Radosław Mikuła
Politechnika Wrocławska - Instytut Fizyki
Wydział: EKA
Sprawozdanie z ćwiczenia nr 78.
TEMAT: Wyznaczanie długości fali świetlnej
za pomocą siatki dyfrakcyjnej
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie stałej siatki dyfrakcyjnej oraz pomiar długości fali świetlnej przepuszczanej przez filtr interferencyjny.
2. Zestaw przyrządów:
siatki dyfrakcyjne,
filtry interferencyjne,
spekol z zasilaczem,
oświetlacz z zasilaczem,
obrazowód,
ekran że skalą i otworem,
ława optyczna z podziałką.
3. Wstęp teoretyczny
Spójna wiązka światła przechodząc przez dwie jednakowe szczeliny ulega na nich ugięciu, dając po przejściu przez szczelinę dwie fale spójne interferujące ze sobą. W wyniku interferencji otrzymuje się na ekranie umieszczonym w pewnej odległości za szczelinami jasne i ciemne prążki interferencyjne.
Siatka dyfrakcyjna jest powieleniem doświadczenia z dwiema szczelinami. Zasadnicza różnica polega na tym, że zamiast dwóch znajduje się znacznie więcej jednakowych, równoległych szczelin.
W wyniku powiększenia liczby szczelin w widmie dyfrakcyjnym na ekranie po obu stronach środkowego maksimum rzędu zerowego, maksima boczne stają się coraz węższe i jaśniejsze. Jest to związane z tym, że coraz większa liczba promieni bierze udział w interferencji. Zjawisko to nazywa się interferencją wielopromieniową.
Niech fala świetlna pada na siatkę dyfrakcyjną. Ze środka każdej szczeliny prowadzimy normalną do promienia ugiętego na sąsiedniej szczelinie. Jeżeli d jest odległością między środkami każdej pary dwóch sąsiednich szczelin, Q - kątem, jaki tworzy kierunek promienia ugiętego z normalną do powierzchni siatki, D - różnicą dróg między dwoma ugiętymi sąsiednimi promieniami, to tak jak w przypadku interferencji na dwóch szczelinach
Fale przechodzące przez szczeliny będą w fazie i będą się wzmacniać wszędzie tam, gdzie
przy czym k = 0, 1, 2 - rząd widma, - długość fali świetlnej. Wobec tego położenie maksimów dane jest przez .
Jest to równanie siatki dyfrakcyjnej.
4. Schemat układu pomiarowego
5. Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej
Aby wyznaczyć stałą siatki dyfrakcyjnej, należy wiązkę światła monochromatycznego skierować prostopadle na siatkę dyfrakcyjną.
Na ekranie po lewej i prawej stronie centralnej obserwuje się plamki I i II rzędu dyfrakcji. Mierząc odległość na ekranie od środka plamki centralnej do środka plamki I i II rzędu dyfrakcji, wyznaczamy kąt ugięcia z zależności
gdzie:
L - odległość pomiędzy ekranem a siatką dyfrakcyjną,
lk, pk - odległości plamek I i II rzędu od plamki centralnej,
Następnie z równania siatki dyfrakcyjnej, można wyznaczyć stałą siatki dyfrakcyjnej
gdzie:
k - rząd plamki,
λ - znana długośc fali.
