nr ćwicz. 303	Data 03.06. 1998	Tomasz Tritt	Wydział Elektryczny	Semestr II	grupa E10 nr lab. 5
Prowadzący dr Wanda Polewska					przygotowanie	wykonanie	ocena ostatecz.

Temat: Wyznaczanie ogniskowych soczewek ze wzoru soczewkowego oraz metodą Bessela.

Wprowadzenie

Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone dwoma powierzchniami sferycznymi. Oś łączącą środki krzywizny obu powierzchni nazywamy osią optyczną soczewki. Światło przechodzące przez soczewkę ulega kolejno załamaniu na obu jej powierzchniach. Promień przechodzący przez środek optyczny soczewki nie ulega załamaniu niezależnie od kąta padania na soczewkę. Wiązka promieni biegnąca równolegle do do osi optycznej skupia się w jednym punkcie, zwanym ogniskiem. Odległość ogniska od środka soczewki nazywamy ogniskową.

Dobierając odpowiednio promienie krzywizn buduje się soczewki skupiające i rozpraszające. Wiązka równoległa, padająca na soczewkę rozpraszającą staje się po przejściu przez nią wiązką rozbieżną. W tym przypadku ogniskiem jest punkt przecięcia się przedłużeń promieni załamanych.

Położenie ogniska zależne jest od współczynnika załamania n materiału soczewki względem ośrodka, w którym się znajduje, oraz od promieni krzywizn obu powierzchni ograniczających R1 i R2. Zależność ogniskowej f od powyższych parametrów określona jest równaniem:

(1)

Soczewki mają zdolność odwzorowywania punktów polegającą na tym, że promienie wybiegające z punktu P, zwanego przedmiotem, zostają skupione po przejściu przez soczewkę w punkcie O tworząc obraz przedmiotu. Położenie obrazu zależy od położenia przedmiotu oraz od ogniskowej soczewki - określone jest tzw. równaniem soczewkowym:

, (2)

gdzie: p - odległość przedmiotu od soczewki,

o - odległość obrazu od soczewki.

Równanie (2) może być stosowane w przypadkach, gdy:

(a) promienie wybiegające z P tworzą niewielki kąt z osią optyczną;

(b) soczewka jest cienka, tzn jej grubość jest mała w porównaniu z promieniami krzywizny.

W stosunku do odległości p, o, R1, R2 oraz f istnieje umowa określająca ich znaki:

(a) p jest zawsze dodatnie,

(b) o, R, f są dodatnie, gdy leżą po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot,

(c) o, R i f są ujemne, gdy leżą po tej samej stronie co przedmiot.

Metody znajdowania ogniskowych.

Na podstawie wzoru soczewkowego. Odległości p i o występujące we wzorze (2) są łatwo mierzalne, dzięki czemu wzór ten możemy wykorzystać do wyznaczenia ogniskowej f. Na ławie optycznej umieszczamy świecący przedmiot, soczewkę oraz ekran w ten sposób, aby na ekranie otrzymać wyraźny obraz przedmiotu. Ekran i soczewka umieszczone są na wózkach, co umożliwia ich przesuwanie wzdłuż ławy. Wskaźnik wózka przesuwający się względem podziałki naniesionej na ławie wyznacz dokładnie położenie wózka lub soczewki.

Ponieważ oszacowanie ostrości obrazu jest połączone z dużą niepewnością, ustawienie wózka powtarzamy kilkakrotnie, notujemy za każdym razem położenie wózka, po czym obliczamy wartość średnią.

Znając odpowiednie położenia obliczamy odległości przedmiotu i obrazu, a następnie z równania (2) znajdujemy ogniskową.

Opisana metoda nie może być stosowana bezpośrednio do soczewek rozpraszających, gdyż nie dają one obrazu rzeczywistego. Możemy jednak obliczyć ogniskową układu złożonego z badanej soczewki rozpraszającej i soczewki skupiającej. Mając ogniskową układu f oraz ogniskową fs soczewki skupiającej, znajdujemy ogniskową fr soczewki rozpraszającej z równania:

(3).

Przy stosowaniu tej metody należy pamiętać, że obraz rzeczywisty uzyskamy wtedy, gdy spełniony będzie warunek
oraz, że ogniskowa soczewki rozpraszającej jest ujemna.

metoda bessela. Odległości obrazu i przedmiotu występują w równaniu (2) w postaci symetrycznej, tzn. że po zamianie ich wartości równanie pozostaje w dalszym ciągu prawdziwe. Fizyczną konsekwencją symetrii równania soczewkowego jest możliwość uzyskania ostrego obrazu przy dwóch położeniach soczewki względem przedmiotu.

Przy stałej odległości l przedmiotu od ekranu obraz powstaje w odległości o oraz o' = p od soczewki (rysunek). Przy jednym położeniu obraz jest pomniejszony, a przy drugim powiększony w stosunku do przedmiotu.

Na podstawie rysunku możemy napisać układ równań

o + p = l

o - p = e.

Z powyższych równań wyliczamy p oraz o i następnie wstawiamy do równania (2), otrzymując po prostych przekształceniach

(4).

