f(x)dx, to _a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

NP: obliczyc pole obszaru D ograniczonego osia ox, krzywą y=x²+4 w przedziale [0,1]. D=_o¹(x²+4)dx= F(b)-F(a)

_o¹(x²+4)dx=│ x³/3+4x _o│¹=1/3+4=41/3

4. Zastosowanie geometryczne całki oznaczonej:

(1) D={(x,y):a≤x≤b,0≤y≤f(x), f(x)>0, x(a,b), f ciągła w [a,b]}

│D│= _a^b f(x)dx

(2) D={(x,y):a≤x≤b, φ(x)≤y≤ψ(x),gdzie φ(x)< ψ(x), x(a,b), φ i ψ są ciągłe}

│D│= _a^b[ψ(x)- φ(x)]dx

Np.: D ograniczony krzywą daną parametrem:

x= φ(t), t [α,β]

y=ψ(t)

x= acost t[0,2π], a >0

y=asint

x²+y²=a²(cos²t=sins²t)

x=x₀=acost

y=y₀+asint => (x-x₀)²+(y-y₀)²=a²

def. (1)γ nazywamy ciągłą, jezeli φ i ψ są ciągłe w [a,b]

(2) γ nazywamy łukiem zwykłym jeżeli nie ma punktów wielokrotnych tzn.  t₁,t₂ (α,β): t₁≠t₂=>(x₁,y₁)≠(x₂,y₂)

(φ(t₁),ψ(t₁))≠(φ(t₂),ψ(t₂))

(3) γ nazywamy łukiem gładkim jeżeli jest łukiem zwykłym φiψ są kl. C¹ w [α,β] i [φ'(t)]²+[ψ'(t)]²>0, t(α,β)

(4) γ nazywamy krzywa gładką, jeżeli da się podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich.

5.Tw. Jeżeli funkcje φiψ są klasy C¹ w [α,β] i ψ(t)>0 w(α,β) i φ'(t)>0 w [α,β], to obszar D ograniczony osią ox, rzędnymi w punktach φ(α) i φ(β) prostymi o x= φ(α), x= φ(β) i krzywą γ ma pole dane wzorem: │D│= _α^β[ψ(x)- φ'(x)]dt

Np. x=a(t-sint) t [0,2π], a>0

y=a(1-sint)

│D│= ₀^2πa(1-cost)a(1-cost)=a² ₀^2π(1-2cost+cos²t)= a²[t ₀│^2π -2sint₀│^2π +₀^2π(1+cos2t)/2dt]= a²[2π+1/2t ₀│^2π+1/2₀^2π cos2t dt]=

a²[2π+π]+ a²/2*sin2t/2 ₀│^2π=3π a²

6. D ograniczony krzywą daną równaniem biegunowym:

R=f(φ),φ[α,β] i promieniami r(α)=f(α), r(β)=f(β)

Δφ_i=φ_i-φ_i-1 ; ΔS_i=pole wycinka koła o promieniu r(φ_i) i odpowiadaΔφ_i

│D│=1/2 _α^βf²(φ) dφ

Np: r=a(1+cosφ)

φ =0=>r=2a; φ= π/2=>r=a; φ=π=>r=0; φ =3/2π=>r=a; φ=2 π=>r=2a

│D│=2*1/2₀^πa²(1+cosφ)²dφ= a²₀^π(1+2cosφ+cos²φ) dφ= a²[φ ₀│^π +2sinφ₀│^π +1/2₀^π(1+cos2φ) dφ=3π a²

7.Długość łuku krzywej gładkiej:

TW. Jeżeli φ jest łukiem gładkim i φ: φ(t) ,ψ(t); t[α,β], to ma długość wyrażoną wzorem: │φ│= _α^β√ [φ'(t)]²+[ψ'(t)]²dt

8.Całka niewłaściwa, punkty osobliwe, zbierzność: Nich f jest określona w [a,b) i niech istnieje _a^βf(x)dx gdy a≤β<b

Def. Punkt b nazywamy p. osobliwym funkcji f, jeżeli

(1)b=∞ (2) b jest skończone, ale f jest w b nieograniczone

Def. Jeżeli istnieje granica: _a^βf(x)dx=(n) _a^bf(x)dx to granicę tą nazywamy całką niewłaściwą z f w [a,b]

Niech f jest określona w (a,b] : _a^bf(x)dx, a≤α<b

Def. Punkt a nazywamy p. osobliwym funkcji f jeżeli (1)a=-∞

(2) a jest skończone ale f jest nieograniczona w a.