rząd |
λ |
Δλ |
L |
ΔL |
l0 |
l1 |
Δl1 |
p0 |
p1 |
Δp1 |
sinΘ |
d |
δd |
Δd |
- |
[nm] |
[nm] |
[m] |
[m] |
[cm] |
[cm] |
[cm] |
[cm] |
[cm] |
[cm] |
- |
[nm] |
[%] |
[nm] |
|
643 |
1 |
0.45 |
0.002 |
19.2 |
5.8 |
0.04 |
31.0 |
6.0 |
-0.06 |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
19.2 |
5.8 |
0.04 |
30.9 |
5.9 |
0.04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19.1 |
5.9 |
-0.06 |
30.9 |
5.9 |
0.04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
śr |
19.17 |
5.84 |
0.05 |
30.94 |
5.94 |
0.05 |
0.1298 |
4954 |
1.25 |
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.8 |
12.2 |
0.04 |
37.2 |
12.2 |
0.04 |
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
12.7 |
12.3 |
-0.06 |
37.2 |
12.2 |
0.04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.8 |
12.2 |
0.04 |
37.1 |
12.3 |
-0.06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
śr |
12.77 |
12.24 |
0.05 |
37.17 |
12.24 |
0.05 |
0.2625 |
4899 |
0.69 |
34 |
|
550 |
1 |
0.45 |
0.002 |
20.0 |
5.0 |
-0.03 |
30.2 |
5.2 |
0 |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
20.0 |
5.0 |
-0.03 |
30.2 |
5.2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.1 |
4.9 |
0.07 |
30.2 |
5.2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
śr |
20.04 |
4.97 |
0.05 |
30.2 |
5.2 |
0 |
0.1123 |
4898 |
1.43 |
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.7 |
10.3 |
0.04 |
35.4 |
10.4 |
-0.03 |
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
14.7 |
10.3 |
0.04 |
35.3 |
10.3 |
0.07 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.6 |
10.4 |
-0.06 |
35.4 |
10.4 |
-0.03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
śr |
14.67 |
10.34 |
0.05 |
35.37 |
10.37 |
0.05 |
0.2243 |
4904 |
0.82 |
40 |
|
440 |
1 |
0.45 |
0.002 |
21.0 |
4.0 |
0.1 |
29.0 |
4.0 |
0 |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
20.8 |
4.2 |
-0.1 |
29.0 |
4.0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.9 |
4.1 |
0 |
29.0 |
4.0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
śr |
20.9 |
4.1 |
0.07 |
29.0 |
4.0 |
0 |
0.0897 |
4905 |
1.83 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17.0 |
8.0 |
0.1 |
32.9 |
7.9 |
0.27 |
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
16.9 |
8.1 |
0 |
33.0 |
8.0 |
0.17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.8 |
8.2 |
-0.1 |
33.6 |
8.6 |
-0.43 |
0.1779 |
4947 |
1.01 |
50 |
|
|
|
|
śr |
16.9 |
8.1 |
0.07 |
33.17 |
8.17 |
0.29 |
|
|
|
|
Zestawienie wyników:
|
d |
Δd |
|
[nm] |
[nm] |
I |
4954 |
62 |
II |
4899 |
34 |
I |
4898 |
70 |
II |
4904 |
40 |
I |
4905 |
90 |
II |
4947 |
50 |
średnia |
4917.8 |
57.7 |
Błedy bezwzględne zostały policzone metodą różniczki zupełnej. Ponieważ średnie błędy bezwzględne pomiaru wartości lk i pk wyszły mniejsze niż błąd przyrządu pomiarowego (0.0005 [m]), zatem przyjąłem jako błąd najmniejszą działkę tj. 0.001 [m]. Bład ΔL=0.002 [m] przyjąłem jako podwojony błąd odczytu skrajnych wartości na ławie optycznej.
Przykładowe obliczenia:
s = 25.0 [cm] - środek względem którego były mierzone lk i pk,
l1 = s - l0 = 25.0 - 19.2 = 5.8 [cm]
p1 = p0 - s = 31.0 - 25.0 = 6.0 [cm]
6. Pomiar długości fali badanego widma
Na oświetlacz nałożono jeden z filtrów interferencyjnych o nieznanej przepuszczalności długości fali λ. Po ustawieniu siatki dyfrakcyjnej w odległości L od okranu zaobserwowano na tle skali obraz widma dyfrakcyjnego. Podobnie jek podczas wyznaczania stałej siatki, obliczono kąt ugięcia dla brzegów widm I i II rzędu. Korzystając z równania siatki dyfrakcyjnej znając wartośc d wyznaczono długośc fali
;
gdzie:
k - rząd widma,
d = 4917.8 [nm],
L = 0.45 [m].
