Marek Garbicz

Wartość pieniądza w czasie

Ekonomista często staje przed problemem prowadzenia rachunku ekonomicznego w sytuacji, gdy przychody i nakłady pochodzą z różnych okresów czasu. W takim rachunku nie możemy po prostu sumować kosztów (czy przychodów) z różnych momentów czasowych. Nie jest także poprawne proste porównywanie poniesionych nakładów i osiągniętych korzyści. We wszystkich tych przypadkach musimy bowiem brać pod uwagę, że pieniądz zmienia swą wartość w czasie. Dlaczego wartość pieniądza ulega zmianie? Zróbmy zatem pewien eksperyment myślowy. Zapytajmy mianowicie samych siebie czy potraktowalibyśmy jako równorzędne dwie oferty: (a) otrzymać dziś 100 zł, (b) otrzymać te same 100 zł za rok. Nasza odpowiedź jest na ogół taka, że wolimy otrzymać określoną sumę pieniędzy dziś.

To, że bardziej cenimy złoty dziś niż ten sam złoty w przyszłości wynika z trzech przyczyn:

• kosztu utraconych możliwości,

• ryzyka,

• inflacji.

Koszt utraconych możliwości:

Lokując pieniądze w jakiekolwiek przedsięwzięcie tracimy możliwość osiągania korzyści z tytułu alternatywnego wykorzystania naszych środków pieniężnych. Jeżeli istnieje więcej niż jedna alternatywa (może ona polegać na założeniu lokaty bankowej, zakupie papierów wartościowych, uruchomieniu dochodowej działalności produkcyjnej lub handlowej, zakupie nieruchomości z którą wiążemy nadzieję na przyszły wzrost wartości, zakupie dzieł sztuki, rzadkich znaczków czy wyrobów jubilerskich), wybieramy najkorzystniejszą.

Przyjmijmy, że ta najlepsza alternatywa oznacza lokatę bankową przynoszącą nam r% przychodu od kapitału rocznie. W rezultacie po roku mielibyśmy K + r K = (1+r)K pieniędzy zakładając, że inicjujemy naszą działalność gospodarczą z kapitałem K zł. Właśnie dlatego wolimy dostać obiecaną sumę pieniędzy wcześniej, bo możemy posiadany kapitał pieniężny wykorzystać jako źródło dochodu. Jeśli kapitał otrzymamy później te dochody nie pojawią się. Te nieosiągnięte dochody stanowią koszt alternatywny, koszt utraconych możliwości.

Po drugim roku kapitał, który lokujemy wyniesie:

Lokata: (1+r)*K plus oprocentowanie po roku r (1+r)K, co daje razem (1+r)K + r(1+r)K = (1+r)² K zł po drugim roku. Po trzecim roku mamy do dyspozycji kapitał na lokatę w wysokości (1+r)² K plus oprocentowanie r (1+r)² K, co łącznie przynosi:

(1+r)² K + r(1+r)² K = (1+r)² K (1+r) = (1+r)³ K

Widać (formalnie można to pokazać metodą indukcji), że po t latach kapitał powiększyłby się do K(1+r)^t. Dzisiejsze K zł równoważne jest K(1+r)^t zł po t latach.

Odwróćmy teraz nasze rozumowanie: skoro 1 zł - dziś wart jest (1+r)^t - w roku t, to jaka jest wartość 1 zł z roku t w złotych roku zerowego (czyli dziś).

Rok 0 Rok t

1 ≡ (1+r)^t

1/(1+r)^t ≡ 1

Wyrażenie 1/(1+r)^t może być interpretowane jako dzisiejsza cena 1 złotego w roku t - tym ze względu na koszt utraconych możliwości.

Przykład 1: Niech koszt alternatywny mierzony oprocentowaniem rocznych bonów skarbowych wynosi 7,3% w skali rocznej. Zakładamy, że oprocentowanie to jest stałe w czasie. Ile warta jest dziś (rok 2007) dywidenda w wysokości 32 zł jaką zapłaci spółka X w 2011 roku?