Aby wyznaczyć ogniskową soczewki lub układu soczewek z równania (4) należy zmierzyć odległość przedmiotu od ekranu l odległość e między dwoma położeniami soczewki, przy których obraz na ekranie jest ostry.

Pomiary i obliczenia

Do obliczenia ogniskowych soczewek wykorzystane zostały w opracowaniu następujące wzory:

(1)(metoda tradycyjna - z wzoru soczewkowego)

(2)(metoda Bessela)

(3)(dla soczewek rozpraszających).

Wartości średnich arytmetycznych soczewek i odchyłek obliczyłem za pomocą programu pana S. Szuby. Wartość odchyłki standardowej (n-1) odpowiada wartości odchyłki standardowej średniej arytmetycznej pomnożonej przez współczynnik Studenta - Fishera.

Soczewka nr 1

p [m]	o [m]		l [m]	e [m]		[m]	[m]
0,285	0,3		0,65	0,135		0,146154	0,15549
0,2	0,545		0,8	0,42		0,146309	0,144875
0,4	0,23		0,9	0,53		0,146032	0,146972

Wartość średnia
dla soczewki nr 1 wynosi 0,14617 m, natomiast wartość średnia
wynosi 0,00013883.

Wartość średnia
dla soczewki nr 1 wynosi 0,14911 m, natomiast wartość średnia
wynosi 0,0056219.

Wartość ogniskowej soczewki nr 1 wynosi więc odpowiednio:

Soczewka nr 3

p [m]	o [m]		l [m]	e [m]		[m]	[m]
0,3	0,567		0,99	0,45		0,196194	0,196364
0,4	0,38		0,9	0,315		0,194872	0,197438
0,5	0,325		0,8	0,115		0,19697	0,195867

Wartość średnia
dla soczewki nr 3 wynosi 0,19601 m, natomiast wartość średnia
wynosi 0,0010608.

Wartość średnia
dla soczewki nr 3 wynosi 0,19656 m, natomiast wartość średnia
wynosi 0,00080297.

Wartość ogniskowej soczewki nr 3 wynosi więc odpowiednio:

Soczewka nr 4

p [m]	o [m]		l [m]	e [m]		[m]	[m]
0,1	0,1		0,3	0,167		0,05	0,051759
0,15	0,07		0,4	0,275		0,047727	0,052734

Wartość średnia
dla soczewki nr 4 wynosi 0,048864 m, natomiast wartość średnia
wynosi 0,0016073.

Wartość średnia
dla soczewki nr 4 wynosi 0,052247 m, natomiast wartość średnia
wynosi 0,00068943.

Wartość ogniskowej soczewki nr 4 wynosi więc odpowiednio:

UWAGA:

Ogniskowe soczewki nr 5 obliczono stosując układ soczewek. Oznaczenia:

-
,
- ogniskowe układu soczewek wyznaczone odpowiednio: metodą Bessela i ze wzoru soczewkowego;

-
,,
- ogniskowe soczewek rozpraszających wchodzących w skład układu soczewek;

-
,
,
,
- odpowiednie błędy.

Układ soczewek nr 5 + nr 4

Aby wyznaczyć ogniskową tej soczewki wykorzystano układ soczewek, tj. soczewki: 5 + 4. Odległość pomiędzy soczewkami wynosiła 1 cm.

p [m]	o [m]	l [m]	e [m]	[m]	[m]	[m]	[m]
0,2	0,105	0,37	0,169	0,073202	-0,11689	0,068852	-0,13387
0,3	0,09	0,33	0,11	0,073333	-0,11647	0,069231	-0,1321
0,15	0,15	0,35	0,136	0,074289	-0,11355	0,075	-0,11152

Wartość średnia
dla układu soczewek nr 4 i 5 wynosi 0,071028 m, natomiast wartość średnia
wynosi 0,0034454.

Wartość średnia
dla układu soczewek nr 4 i 5 wynosi 0,07,3608 m, natomiast wartość średnia
wynosi 0,00059339.

Wartość ogniskowej soczewki nr 4 wynosi więc odpowiednio:

Wartość średnia
dla soczewki nr 5 wynosi -0,12583 m, natomiast wartość średnia
wynosi 0,012424.

Wartość średnia
dla soczewki nr 5 wynosi -0,11564 m, natomiast wartość średnia
wynosi 0,018193.

Wartość ogniskowej soczewki nr 5 wynosi więc odpowiednio:

Przykładowe obliczenia:

Pozostałe wartości przedstawione w tabelach zostały obliczone w podobny sposób.

Wnioski:

Przy obliczaniu ogniskowej pojedynczych soczewek błędy popełniane przy stosowaniu metody wykorzystującej wzór soczewkowy, jak i metody Bessela są podobne i niewielkie. Dla układu soczewek natomiast można zauważyć, iż błędy popełniane przy metodzie Bessela są około 10 - razy mniejszy niż przy równaniu soczewkowym. Metoda Bessela jest więc metodą dokładniejszą. Wynika to z faktu, iż w metodzie Bessela nie zachodzi potrzeba dokładnego określenia położenia soczewki, ponieważ różnica położeń soczewki jest równa różnicy położeń dowolnego wskaźnika związanego z wózkiem.

5

---