ZADANIA Z ALGEBRY (na 28-go marca)

1. Proszę udowodnić, że komplet pierwiastków n-go stopnia z liczby 1 jest grupą względem mnożenia liczb zespolonych.

Czy podobny komplet pierwiastków z liczby
jest grupą wzgledem mnożenia?

2. Korzystając ze znanych twierdzeń o wyznacznikach, proszę pokazać, że następujące wyznaczniki mają wartości takie, jak podano (pionowe kreski oznaczają wyznacznik):

,
(ten wyznacznik proszę obliczyć samodzielnie).

3. Proszę przypomniec sobie rozwinięcie Laplace'a i tą metodą obliczyć wyznacznik z macierzy:
.

4. Proszę zbadać poniższe dwie macierze i w miarę możliwości obliczyć macierze odwrotne.

(a) (b)
. W jaki sposób można sprawdzić poprawność wyników?

5. Proszę pokazać, że dla iloczynu nieosobliwych (czyli posiadających odwrotne) macierzy kwadratowych i zachodzi:

6. Proszę pokazać, że komplet nieosobliwych macierzy kwadratowych danego stopnia stanowi grupę względem mnożenia macierzy.

7. Proszę sprawdzić, dla jakich wartości parametru
układy równań

a.
b.

są układami Cramera? Proszę rozwiązać je dla tych wartości parametru
.

8. Sformułowanie „macierze A i B komutują" oznacza, że AB = BA.

Proszę pokazać, że jeżeli kwadratowa macierz A, o rozmiarach nxn, ma komutować ze wszystkimi kwadratowymi macierzami B tego samego stopnia, to macierz A może być tylko wielokrotnością macierzy jednostkowej.

W: W roli macierzy B warto rozważyć macierze kwadratowe
składające się z jedynki i poza tym z samych zer. Wskaźniki (i,j) pokazują, w którym miejscu w danej macierzy
znajduje się jedynka. Jest oczywiście
takich macierzy, gdzie
oznacza stopień wszystkich rozważanych macierzy.

Należy zauważyć, że każdą macierz B o elementach
można zapisać jako sumę:
, z czego wynika, że nasze założenie:

AB = BA (dla każdej kwadratowej macierzy B o rozmiarach nxn)

można przełożyć na założenie

dla każdej macierzy
.

Przepis na element
macierzy
jest oczywiście taki:

, gdzie
jest elementem
macierzy jednostkowej.

Zadanie jest trudne - proszę korzystać z konsultacji.

W: przedostatnią kolumną

przekształacamy

kolumnę ostatnią itd.

W: Pierwszą kolumną przekształcamy drugą itd.