Rozwiązanie: Koszt alternatywny 7,3% = 0,073. Dywidenda zostanie wypłacona za 4 lata, czyli t = 4. Jeden złoty za cztery lata w dzisiejszych złotych wart jest 1/(1+0,073)⁴ = 1/1,073⁴. Cała dywidenda warta jest 32 razy tyle, tj. 32/1,073⁴.

Operacja, jaką wykonaliśmy nazywa się dyskontowaniem. Dyskontowanie to sprowadzanie wartości pieniężnych z różnych okresów do wartości pieniądza z okresu bazowego (z reguły jest to moment dzisiejszy). By zdyskontować - wystarczy pomnożyć ilość złotych z dowolnego okresu t przez współczynnik dyskontujący o znanej nam już postaci 1/(1+r)^t. Wielkość r nazywa się stopą dyskonta. Współczynnik dyskontujący dla okresu bazowego ma wartość 1 (bo dla tego okresu zachodzi t = 0). Współczynniki dyskontujące pokazują, że wraz z wydłużaniem się okresu t, wartość pieniądza spada. Niech np. jak poprzednio r = 7,3%, wówczas wartość współczynnika dyskontującego, tj. wartość 1 zł z przyszłych okresów w złotych z 2007 roku będzie wynosiła odpowiednio dla różnych lat (w pierwszym wierszu odległość w latach od dziś):

1	2	3	4	8	10	30	50	100
0,932	0,869	0,809	0,754	0,569	0,494	0,121	0,030	0,001

Oznacza to, że przyszłe, odległe zdarzenia mają znikomą wartość dla rachunku ekonomicznego. W naszym przykładzie, dla stopy dyskonta 7,3%, zdarzenia za 30 lat i więcej mogą być w praktyce zaniedbywane jako nieistotne.

Ryzyko

Całe powyższe rozumowanie dotyczy sytuacji pewności. Co stanie się jeżeli uwzględnimy stan ryzyka?

Niech f(s) oznacza funkcję gęstości prawdopodobieństwa iż spodziewany dochód w przyszłym roku uszczuplony zostanie o sK, gdzie 0 ≤ s ≤ 1 i tym samym dochód wyniesie K - sK. Wtedy, możemy zdefiniować sobie miarę ryzyka w postaci wartości oczekiwanej p = E(s) = ∫sf(s)ds iż spodziewany dochód w przyszłym roku ulegnie zmniejszeniu, średnio biorąc, p razy (0 ≤ p ≤ 1).

Przykład 2: Przyjmijmy, że posiadamy majątek o wielkości D. Istnieją jednak różne zagrożenia poniesienia straty. Na przykład, prawdopodobieństwa potencjalnych strat wyglądają następująco: 40% - brak strat, 20% - strata połowy majątku, 30% - strata trzeciej części, 10% - utrata wszystkiego. Oczekiwane ryzyko strat p wynosi więc w naszym przykładzie: p = 0,4*0+0,2*0,5+0,3*0,333+0,1*1 = 0,3.

Jeżeli porównujemy pewny dochód obecnie z przyszłym oczekiwanym dochodem to, biorąc pod uwagę stopień ryzyka związany z przyszłymi dochodami i miarę ryzyka p, przewidywany, przyszły dochód K równoważny jest bieżącemu - i traktowanemu jako pewny - dochodowi w wysokości K(1 - p). Dla małych wartości p (tj. kiedy p jest małym ułamkiem) wyrażenie 1 - p może być w przybliżeniu zapisane jako 1/(1+p). Zatem wyrażenie K(1 - p) jest w przybliżeniu równe K/(1+p). Ale wiemy, że K(1 - p) jest wartością K zł z roku 1 wyrażoną w zł roku bazowego. K/(1+p) jest więc też wartością K zł z roku 1 wyrażoną w zł roku bazowego.

W efekcie czynnik ryzyka skłania nas do wyceny przyszłego dochodu według stopy dyskonta 1/(1+p). Ponieważ p jest miarą ryzyka tylko dla jednego okresu, to stopa dyskonta dla t - tego roku wyniesie - o ile stopy ryzyka są identyczne dla wszystkich lat 1/(1+p)^t .