Jeżeli istnieje granica: limα→a _→α^bf(x)dx=(n) _a^bf(x)dx to mówimy ze całka (n) _a^bf(x)dx jest zbierzna

Kryterium zbierzności całki niewłaściwej: Jeżeli funkcja f i F spełniają nierówność │f(x)│≤F(x) i p. b jest punktem osobliwym dla x,

f i F, to jeżeli _a^bF(x) dx jest zbierzna to _a^bf(x)dx jest zbierzna i to bezwzględnie.

9.Liczy zespolone: Liczbą zespoloną Z nazywamy parę uporządkowaną (a,b) gdy aR i bR

Dodawanie: Z₁=(a,b), Z₂=(c,d), Z₁+ Z₂=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

Mnożenie: Z₁* Z₂=(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

Dla rzeczywistych:a=(a,0), c=(c,0)

a+c=(a,0)+(c,0)=(a+c,0); a*c=(a,0)*(c,0)=(ac,0)

Dwie liczby zespolone Z₁=(a,b), Z₂=(c,d) są równe ich poprzedniki są równe i ich następniki są równe: Z₁=Z₂a=c i b=d.

Liczba przeciwna do Z₁=(a,b)

(a,b)=(x,y)=(0,0); (a+x,b+y)=(0,0)

a+x=0 => x=-a

b+y=0 y=-b Liczbą przeciwną do (a,b) jest (-a,-b)

Liczba odwrotna do Z=(a,b)≠(0,0)

(a,b)*(x,y)=(1,0) Liczba odwrotna

(ax-by,ay+bx)=(1,0) do Z=(a,b)≠(0,0)

ax-by=1 /*a jest równa

ay+bx=0 /*b 1/Z=( a/a²+b² , -b/a²+b²⁾

x=a/a²+b²

y=-b/a²+b²

10.Postać algebraiczna l. zespolonej: Każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci algebraicznej: Z =(a,b)=a+ib

Z =(a,0)+(0,b)=(a,0)+(0,1)*(b,0)= a+ib

11.Liczba zespolona sprzężona: Liczbą zespoloną sprzężoną do (a,b) nazywamy l . zespoloną o części rzeczywistej równej: a i części urojonej -bi oznaczamy Ž. Ž=(a,-b)=a-ib

12.Postać trygonometryczna liczby zespolonej: Każda liczba zespolona Z=(a,b)≠(0,0) ma postać trygonometryczną:

Z=│Z │(cosφ+isinφ), gdzie

cosφ=a/√ a²+b²

sinφ= b/√a²+b² φ- nazywamy argumentem liczby Z (ArgZ) jeżeli:0≤ φ<2π (-π≤ φ≤π) to φ nazywamy argumentem głównym l. zespolonej argZ=φ,π ArgZ=argZ+2kπ, k

13.Twierdzenie o argumencie liczby zespolonej:

Argument liczby

Jeżeli Z₁≠0 i Z₂≠0 to: argZ₁*Z₂= argZ₁+ argZ₂

Argument ilorazu

Jeżeli Z₁≠0 i Z₂≠0 to: arg Z₁/Z₂= argZ₁- argZ₂

Tw: Jeżeli Z≠0 i k, to : argZ^k =kargZ

14.wzór de Maivre'a:

Z=cosφ+isinφ Z≠

Z^k=(cosφ+isinφ)^k k

argZ^k =kargZ=k*φ

[cosφ+isinφ]^k =cosφ+isinφ k

Jeżeli Z≠, to istnieje dokładnie n pierwiastków algebraicznych stopnia n-tego z liczby Z=│Z₁│(cosφ+isinφ), czyli rozwiązania równania danych wzorem Wⁿ=Z

W_k=ⁿ√│Z │[cos (φ+2kπ/n)+isin(φ+2kπ/n)] k=1,2,3…,n-1

W=│W│(cos φ+isinφ) W₀,W₁,…,W_n-1 W_k=ⁿ√Z

Dwie liczby zespolone w post. tryg. są różne i ich argumenty są równe lub różnią się co najwyżej o całkowitą wielokrotność 2π

15.Macierze i Wyznaczniki:

A: (i,k)→a_ik R

i=1,…,n- wskaźnik wiersza

k=1,2,…,n- wskaźnik kolumny

A=[a_ik]m_xn

A w której a_ik=0 nazywamy macierzą zerową 0=[0]=[a_ik]

Jeżeli m=n to macierz A nazywamy macierzą kwadratową stopnia n.

Dwie macierze nazywamy równymi, jeżeli mają te same wymiary i ich elementy o tych samych wskaźnikach.

