WYKŁAD 7

(by elle)

Dystrybuanta rozkładu warunkowego zmiennej losowej Y przy warunku, że zmienna X=x wyraża się wzorem

Wartość oczekiwana rozkładu warunkowego zmiennej losowej (warunkowa).

Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu skokowego

1.
przy założeniu, że

2. 
   przy założeniu, że
   

Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu ciągłego

1. 
   przy założeniu,
   (że jest skończona co do wartości bezwzględnej )

2. 
   przy założeniu,
   (że jest skończona co do wartości bezwzględnej)

Wariancja rozkładu warunkowego

Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu skokowego

1. 
   przy założeniu, że
   

2. 
   przy założeniu, że
   

Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną typu ciągłego

1. 
   przy założeniu
   

2. 
   przy założeniu
   

Charakterystyki liczbowe (momenty) wielowymiarowej zmiennej liczbowej

1. momenty zwykłe

Momentem zwykłym rzędu r₁+r₂ +…+r_n (r_i
N_o; i=1,2…n) zmiennej losowej wielowymiarowej (x₁,x₂,…x_n) nazywamy wyrażenie
o ile one istnieje .

• Szczególny przypadek m=2 - dwuwymiarowa zmienna losowa

Momentem zwykłym rzędu r +s (r, s
N_o) dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) nazywamy wyrażenie jeżeli ono istnieje

Jeżeli (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną typu losową typu skokowego to
przy założeniu
r, s
N₀

Jeżeli (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu ciągłego to
przy założeniu

UWAGA!!

moment zwykły rzędu r w rozkładzie brzegowym zmiennej losowej x(r
N)

wartość oczekiwana (przeciętna) zmiennej x

moment zwykły rzędu s w rozkładzie brzegowym zmiennej losowej typu y

wartość oczekiwana zmiennej losowej y

2. momenty centralne

Momentem centralnym rzędu r₁+r₂+…+r_n zmiennej losowej (x₁,x₂,…x_n) nazywamy wyrażenie jeżeli ono istnieje

• Szczególny przypadek n=2

Momentem centralnym rzędu r+s (r,s
N₀) dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) nazywamy wyrażenie (jeśli ono istnieje)

Jeżeli (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu skokowego, to
przy założeniu , że
r,s
N₀

Jeżeli (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu ciągłego, to
przy założeniu, że

UWAGA!!

wariancja w rozkładzie brzegowym zmiennej losowej X

wariancja w rozkładzie brzegowym zmiennej Y

Jeżeli dla zmiennej losowej (x₁,x₂,…x_n) dla ustalonych i oraz k , r_i=1, r_k=1, r_j=0 dla j≠i, j≠k to moment centralny rzędu 1+1 nazywamy kowariancją między zmiennymi X_i oraz X_k o zapisujemy

Załóżmy, że istnieją
dla 1≤i, k≤n i ponadto przyjmujemy
wtedy:

UWAGA !!

Macierz kwadratowa jest symetryczna

Wyznacznik macierzy M jest ≥0 (det m ≥0)

• Szczególny przypadek dla dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y)

Tw.

Jeżeli zmienne losowe (X,Y) są niezależne i istnieje E(X,Y) (wartośc oczekiwana) to

Uwaga:

(związek momentu centralnego z momentem zwykłym )

Współczynnik korelacji

Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową .Załóżmy ,że istnieją momenty rzędu 1 i 2

Def.

Współczynnikiem korelacji
między zmiennymi (x, y) nazywamy wyrażenie określone następująco

przy założeniu

---