Inflacja

Najbardziej oczywistym powodem spadającej wartości pieniądza w czasie jest inflacja, tj. zjawisko wzrostu cen. Jeżeli uwzględnimy roczne tempo wzrostu cen τ, to po upływie roku wartość 1 złotego wyniesie, mierząc go wartością dzisiejszych złotówek, 1/(1+τ). Po dwóch latach ta wartość złotego będzie 1/(1 + τ)². Ostatecznie dyskontujemy (dla okresu 0) dochody przyszłych okresów stopą 1/(1+τ)^t, gdzie t - numer okresu.

Stopa dyskonta

Niech koszt utraconych możliwości wynosi w poszczególnych latach r_1, r₂,... r_i . ; niech stopa ryzyka wynosi p₁, p₂, ....p_i,....; niech stopa inflacji wynosi τ₁, τ₂, .... τ_i,.... Wówczas stopa dyskonta dla roku i wynosić będzie:

1
__________________________

i i i
[Π (1+r_k )* Π (1+p_k )* Π (1+τ_k )]
k=1 k=1 k=1

Jest często stosowaną praktyką założenie, że wszystkie r_i = r, p_i = p oraz τ_i = τ. Uzasadnieniem dla tej praktyki jest fakt, że zazwyczaj nie posiadamy dostatecznych informacji by móc w sposób zobiektywizowany różnicować wartości tych parametrów dla poszczególnych lat i wówczas na ogół przyjmujemy wartości aktualne. W tych okolicznościach stopa dyskonta dla roku i upraszcza się do postaci:

1

_________________________

[(1+r)(1+p)(1+τ)]ⁱ

Stopa dyskonta może być interpretowana jako cena pieniądza w roku i-tym wyrażona w jednostkach roku zerowego. Jeżeli wielkości r, p, τ nie są duże możemy w przybliżeniu zapisać (1+r)(1+p)(1+τ) ≈ 1 + r + p + τ. W praktyce posługujemy się takim zapisem, gdzie wyrażenie R = r + p + τ łącznie ujmuje trzy elementy rachunku: koszt utraconych możliwości (w wymiarze realnym), ryzyko i inflację. Uwzględniając tę notację współczynniki dyskontujące są wówczas wyrażeniami o postaci 1/(1+R)ⁱ.

Jak oszacować stopę dyskonta dla potrzeb praktycznych?

Wykonując praktyczne obliczenia musimy znać wartość stopy dyskonta. Wymaga to prognozy wielkości inflacji τ, oszacowania przyszłego ryzyka p oraz kosztu alternatywnego r. Przy niskiej wartości inflacji (jak obecnie w Polsce) prognoza przyszłej dynamiki cen może być oparta na aktualnych wskaźnikach zmian cen. Nie popełnimy zapewne wielkiego błędu, gdy przyjmiemy do rachunków prognozowaną inflację roczną na poziomie 2 - 3%. Ocena wielkości kosztu alternatywnego jest z reguły oparta o realną (czyli po odjęciu inflacji) stopę zwrotu z aktywów pozbawionych ryzyka. Takimi aktywami są skarbowe papiery dłużne, tj. bony i obligacje skarbowe. Ponieważ papiery te emituje minister finansów, ryzyko ich nie odkupienia jest praktycznie zerowe. Roczne stopy zwrotu z tych aktywów są publikowane (np. w dzienniku „Rzeczpospolita”, czy też są dostępne w serwisach internetowych). Na przykład średnia rentowność 5-letnich obligacji skarbowych (w ujęciu rocznym) wynosi obecnie 4,99% (Rzeczpospolita z 21 lutego 2007). I ta wielkość może być potraktowana jako przybliżona miara kosztu alternatywnego dla polskiej gospodarki w 2007 roku i ewentualnie dla lat przyszłych. Z jednym jednak kluczowym zastrzeżeniem. Zauważmy bowiem, że powyższa stopa zwrotu z obligacji jest stopą nominalną, a nie realną. Rentowność ta zawiera już prognozowaną inflację. Jeśli zatem wykorzystamy wielkość 4,99% dla szacowania stopy dyskonta, to nie wolno nam dodawać jeszcze inflacji, bo wówczas inflacja zostałaby uwzględniona dwukrotnie: raz poprzez zastosowanie nominalnej stopy zwrotu z obligacji (zawierającej przyszłą dynamikę cen), i drugi raz przez dodanie prognozowanej dynamiki cen. Z kolei jednak, gdy prowadzimy rachunki w cenach stałych, musimy pamiętać, by posługując się rentownością papierów skarbowych korygować dane źródłowe (zawierające wielkości nominalne) o prognozę inflacyjną.