A=[a_ik]m_xn , B=[b_ik]m_xn, a_ik= b_ik

Działania na macierzach:

U- zbiór macierzy o wymiarach m_xn Am_xnU, Bm_xnU, Cm_xnU

Dodawanie: A+B=[a_ik]+[b_ik]=:[ a_ik+b_ik]

Mnożenie przez liczbe:α*A=α[a_ik]=:[α*a_ik]

16.Macierz jednowierszowa (wektor): Iloczyn skalarny wekt. x≠0, y≠0 nazywamy liczbą x°y=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n Jeżeli jeden z wektorów jest równy 0 to iloczyn skalarny jest 0

Bierzemy układ wektorów: x¹,x²,…,x^k; zRⁿ; α₁,α₂,…,α_kR liczbyR

Def.α₁ x¹+ α₂ x²+…+ α_k x^k- nazywamy kombinacją liniową wektorów

Def. Układ wektorów x¹,x²,…,x^k nazywamy liniowi niezależnymi Rⁿ

Jeżeli z tego ze α₁ x¹+ α₂ x²+…+ α_k x^k=0 wynika ze x₁=0 i x₂=0 i x_k=0

Def. Układ wektorów x¹,x²,…,x^k nazywamy liniowo zbieżnymi w Rⁿ

Jeżeli istnieje nieznany układ α₁,α₂,.,α_k także ze:α₁x¹+α₂x²+…+α_kx^k=0

Warunek konieczny i wystarczający: na to aby układ wektorów x¹,x²,…,x^k był liniowo zależny w Rⁿ jest aby jeden z wektorów był kombinacją liniową wektorów pozostałych

Z W.K. x¹,…,x^k jest liniowo zależny  α₁,…,α_k niezerowy α_k≠0

T. jeden z wektorów (np. x^k) jest kombinacją liniową pozostałych wekt. x^k=β₁x¹+…+ β_k-1x^k-1(teza)

W.W.Z. x^k=β₁x¹+…+ β_k-1x^k-1

jest x^k komb. lin. Pozostałych

T.  niezerowy układ α₁,.,α_k, ze β₁x¹+…+ β_k-1x^k-1- x^k=0

 α₁= β₁,…, α_k-1= β_k-1 , α_k=-1 - niezerowy układ

17.Iloczyn macierzy W.K.: na to aby wymnożyć macierz A przez macierz B jest aby liczba kolumn macierzy A była równa liczbie wierszy macierzy B.

18.Wyznacznik Macierzy (permutacja):Wyznacznik macierzy stopnia n-tego A=[a_ik]m_xn E={1,2,…,n}

Def. Każde różnowartościowe odwzorowanie zbioru n-elementowego na siebie nazywamy permutacją

(1,2,…,n)- permutacja zerowa jest n! permutacji zbioru n-elem.

Def. Dwa elementy tworzą permutację inwersję jeżeli występują w kolejności różnej od permutacji zerowej.

Def. Permutację nazywamy parzystą (nieparzystą) jeżeli jest zerowa lub liczba inwersji w tej permutacji jest parzysta (nieparzysta).

Def. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej st.-n nazywamy liczbę

│A│=:∑(-1)^I _{(α1,α2,.,αn)} a₁α₁* a₂α₂*…* a_iα_i*…* a_nα_n

I- liczba inwersji w (α₁,α₂,.,α_n) Suma po wszystkich możliwych permutacjach (α₁,α₂,.,α_n) Składników jest n!

19. Własności wyznacznika:

(1)Jeżeli w wyzn. wiersz (kolumna) składa się z samych 0=> │A│=0.

(2)Jeżeli przestawimy 2 wiersze (kolumny) to wyzn. zmieni znak na przeciwny.

(3)Jeżeli dwa wiersze (kolumny) są identyczne to wyzn. jest równy 0.

(4)Jeżeli jeden wiersz (kolumne) pomnożymy przez liczbę β, to cały wyzn. mnożymy przez β.

(5)Jeżeli 2 wiersze (kolumny) są proporcjonalne=> wyznacznik jest równy 0.

(6)Jeżeli i-ty wiersz (kolumna) jest suma a_iα_i+c_iα_i, to wyznacznik jest równy sumie wyzn. o wierszach a_iα_i i c_iα_i.

(7)Jeżeli do pewnego wiersza (kolumny) dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy (kolumn), to wyzn. nie zmieni swojej wartości.

20. Twierdzenie Laplace'a:

│A│=:∑(-1)^I _{(α1,α2,.,αn)} a₁α₁* a₂α₂*…* a_iα_i*…* a_nα_n

Def. M_ik- nazywamy minorem macierzy A=[a_ik]m_xn odpowiadającemu elem. a_ik, jeżeli powstaje z wyznacznika macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i k-tej kolumny.