rząd |
L |
ΔL |
l0 |
l1 |
Δl1 |
p0 |
p1 |
Δp1 |
sinΘ |
λ |
δλ |
Δλ |
- |
[m] |
[m] |
[cm] |
[cm] |
[cm] |
[cm] |
[cm] |
[cm] |
- |
[nm] |
[%] |
[nm] |
|
0.45 |
0.002 |
20.1 |
4.9 |
-0.06 |
30.0 |
5.0 |
-0.13 |
|
|
|
|
I |
|
|
20.2 |
4.8 |
0.04 |
30.1 |
4.9 |
-0.03 |
|
|
|
|
|
|
|
20.2 |
4.8 |
0.04 |
29.7 |
4.7 |
0.17 |
|
|
|
|
|
|
śr |
20.17 |
4.84 |
0.05 |
29.94 |
4.87 |
0.11 |
0.1084 |
533.09 |
3.23 |
17.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.2 |
9.8 |
0.00 |
35.0 |
10.0 |
-0.06 |
|
|
|
|
II |
|
|
15.2 |
9.8 |
0.00 |
34.9 |
9.9 |
0.04 |
|
|
|
|
|
|
|
15.2 |
9.8 |
0.00 |
34.9 |
9.9 |
0.04 |
|
|
|
|
|
|
śr |
15.2 |
9.8 |
0.00 |
34.94 |
9.94 |
0.05 |
0.2142 |
526.70 |
2.34 |
11.77 |
|
0.45 |
0.002 |
18.8 |
6.2 |
-0.06 |
31.2 |
6.2 |
0.04 |
|
|
|
|
I |
|
|
19.0 |
6.0 |
0.14 |
31.3 |
6.3 |
-0.06 |
|
|
|
|
|
|
|
18.8 |
6.2 |
-0.06 |
31.2 |
6.2 |
0.04 |
|
|
|
|
|
|
śr |
18.87 |
6.14 |
0.09 |
31.24 |
6.24 |
0.05 |
0.1363 |
670.30 |
2.82 |
18.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.1 |
12.9 |
0.04 |
37.9 |
12.9 |
-0.01 |
|
|
|
|
II |
|
|
12.1 |
12.9 |
0.04 |
37.9 |
12.9 |
-0.01 |
|
|
|
|
|
|
|
12.0 |
13.0 |
-0.06 |
37.8 |
12.8 |
0.09 |
|
|
|
|
|
|
śr |
12.07 |
12.94 |
0.05 |
37.87 |
12.89 |
0.04 |
0.2759 |
678.41 |
2.01 |
13.62 |
|
0.45 |
0.002 |
20.6 |
4.4 |
0.00 |
29.4 |
4.4 |
0.04 |
|
|
|
|
I |
|
|
20.6 |
4.4 |
0.00 |
29.4 |
4.4 |
0.04 |
|
|
|
|
|
|
|
20.6 |
4.4 |
0.00 |
29.5 |
4.5 |
-0.06 |
|
|
|
|
|
|
śr |
20.6 |
4.4 |
0.00 |
29.44 |
4.44 |
0.05 |
0.0978 |
480.96 |
3.46 |
16.62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.1 |
8.9 |
0.04 |
33.9 |
8.9 |
0.01 |
|
|
|
|
II |
|
|
16.1 |
8.9 |
0.04 |
34.1 |
9.1 |
-0.01 |
|
|
|
|
|
|
|
16.0 |
9.0 |
-0.06 |
34.0 |
9.0 |
0.00 |
|
|
|
|
|
|
śr |
16.07 |
8.94 |
0.05 |
34.0 |
9.0 |
0.00 |
0.1955 |
480.71 |
2.33 |
11.21 |
Zestawienie wyników:
|
λ |
Δλ |
λ |
Δλ |
λ |
Δλ |
|
[nm] |
[nm] |
[nm] |
[nm] |
[nm] |
[nm] |
I |
533.09 |
17.18 |
670.30 |
18.9 |
480.96 |
16.62 |
II |
526.70 |
11.77 |
678.41 |
13.62 |
480.71 |
11.21 |
średnia |
529.90 |
14.48 |
674.34 |
16.26 |
480.84 |
13.92 |
Przykładowe obliczenia:
7. Wnioski
Jak widać w zestawieniach otrzymane wyniki mieszczą się całkowicie w granicach błędu np. 529.09 ± 14.48 dla filtra IF525, 674.34 ± 16.26 dla IF675 oraz 480.84 ± 13.92 dla IF475. Świadczy to o stosunkowo dużej dokładności metody, mimo iż wyżej wymienione wyniki obarczone były błędem wynikającym z wyznaczania stałej d (4917.8 ± 57.7)[nm].