Najbardziej arbitralną oceną jest szacunek ryzyka. Nie posiadamy tu zobiektywizowanych miar. Dla polskiej gospodarki praktyczną wskazówką jest odwołanie się do pomiaru ryzyka gospodarczego w krajach najwyżej rozwiniętych. Ryzyko w Polsce nie może być niższe niż np. w USA czy w Europie Zachodniej. Dla tych ostatnich krajów, o długiej tradycji gospodarki rynkowej, można statystycznie wyliczyć ryzyko jako różnicę między średnią stopą zwrotu z akcji a stopą zwrotu z papierów skarbowych. Akcje są papierami ryzykownymi, gdyż firmy mogą zawsze zbankrutować. Rynek musi wynagradzać to ryzyko w postaci wyższych stóp zwrotu z akcji niż z bezpiecznych obligacji. Jeśli dysponujemy dostatecznie długim szeregiem czasowym (co najmniej kilkadziesiąt lat dla wyeliminowania skutków wahań koniunktury; w Polsce okres funkcjonowania giełdy jest niestety raczej za krótki), to wówczas możemy przeprowadzić odpowiednie rachunki. Dla krajów rozwiniętych nadwyżka stopy zwrotu z akcji nad rentownością papierów skarbowych, czyli miara ryzyka, wynosiła w latach 1970 - 1990 około 3,5% - 5,5% w skali rocznej. Wyznacza to dolny pułap dla ryzyka szacowanego dla Polski. Po wejściu do Unii Europejskiej średnie ryzyko dla polskiej gospodarki można zatem przyjąć na poziomie około 6% (także w skali rocznej).

Powyższe rozważania sugerują, że przy rachunkach prowadzonych w cenach bieżących stopa dyskonta R = r + P + τ dla polskiej gospodarki może być ostatecznie wyznaczana (dla warunków 2007 roku) na poziomie R = 4,99% + 6,00% ≈ 11,0%. Rachunki w cenach stałych wymagałyby korekty R polegającej na odjęciu prognozowanej inflacji rzędu 2% rocznie, co wyznacza stopę dyskonta R ≈ 9,0%.

Wycena papierów wartościowych

Zakładamy, że dany papier wartościowy wart jest tyle ile przyniesie on dochodu w całym okresie jego życia. W przypadku akcji - teoretycznie - okres ten jest nieskończenie wielki, natomiast dla obligacji obejmuje on okres do momentu wykupu.

Przeprowadzamy następujące rozumowanie: kurs bieżący papieru równy jest sumie zdyskontowanych przychodów w całym okresie życia papieru. Przyszłe przychody są zdyskontowane, bowiem jest to procedura pozwalająca sprowadzić "przyszłe złotówki" do "dzisiejszych złotówek", wyrazić dochody przyszłych okresów w dzisiejszej cenie pieniądza.

Ustalenie stopy dyskonta może być dość kłopotliwe. Po pierwsze, koszt utraconych możliwości jest jednak wielkością subiektywną i różną dla każdego podmiotu. Po drugie, ocena ryzyka jest także indywidualnie bardzo zróżnicowana, zaś ocena przyszłej inflacji niepewna. W efekcie każdy podmiot może przyjmować różne stopy dyskonta zależne od jego oceny ryzyka, przewidywanego tempa wzrostu cen i kosztu utraconych możliwości. Powoduje to, że nawet wówczas gdy przyszłe przychody oceniane są identycznie przez dwa różne podmioty, wartość danego aktywu może być różnie oszacowana ze względu na różnice w przyjętej stopie dyskontowej.