Def. A_ik=(-1)^i+kM_ik nazywamy dopełnieniem algebra. a_ik

T. Laplace'a : │A│=∑ⁿ_i=1a_ikA_ik=∑ⁿ_k=1a_ikA_ik

21.Twierdzenie Couchyego (macierz odwrotna):

Det(A*B)=detA*detB A,B- st. n-tego

Macierz odwrotna do Am_xn, której│A│≠0

Def. Macierz st. N-tego o wyznaczniku ≠0 nazywamy macierzą nieosobliwą

Def. Macierzą odwrotnej A^-1 do macierzy nieosobliwej A st. n-tego

A* A^-1=I i A^-1*A=I

Wzór na macierz odwrotną: A^-1=[A_ik]^T/detA

Własności macierzy odwrotnej: A,B- nieosobliwe

1). (A*B)^-1=B^-1*A^-1

2). ( A^-1)^-1=A

3). (A^T)^-1=(A^-1)^T

4). det(A^-1)=1/detA

5). (A*B)^T= A^T*B^T

22.Układ Cramera: Układ równań algebraicznych liniowych

(*) a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

…………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

Układ (*) nazywamy układem n równań algebraicznych liniowych o n niewiadomych x₁+x₂+…+x_n ; b₁,b₂,…,b_m -wyrazy wolne

Układ nazywamy jednorodnym, jeżeli bi=0 (i=1,…,m)w przeciwnym

razie układ nazywamy niejednorodnym.

Układ Cramera: Def. Układem Cramera nazyw. układ (*), w którym m=n i detA≠0

Tw. Cramera: Układ n równan o n niewiadomych i detA≠0 ma dokładnie 1 rozw. dane wzorem:

x_k= W_k/det gdzie W_k jest wyznacznikiem macierzy A, w którym k-tą kolumnę zastąpiono kolumną wyrazów wolnych

Def. Rządem macierzy Am_xn nazywamy maksymalną liczbę kolumn (wierszy) liniowo niezależnych macierzy A

23.Definicja wyznacznikowa: Mówimy, że rząd macierzy Am_xn jest równy n, jeżeli istnieje wyznacznik M stopnia n, zbudowany z wierszy i kolumn macierzy A rózny od 0, a każdy wyznacznik stopnia wyższego zbudowany z M przez dodanie kolumn i wierszy macierzy A jest równy 0

24. Twierdzenie Kronecka-Copellego:

(*) a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1rx_r+…+ a_inx_n =b₁

…………………………………..

a_r1x_nx₂+…+a_{r r}x_r+…+a_rnx_n=b_r

……………………………………

a_in1x₁+a_n2x₂+…+ a_nrx_r+…+a_mnx_n=b_m

A= [a_ik]-macierz współczynników układu (*)

B= a₁₁ a₁₂ … a_1n1 b₁

a_n1 a_n2 … a_mn b_m

Tw. Wkn na to aby układ m równań o n niewiadomych miał rozwiązanie x₁,x₂,…,x_n ,jest aby rząd macierzy współczynników był równy rzędowi macierzy uzupełnionych kolumn wyr, wolnych.

rzA: rzB

r=rzA→r kolumn l. niezal. jest w A =>

r=rzA→r kolumn l. niezal. jest w A

=>x₁,x₂,…,x_n: a¹x₁+a²x₂+…+a^rx_r+ a^r+1x_r+1+…+aⁿx_n =b

a¹,…,a^r - l. rzecz. => a^r+1,…, aⁿ są kombinacją liniową a¹,…,a^r

b- też jest kombinacją liniową a¹,…,a^r

(1) rzA=rzB=r układ ma rozwiązanie:

(a) r=n ;

I).m≥n ; m=n=r=>układ cromera n równań o n niewiadomych i detAm_xn≠0, ma dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony)

II).m>n=r n równań tworzy układ cramera pozostałe równania są kombinacją liniową równań n=r

(b)r<n≤m=>rozw. Zalerzy od n. r parametrów układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony)

(2) rzA≠rzB=> układ nie ma rozwiązania (układ sprzeczny)

25.Iloczyn skalarny: (1) v‾ °ū =:│v‾│*│ū│cos<(v‾, ū)

ū =(u₁,u₂,u₃); v‾=(v₁,v₂,v₃);

(2) v‾ °ū = v₁u₁+v₂u₂+v₃u₃ Jeżeli v‾=0 lub ū=0 => v‾ °ū=0

Iloczyn skalarny wektorów niezerowych jest równy zero jeżeli cos<(v‾, ū)=0 wektory v‾ i ū są ┴