W jaki sposób określamy przyszłe przychody? Dochody z akcji to np. coroczne dywidendy, zaś z obligacji to coroczne oprocentowanie plus, w ostatnim roku, nominalna wartość obligacji (wykup obligacji). Zauważmy przy tym, że prognoza wielkości wypłacanych w przyszłości dywidend wymaga dwóch zabiegów: umiejętności przewidywania przyszłych zysków spółki i prawidłowej oceny przyszłej polityki spółki co do podziału zysku. Są to wielkości jedynie przewidywane, a zatem niepewne. Będą zapewne duże różnice w subiektywnej ocenie inwestorów co do przyszłych dokonań spółek. W mniejszym stopniu dotyczy to obligacji, bo tu nominalne oprocentowanie jest ustalone z góry.

Niech zatem obecny rynkowy kurs akcji np. firmy MAX wynosi K. Jeżeli nasza ocena wartości tego aktywu oszacowana według powyższej metodologii wynosi L < K, to jako właściciel sprzedajemy papier bo zarabiamy K - L. Wszyscy dla których L < K kreują tym samym podaż akcji MAX. Są zapewne i tacy, dla których L > K i ci zechcą akcje MAX kupować bowiem zyskują L - K. Ostatecznie suma indywidualnych strumieni podaży i popytu wyznaczy rynkowy kurs akcji MAX.

Akcje

Niech roczne realne dochody z akcji MAX (dywidendy) są stałe i wynoszą d. Operując wielkością realnych przychodów możemy pominąć czynnik inflacyjny τ. Czynnik dyskontujący jest stały R = r + p. Wartość akcji szacujemy zatem jako sumę:

∞ ∞
Σ d/(1+R)ⁱ = d*Σ 1/(1+R)ⁱ = d/R
i=1 i=1

Ponieważ d jest stałe, to możemy ten czynnik wyciągnąć przed nawias. Nieskończona suma Σ 1/(1+R)ⁱ jest sumą wyrazów postępu geometrycznego o ilorazie 1/(1+R) i pierwszym wyrazie równym 1/(1+R). Suma takiego postępu jest dana wzorem: Suma = a₁
, gdzie q - iloraz postępu q < 1 oraz a₁ pierwszy wyraz. Suma =

=
.

Jeżeli dochody d są wielkościami nominalnymi konieczne jest dodanie do współczynnika R składnika inflacyjnego τ.

Przykład 3: Niech firma Y płaci rocznie 2,5 zł dywidendy w przeliczeniu na akcję. Przyjmijmy oszacowaną wyżej stopę dyskonta na poziomie R = 11%. Aktualny kurs akcji wynosi 26,30 zł. Ile warta jest ta akcja? Czy opłacalny jest zakup akcji? Czy może warto akcje sprzedać?

Rozwiązanie: R = 0,11, zaś d = 2,5 zł. Wartość akcji = d/R = 2,5/0,11 = 22,73 zł. Jeśli jesteś posiadaczem takiej akcji to sprzedaż jest opłacalna, bo dostajesz więcej niż jest ona warta (26,30 > 22,73).

Obligacje

Niech obligacja o wartości nominalnej B i oprocentowaniu rocznym ρ żyje T lat. Zdyskontowana suma przychodów wyznaczająca wartość obligacji może być szacowana następująco:

T
B*ρ * Σ 1/(1+R)ⁱ + B/(1+R)^T
i=1

Zakładamy, że wyliczamy wartość obligacji w momencie emisji. Zdyskontowana suma jest skończona bowiem właściciel obligacji czerpie stałe, coroczne przychody w wysokości B*ρ przez T lat. Ponadto w roku T następuje wykup obligacji po cenie nominalnej B. Ponieważ B jest nominalną wartością obligacji (cena zakupu w momencie t=0), to współczynnik dyskontujący musi zawierać τ (R = r + p + τ).

Przykład 4: Niech obligacja ma wartość nominalną B = 200 zł w momencie emisji, tj. na rynku pierwotnym. Oprocentowanie obligacji ρ, wypłacane raz do roku, wynosi 4% w stosunku do ceny nominalnej, tj. 8 zł rocznie na 1 obligację. Czas życia obligacji (tzw. okres zapadalności) T = 5 lat. Stopę dyskonta wyliczamy na poziomie R = 10,5%. Ile warta jest ta obligacja?

Rozwiązanie: R = 0,105, zaś B = 200, ρ = 0,04, T = 5.

Bρ = 200*0,04 = 8. Wartość obligacji =
+
+
+
+
= 151,34 zł. Ostatni wyraz sumy poza odsetkami zawiera wykup obligacji po cenie nominalnej w piątym roku.

Wartość bieżąca netto (NPV)

Przyjmijmy, że przez g lat realizujemy inwestycję która przynosić będzie po jej ukończeniu roczne, stałe zyski w wysokości d. Niech łączny okres budowy i eksploatacji obiektu wynosi T lat. W roku T inwestycja jest całkowicie zamortyzowana i wartość środków trwałych = 0. Zakładamy, że K_i oznacza nakłady inwestycyjne w roku i. Kiedy uznamy opłacalność inwestycji? Sensowne jest przyjęcie kryterium, iż warunkiem opłacalności jest by przychody z inwestycji w całym okresie jej eksploatacji przewyższały nakłady. Nie możemy jednak zastosować prostej formuły:

g
Σ K_i < (T - g)*d
i=1

jako kryterium bowiem musimy uwzględnić zmiany wartości pieniądza w czasie. Stąd musimy dyskontować zarówno nakłady jak i zyski dla jakiegoś ustalonego momentu. Niech momentem tym będzie początek budowy obiektu (t = 0). Wówczas nasze kryterium przyjmie postać:

g T

Σ K_i /(1+R)ⁱ < Σ d/(1+R)ⁱ
1 g+1

Po lewej stronie nierówności mamy zdyskontowane na rok zerowy nakłady inwestycyjne. Suma nakładów ma g składników, bo tyle lat trwa budowa. Po prawej stronie występują zdyskontowane zyski, które pojawiają się dopiero w roku g+1, tj. po zakończeniu inwestycji i są realizowane do roku T. Jeżeli warunek ten będzie spełniony, wówczas możemy uznać inwestycję za opłacalną. Powyższy warunek można zapisać także nieco inaczej:

T g

Σ d/(1+R)ⁱ - Σ K_i /(1+R)ⁱ > 0

g+1 1

Wyrażenie po lewej stronie nazywamy wartością bieżącą netto (net present value, NPV). Zarówno przychody jak i nakłady dyskontowane są na ten sam moment i dodawane do siebie, z tym iż nakłady traktowane są jako wielkości ujemne. Dodatnia wartość NPV świadczy, że nakłady z nadwyżką pokryte są przez przychody. W tym przypadku, gdy NPV > 0 uznajemy inwestycję za opłacalną. Gdy zachodzi natomiast NPV < 0 inwestycja nie jest atrakcyjna.

Przykład 5: Cykl inwestycyjny trwa 2 lata, a rozkład nakładów inwestycyjnych w czasie jest następujący: rok 1 - 31,0 mln zł, rok 2 - 2,6 mln zł. Po zakończeniu okresu budowy rozpoczynamy eksploatację obiektu, która trwa 3 lata przynosząc zyski po 14,0 mln zł rocznie. Czy inwestycja jest opłacalna, jeśli przyjęta stopa dyskonta wynosi 11%?

Rozwiązanie: Stopa dyskonta R = 0,11. Wyliczamy wartość bieżącą netto jako:

NPV(R = 0,11) = 14/1,11³ +14/1,11⁴ +14/1,11⁵ - 31/1,11 - 2,6/1,11² = - 2,27 < 0

Nakłady inwestycyjne (ze znakiem minus) dyskontujemy dla pierwszego i drugiego roku, zaś zyski (ze znakiem plus) dyskontujemy dla okresu od trzeciego do piątego. NPV = - 2,27 i jest ujemne co oznacza, że nie opłaca się inwestować.