26.Iloczyn wektorowy wektorów ả i b‾:

ả=(a_x,a_y,a_z)≠0 ; b‾=( b_x,b_y,b_z)

def. iloczynem wektorowym ả^xb‾ wekt ả przez b‾ nazywamy wektor ĉ

(1)długość │ả^xb‾│=│ả││b‾│sin<(ả,b‾) (2)kierunku ĉ┴ả i ĉ┴b‾

(3)zwrocie ả, b‾,ĉ- jest równoległa z przyjętym układem

Własności iloczynu wektorowego:

(1) ả^xb‾=-b‾^xả

(2)( ả+ b‾)^xĉ= ả^xĉ‾+b‾^xĉ

(3)(αả) ^xb‾=α(ả^xb‾)=ả^x(αb‾)

Uzup. def. Jeżeli ả=0 lub b‾=0 to ả^xb‾=0

Iloczyn wektorowy wektorów nie zerowych jest równy wektorowi zerowemu jeżeli wektory ả i b‾ są równoległe ả׀׀b‾ sin<(ả,b‾)=0

27.Interpretacja geometryczna długości iloczynu wektorowego:

ả^xb‾=│ả│*│b‾│*sin<(ả,b‾)

P□=│ả│*│b‾│*sinφ

h/│b‾│= sinφ

h=│b‾│*sinφ

Długość iloczynu wekt. Jest równa polu równoległoboku zbudowanego na wektorach ả i b‾.

28. Iloczyn mieszany ả,b‾,ĉ niezerowe wektory:

│ả^xb‾│°ĉ=│ả^xb‾│°│ĉ│cos<(a^xb,c)= │ả│*│b‾│*sin<(a,b)°│ĉ│cos<(a^xb,c)

29. Płaszczyzna π prostopadła do wektora V i P₀π

P₀(x₀,y₀,z₀), P(x,y,z)

PπV┴ P₀P V°P₀P=0a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0

P₀P=(x-x₀,y-y₀,z-z₀) ; V┴ P₀P

a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0

Założenie V=(a,b,c)≠0; V┴ π, P₀π

30.Wzajemne położenie płaszczyzn:

π: ax+by+cz+d=0, (a,b,c)≠(0,0,0),π┴( a,b,c)

π₁: a₁x+b₁y+c₁z+d₁=0, (a,b,c)≠(0,0,0),π┴( a₁,b₁,c₁)

(1) π₁‖π=>(a,b,c)‖( a₁,b₁,c₁)rz a b c =1

a b c d a₁ b₁ c₁

a)rz a₁ b₁ c₁ d₁ =1 => płaszczyzny pokrywają sie π₁=π

b) a b c d =2 => π₁ i π≠0 (płaszczyzny równoległe

a₁ b₁ c₁ d₁ nie przecinają się)

(2) π₁‖π rz a b c =2=rz a b c d =>nieskończenie

a₁ b₁ c₁ a₁ b₁ c₁ d₁

wiele rozw. układ zależny od 1 parametru

1.Całka oznaczona Reimanna

2.Twierdzewnia o istnieniu całki w x_n

3. Twierdzenie Leibniza-Newtona

4. Zastosowanie geometryczne całki oznaczonej

5.Tw. Jeżeli funkcje φiψ są klasy C¹

6. D ograniczony krzywą daną równaniem biegunowym

7.Długość łuku krzywej gładkiej

8.Całka niewłaściwa, punkty osobliwe, zbierzność

9.Liczy zespolone

10.Postać algebraiczna l. zespolonej

11.Liczba zespolona sprzężona

12.Postać trygonometryczna liczby zespolonej

13.Twierdzenie o argumencie liczby zespolonej

14.wzór de Maivre'a

15.Macierze i Wyznaczniki

16.Macierz jednowierszowa (wektor)

17.Iloczyn macierzy W.K.

18.Wyznacznik Macierzy (permutacja)

19. Własności wyznacznika

20. Twierdzenie Laplace'a

21.Twierdzenie Couchyego (macierz odwrotna)

22.Układ Cramera

23.Definicja wyznacznikowa

24. Twierdzenie Kronecka-Copellego

25.Iloczyn skalarny

26.Iloczyn wektorowy wektorów ả i b‾

27.Interpretacja geometryczna długości iloczynu wekt.

28. Iloczyn mieszany ả,b‾,ĉ niezerowe wektory

29. Płaszczyzna π prostopadła do wektora V i P₀π

30.Wzajemne położenie płaszczyzn

---