Przykład 6: Czy coś zmieni się w poprzednim zadaniu jeśli nakłady inwestycyjne będą rozłożone inaczej, tj. w roku 1 - 2,6 mln zł, w roku 2 - 31 mln zł?

Rozwiązanie: Teraz wyliczamy wartość bieżącą netto jako:

NPV(R = 0,11) = 14/1,11³ +14/1,11⁴ +14/1,11⁵ - 2,6/1,11 - 31/1,11² = 0,26 > 0

NPV = 0,26 i jest dodatnie co oznacza, że tym razem inwestycja byłaby opłacalna.

Zauważmy porównując wynik z przykładu 5 i 6, że łącznie nakłady inwestycyjne były w obu przykładach takie same tj. 33,6 mln zł. Ale ich rozkład w czasie był odmienny. Procedura dyskontowania oznacza, że im bardziej odległy w przyszłości moment, tym mniejsza jest wartość złotego wyrażona w dzisiejszych złotych. Zatem - z punktu widzenia opłacalności projektu inwestycyjnego - im później ponosimy nakłady i im wcześniej pojawiają się efekty tym lepiej. Wyliczenie wartości bieżącej netto pozwala uchwycić ten ważny aspekt czasowy rozkładu przychodów i nakładów.

Przykład 7: Wylicz wartość bieżącą netto następującego przedsięwzięcia. Kupujesz dziś po cenie 95 zł obligację o nominale 100 zł. Wiesz, że podlega ona wykupowi za 2 lata przynosząc po 5% odsetek rocznie. Zakładamy brak ryzyka i inflacji, zaś stopa procentowa od lokat wynosi 6% rocznie. Czy transakcja jest opłacalna?

Rozwiązanie: Stopa dyskonta R = 0,06 (równa stopie procentowej od lokat, bo nie ma ryzyka i inflacji), wartość nominalna obligacji B = 100, roczne oprocentowanie obligacji ρ = 0,05, okres do wykupu T = 2.

NPV(R = 0,06) = 100*0,05/(1+0,06) + (100*0,05 + 100)/(1 + 0,06)² - 95 = 3,17 > 0

Wyliczamy wartość NPV dla stopy dyskonta 6% jako zdyskontowaną sumę przychodów (w tym przypadku odsetki i wartość wykupionej przez emitenta obligacji) pomniejszoną o zdyskontowaną sumę nakładów (w tym przypadku jest to koszt zakupu papieru wartościowego). Pierwszy składnik sumy to wartość odsetek w roku nr 1 w złotych roku bazowego (zerowego), drugi składnik - odsetki plus wartość nominalna wykupionej obligacji zdyskontowana dla dwóch lat. Od tej sumy odejmujemy 95 zł jako nakład na zakup obligacji. Ponieważ zakup ten nastąpił w roku zero współczynnik dyskonta jest tu równy 1. Wartość bieżąca netto NPV wynosi 3,17 zł i jest dodatnia co oznacza, że transakcja jest opłacalna.

Przykład 8: Co zmieni w poprzednim przykładzie wzrost stopy dyskonta do 10%? Rozwiązanie: Stopa dyskonta R = 0,1, wartość nominalna obligacji B = 100, roczne oprocentowanie obligacji ρ = 0,05, okres do wykupu T = 2.

NPV(R = 0,1) = 100*0,05/(1+0,1) + (100*0,05 + 100)/(1 + 0,1)² - 95 = -3,68 < 0

Widać, że wzrost stopy dyskonta spowodował, że inwestycja przestała być opłacalna (NPV < 0)

Przykład 8 pokazuje bardziej ogólną prawidłowość. Wartość bieżąca netto jest malejącą funkcją stopy dyskontowej. Pokazuje to rysunek poniżej.

Dla dostatecznie dużej stopy dyskontowej NPV będzie zawsze ujemne, a przedsięwzięcie inwestycyjne nieopłacalne.

Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR)

Wartość R taka, że dla danych K_i i d_i wartość bieżąca netto równa się zero nazywana jest wewnętrzną stopą zwrotu (internal rate of return, IRR). Oznacza to, że wewnętrzna stopa zwrotu, to taka stopa, dla której zachodzi NPV (IRR) = 0. Wewnętrzna stopa zwrotu mówi nam, na jaką średnioroczną stopę przychodu od inwestycji możemy liczyć. By dokonać wyboru musimy porównać wyliczoną IRR z minimalną stopą, którą uznamy za graniczną. Jeżeli IRR będzie wyższa niż przyjęta stopa minimalna uważamy decyzję inwestycyjną za opłacalną.

Przykład 9: Czy kupiłbyś za 180 zł obligację o wartości nominalnej 200 zł i terminie wykupu za 3 lata, jeśli wiesz, że jej oprocentowanie wynosi 2.5% rocznie.

Rozwiązanie: Wyliczmy wewnętrzną stopę zwrotu IRR. Nakład K₀ = 180, zaś dochody d_i = 200*0,025 dla i = 1,2 oraz d₃ = 200*0,025 + 200. W okresie trzecim inkasujemy odsetki, ale następuje także wykup obligacji. Musimy rozwiązać równanie:

-180 + 200*0,025/(1+R) + 200*0,025/(1+R)² + (200*0,025 + 200)/(1+R)³ = 0

Oczywiście możemy to zrobić szukając miejsc zerowych wielomianu metodą prób i błędów, ale na ogół korzystamy z funkcji IRR w arkuszu kalkulacyjnym Excel. W Excelu znajdujemy, że stopa dyskonta R, dla której równanie jest spełnione wynosi 6,26%.

Czy jest to wystarczająca stopa zwrotu? Minimalna stopa zwrotu, jaką możemy zaakceptować jest równa sumie kosztu alternatywnego powiększonego o inflację i ryzyko. Wiemy, że dla polskiej gospodarki miarą kosztu utraconych możliwości (nominalnie) jest rentowność papierów skarbowych. Wynosi ona dla obligacji skarbowych 5-letnich 4,99%, zaś dla obligacji dwuletnich 4,72% (Rzeczpospolita z 21 lutego 2007). Uśredniając, mamy koszt alternatywny na poziomie 4,86%. Ponieważ średnie ryzyko wynosi około 6%, ostatecznie otrzymujemy minimalną pożądaną stopę dyskonta na poziomie 10,86%. Ponieważ stopa IRR = 6,26% jest mniejsza niż wartość minimalna, transakcję zakupu traktujemy jako nieatrakcyjną.

Przykład 10: Wahamy się między zakupem energochłonnej (A) a energooszczędnej lodówki (B). Poza zużyciem energii oba sprzęty mają identyczne walory. Lodówka A kosztuje o 2000 zł taniej, lecz jest w eksploatacji droższa o 500 zł rocznie. Lodówki zużywają się po 6 latach. Co wybierzemy?

Rozwiązanie: Płacąc jednorazowo drożej o 2000 zł osiągamy przez 6 lat coroczne korzyści w postaci oszczędności na kosztach energii. Nakład K = 2000, roczne korzyści d_i = 500. Wyliczmy wewnętrzną stopę zwrotu IRR, czyli taką stopę R, która spełnia równanie: -2000 + Σ 500/(1+ R)ⁱ = 0 (sumowanie po i od 1
6).

IRR = 13%. Porównując ją z minimalną żądaną stopą zwrotu w wysokości 10,86% konkludujemy, że opłaca się nam kupić lodówkę droższą, ale tańszą w eksploatacji.

Uwaga: wielkość fikcyjna, nie odpowiada polskim realiom; przyjęta jedynie dla potrzeb zadania.

Wynika to z rozwinięcia wyrażenia 1/(1+p) w szereg Maclaurina. Tym samym przyszly dochód K traktujemy jako wartość K/(1+p) z okresu t = 0.

14

1

R

NPV

---